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E. Tree Queries

记录两种做法，思路均来自官解。

1

考虑换根。将所有查询按照 \(x\) 分类，对于每种查询，考虑将 \(x\) 作为整棵树的根，那么删点操作就变得特别简单了：

• 删点 \(u\) 不是 \(x\) 的祖先 \(\rightarrow\) 等价于删去 \(x\) 的整个子树
• 删点 \(u\) 是 \(x\) 的祖先 \(\rightarrow\) 等价于只留下 \(path(u, x)\) 上从 \(u\) 往下走的第一个点 \(v\) 为根的子树

很容易想到将子树看作区间，那么每次删点相当于删掉了某一个区间；假设共删 \(k\) 个区间，那么我们可以利用所有删除的区间去求所有未被删除的区间，数量同样是 \(O(k)\) 级别的。然后我们只需要在每个未被删除区间上查询结点深度最大值即可。

子树看作区间，即对原树作 \(dfn\) 序；区间查询即 RMQ。

那么我们现在就只需要考虑如何进行换根操作。我们要维护的仅是每个结点在换根后新的深度。显然，对于 \(u \rightarrow v\) 的换根操作（\(u\) 是 \(v\) 的父亲），我们只需要修改至多 \(3\) 个区间，因为深度变化无非就是：

• 以 \(v\) 为根的子树内的所有点的深度减 \(1\)
• 其他点的深度均加 \(1\)

因此只需要在 \(dfs\) 过程中换根维护新树的所有结点深度，然后处理每种查询的每个删点操作就行了。RMQ 显然需要用线段树。具体实现见代码。

code1

2

考虑树的直径。

一些前置知识：

• 在一棵树中，设直径为 \(path(u, v)\)，则对于 \(\forall x\)，\(path(x, u)\) 和 \(path(x, v)\) 其中一个一定是从 \(u\) 出发的最长路径。（结论1）
• 合并两棵树形成的新直径一定是在原来两棵树共 \(4\) 个直径端点中选其中 \(2\) 个作为一对新的路径端点，构成的 \(C_{4}^{2}\) 种方案之一。（结论2）

那么，对于每个查询，我们只需要维护好删点后 \(x\) 所在连通块的两个直径端点就行了。

而由解法 \(1\) 可知，操作后未被删除的所有连通块可以由 \(O(k)\) 个 \(dfn\) 序上的区间表示。我们只需要对于每个连通块查询对应区间上的两个直径端点就可以了。

而上述有关树直径的两个结论就派上用场了：我们可以用线段树维护 \(dfn\) 序上每个区间代表连通块的两个直径端点。由结论2，对于两个连通块的合并，枚举 \(6\) 种 四选二 ，并取其中相距最远的两个点作为合并后连通块的两个直径端点就行了。（即线段树的 pushup 函数），具体实现见代码。

每个连通块只需要在上述建好的线段树中查询某个区间。由结论1，每次查询只需要用 \(x\) 和 两个直径端点 之间的距离来更新答案。

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F. Beautiful Tree

考虑用图论建模每对结点之间的偏序关系：建一个新的有向图，结点仍是树中的 \(n\) 个结点，其中 \(u \rightarrow v\) 表示 \(u\) 的结点值一定 \(< v\) 的结点值。

若生成好了满足所有查询条件的一张有向图，我们就可以直接做拓扑排序，以每个结点的拓扑序作为答案即可，有环则无解。

现在的问题是，对于查询 "\(1\space a\space b\space c\)"（查询2同理），我们需要将结点 \(c\) 连向 \(path(a, b)\) 中的每一个点。暴力连边会使得连边数量达到 \(O(n^{2})\)，建边都会 TLE 更不用提做拓扑排序了。因此我们需要考虑优化建图。

学过线段树优化建图的话会发现这就是一道板子题。可以用重链剖分将每条路径分割成 \(O(\log n)\) 条重链，每条重链的 dfn 序是连续的，因此可以在 dfn 序上用线段树优化建图，每次连边是重链和单点之间的连边。

线段树优化建图上做拓扑排序的建图流程：线段树优化建图

每次建边复杂度会优化到 \(O(\log^{2}n)\)。总复杂度 \(O(n + m\log^{2} n)\)。具体实现见 code。

官解的做法用了倍增和建虚点，总复杂度是 \(O((n + m)\log n)\) 的。但已经补了一下午这道题实在是燃尽了，就暂且不补了吧qwq。。。

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