12.9

最开始接触子群概念时，我总觉得它只是“群中套群”的简单定义，没意识到背后的严谨性。课本里说，若G是一个群，非空子集H\subseteq G 满足封闭性、单位元存在、逆元存在这三个条件，那么H就是G的子群，当时我还觉得这三个条件和群的定义重复，没必要单独强调。直到做课后习题时，我才发现自己的认知有多浅薄——比如判断整数加群\mathbb{Z}中，所有偶数组成的子集是不是子群，我一开始只想到封闭性（偶数加偶数还是偶数），却差点忽略要验证单位元0属于这个子集，以及任意偶数的逆元（相反数）也在子集中。这道题让我明白，子群的判定条件是层层递进的，缺一不可。

后来学习子群的判定定理时，我又get到了数学的简洁之美。原来不用逐一验证三个条件，只需要证明“对任意a,b\in H，都有ab^{-1}\in H”，就能判定H是G的子群。这个定理的推导过程，把封闭性、逆元存在性和单位元存在性巧妙地融合在了一起，让我体会到抽象代数“化繁为简”的逻辑魅力。在做相关证明题时，我也从一开始的无从下手，慢慢学会了套用定理，先构造ab^{-1}的形式，再结合群的性质推导结论。

子群的学习还让我意识到，离散数学和软件工程专业的知识是相通的。比如群的封闭性，和编程中函数的输入输出类型匹配有相似之处；子群的层级结构，也让我联想到了面向对象编程里的类继承。这种跨学科的关联，让我觉得抽象的数学知识也变得更有实用价值。