高维前缀和

参考资料

高维前缀和总结(sosdp)
高维前缀和/SOS dp
SOSDP（子集DP）、高维前缀和、FMT（快速莫比乌斯变换）、FWT（快速沃尔什变换）学习笔记

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简介

一般用于高效解决求子集和/超集和等问题。

引入

\(\forall i,0\le i<2^n\)，求解 \(\sum_{j\in i} a_j\)。

解法

朴素方法就是对于每个长度为 \(n\) 的 \(i\) 枚举子集，分析一下复杂度，如果当前位是 1，那么子集当前位有 1,0 两种选法；如果当前位是 0，那么只有一种，所以总共有 \(3\) 种选法，根据乘法原理，复杂度就是 \(O(3^n)\)。

事实上存在一种更优的方法，可以做到 \(O(n\times 2^n)\)。

我们先从普通的二维前缀和考虑，我们除了容斥写法，还有一种写法：

for(int i=1;i<=n;++i)
	S[i]=S[i-1]+A[i];
	
for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=1;j<=n;++j)
		S[i][j]=S[i][j-1]+A[i][j];
for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=1;j<=n;++j)
		S[i][j]=S[i-1][j]+S[i][j];

我们就相当于对于每个维扫一遍，复杂度应该是 \(O(n\times d^n)\)，\(n\) 是维度，\(d\) 是每一维的限制。

那回到原问题，我们可以将每个数视作一个 \(n\) 维数组，只不过由于每一维只有 0/1，我们用类似的方法即可做到 \(O(n2^n)\)：

for(int i=0;i<n;++i)//枚举当前处理哪一维度
	for(int j=0;j<(1<<n);++i) 
        if((1<<i)&j) S[j]+=(S[j^(1<<i)]);//如果该维度为1，统计上该维度为0的前缀和

应用

求子集合

就是前面讲的。

求超集和

把 0 看成 1，1 看成 0 即可。

for(int j = 0; j < n; j++) 
    for(int i = 0; i < 1 << n; i++)
        if(!(i >> j & 1)) f[i] += f[i ^ (1 << j)];

注意事项

题目

看一看参考资料。