连续段DP

参考资料

插入类型 DP
连续段 DP
插入 DP 总结 题目多。
插入 dp 学习笔记 这个题目也不少，并且除了套路之外，还有不少比较乱搞的。

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简介

连续段 DP，也叫插入 DP，这是一个经典的 DP trick，与传统序列上的DP不同，他不需要考虑元素具体是什么，他只需要考虑相对顺序。

引入

一般来说，用连续段 DP 解决的题目有如下特征：

• 元素不能重复使用，一般与排列计数有关（这种比较板）。

• 需要满足一定的条件，一般与大小关系、位置关系有关（用插入 DP 后就是与插入顺序有关了）。

• 可能需要满足一些函数性质，比如说像波浪形函数一样，比如说 kangoroo。

解法

核心就是对插入过程进行 DP，只考虑考虑插入相对顺序，结合具体题目具体分析。

• 乱搞型：状态定义不那么确定，但是始终围绕这新元素插入这一核心。
• 套路型：\(f_{i,j}\) 表示插入前 \(i\) 个数分成了 \(j\) 个连续段，转移就是考虑三种操作加入、新开、合并，不用考虑连续段之间的下标间隔问题，因为不合法的一定不在最终答案里。

注意事项

1. 结合具体题目分析，不要看到满足特征就套。

题目

[ABC468G] Restricted Permutation \(\checkmark\)

题目大意

给定长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)（仅含 o 和 x）。求满足以下条件的 \(1\sim n\) 排列 \(P\) 的数量 \(\bmod 998244353\)：对每个 \(k=1,\dots,n\)，\(s_k=\) o 当且仅当 \(P\) 中存在一个连续子序列恰好是 \(1,2,\dots,k\) 的某个排列，否则，若不存在则 \(s_k=\) x。
\(1\le N\le 2000\)，\(S\) 仅含 o 和 x。

解题思路

套路化的，我们设 \(f_{i,j}\) 表示插入前 \(i\) 个数分成 \(j\) 个连续段的答案，转移如下：

• 新开一个段：\(f_{i,j}\gets j\times f_{i-1,j-1}\)。
• 加入旧段：\(f_{i,j}\gets 2j\times f_{i-1,j}\)
• 合并两个段：\(f_{i,j} \gets j\times f_{i-1,j+1}\)。

需要注意的是，如果 \(s_i=\) o，\(j=1\)；如果 \(s_i\ne\) x，\(j>1\)，最后答案是 \(f_{n,1}\)，需要特判一下开头和结尾是不是 o。

复杂度 \(O(n^2)\)。

CF1515E Phoenix and Computers \(\checkmark\)

题目大意

有 \(n\) 台电脑排成一排，初始全关。每次手动打开一台未打开的电脑；若某台电脑左右相邻都已打开且它未打开，则自动打开。求手动打开所有电脑的不同顺序数量（手动打开的电脑集合或顺序不同即不同）对质数 \(M\) 取模。
\(3\le n\le 400,\ 10^8\le M\le 10^9\)，\(M\) 为质数。

解题思路

这道题明显与连续段有关，并且考虑的是打开电脑也就是插入的顺序，这无比完美的适配于连续段 DP。
类似的，设 \(dp_{i,j}\) 表示打开了 \(i\) 台电脑，并形成了 \(j\) 段。

转移如下，这题还需要考虑自动打开的情况：

1. 新建段：\(dp_{i+1,j+1} \leftarrow dp_{i,j} \times (j+1)\)
2. 加入某一段：\(dp_{i+1,j} \leftarrow dp_{i,j} \times 2 \times j\)，\(dp_{i+2,j} \leftarrow dp_{i,j} \times 2 \times j\)
3. 合并块：\(dp_{i+2,j-1} \leftarrow dp_{i,j} \times 2 \times (j-1)\)，\(dp_{i+3,j-1} \leftarrow dp_{i,j} \times (j-1)\) 注意合并块不能有 \(dp_{i+1,j-1} \leftarrow dp_{i,j} \times (j-1)\)，因为会自动打开。

刷表完成转移即可，答案是 \(dp_{n,1}\)。

复杂度 \(O(n^2)\)。

P5999 [CEOI 2016] kangaroo \(\checkmark\)

题目大意

从 \(s\) 出发到 \(t\)，经过 \(1\sim n\) 每个草丛恰好一次，要求每次跳跃方向与前一次相反（即路径呈锯齿形），求不同访问顺序的方案数 \(\bmod 10^9+7\)。
\(2\le n\le 2\times10^3,\ 1\le s,t\le n\)，保证至少有一种方案。

解题思路

这题并没有那么显然，它满足的特征就是排列+函数型，这种我们就可以考虑插入去考虑，至于怎么想到的嘛？这就有点智慧了。

我们一样的状态定义，从小到大枚举插入，但需要注意的是，这道题需要保证波浪形，所以我们不考虑加入操作（因为他可能会破坏形状），只考虑合并和新开，这样就有一个性质，连续段左右端点一定比再往里一个的要小，可以保证波浪形了。转移是比较简单的需要注意的是，类似于第一个题，但是需要注意的是考虑到 \(s\) 和 \(t\) 之后不能新开在开头或者结尾了，并且插入 \(s\) 和 \(t\) 的操作比较特别，它们可以考虑加入，需要特别记录一下是否到 \(s,t\)。

复杂度 \(O(n^2)\)。

P7967 [COCI 2021/2022 #2] Magneti \(\checkmark\)

题目大意

在 \(l\) 个连续空位上放置 \(n\) 个磁铁（每个空位最多一个），所有磁铁必须放置。第 \(i\) 个磁铁有吸引半径 \(a_i\)，若两个磁铁之间的距离小于 \(a_i\)，则它们会相互吸引。求使得任意两个磁铁都不相互吸引的方案数，对 \(10^9+7\) 取模。
\(1\le n\le 50,\ n\le l\le 10000,\ 1\le r_i\le l\)。

解题思路

这道题明显没有这么直接了当了，他多加了一个覆盖限制，不过还是好做的，我们还是记录连续段个数，同时也要记录这些连续段总的覆盖长度，最后拿插板法算一算。

首先按照 \(a_i\) 从小到大排序（这样就使得在转移中的方便考虑很多），定义 \(f_{i,j,k}\) 表示添加了 \(1\sim i\) 个磁铁，连续段个数为 \(j\)，总覆盖长度（不延伸出去）为 \(k\) 的方案数。

转移方程：

• 新开：\(f_{i,j,k}\gets j\times f_{i-1,j-1,k-1}\)。
• 加入：\(f_{i,j,k}\gets 2j\times f_{i-1,j,k-a_i}\)。
• 合并：\(f_{i,j,k}\gets j\times f_{i-1,j+1,k-2a_i+1}\)

答案：\(\sum_{k=1}^l f_{n,1,k}\times {l-k+n\choose n}\)。

复杂度：\(O(n^2 l)\)。