CF edu 181 E（思维+后缀背包trick）

E

简述下题意：一个不可重集 \(Q\)，需满足：

• \(|Q| =\) \(n\)
• \(Q_{i} \in [1, x]\)
• 可以由非空的且 \(\forall a_{i}\geq1\) 的数组 \(a\) 经过如下方式得到：令 \(s = \sum a_{i}\)，则 \(Q = \{s-a_{i}\}_{i=1}^{n}\) 去重后的集合。

对这样的集合 \(Q\) 计数。

直接对 \(Q\) 计数必然不好做，因此想办法将问题转化成与其形成 \(1-1\) 映射，且性质优良的序列计数：

考虑满足以下性质的数组 \(a\)：最小值一定是1，且里面只有1可重复，其他元素均不能重复。

现在证明：\(\forall\) 合法的 \(Q\)，均可以对应唯一一个这样的数组 \(a\)。

1. 先证明存在性（即可以映射到满足上述性质的 \(a\)）：

   首先，对 \(\forall\) 合法的 \(Q\)，一定会对应某个序列 \(b\)，可以形成 \(Q\)。对序列 \(b\) 做如下操作：

   • 将 \(b\) 内每个元素减掉 \(min(b) - 1\)（使得最小值一定为1），形成 \(b'\)。
   • 由于每个元素减掉的是相同的量，因此不难证明 \(b'\) 对应的集合 \(Q'\) 和 \(Q\) 中每个元素的差值相同。
   • 由于添加重复元素 \(val\) 只会使得 \(Q'\) 中的每个值加 \(val\)，而有 \(1 \in b'\)，因此一定可以通过添加若干个1，使得 \(Q'\) 中每个元素增加相同的值，进而将 \(Q'\) 转化为 \(Q\)。
   • 最后，对于 \(b'\) 中其他 \(>1\) 且重复的元素，可以将重复的部分转化为若干个1，显然这样不会改变 \(Q'\)。

   至此，对于 \(\forall Q\)，我们便构造了满足上述性质的序列 \(b'\)，存在性证毕。

2. 再证明唯一性（即证明不会存在两个不同的 \(a\)，对应同一个 \(Q\)，即证明 \(1-1\) 映射）：

   • 在首元素固定相同的情况下，对于任意两个不同的序列，差分数组一定不同。由于每个序列必然含首元素1，两个不同的 \(a\) 的差分数组不同，形成的集合 \(Q\) 的差分数组也一定不同，因此 \(Q\) 也一定不同。 唯一性证毕。

因此，我们便可将问题转化为对满足上述性质的数组 \(a\) 计数。

现在总结一下数组 \(a\) 需满足的所有性质（钦定 \(a\) 升序）：

• \(a_{1} = 1\)
• 只有1可重复，其他元素不可重复
• \(max(Q) = (\sum a_{i}) - 1 \leq x\) \(\Rightarrow\) \(\sum a_{i} \leq x + 1\)
• 恰好有 \(n\) 种不同的数

由于 \(a\) 中一定含有至少一个1，先将这个 \(1\) 刨去，转化为 \(\sum a_{i} \leq x\)；而对于其他的 \(1\) 是可有可无的，故可以先对其他的 \(a_{i} > 1\) 先求方案数，最后再考虑添加重复的1。

而对于 \(\forall a_{i} > 1\) 只能出现一次，相当于 \(a_{i} < a_{i + 1}\)。可以将 \(a_{i}\) 看作选择第 \(i\) 个物品的数量，这便类似于：若干个物品，其中第 \(i\) 个物品选取的个数必须严格少于第 \(i + 1\) 个物品选取的个数。可以用后缀背包这个技巧来解决：后缀背包

对除 \(a_{i} = 1\) 的其他 \(a_{i}\) 跑后缀背包，求出 \(dp[V]:\) 总和恰好为 \(V\) 的方案数。那么总方案数 \(ans\) 为：

\[ans = \sum_{i=0}^{V}dp[i]*(V-i+1) \]

其中 \((V-i+1)\) 的含义：其他 \(>1\) 的数选取总和为 \(i\)，而要求总和 \(\leq V\)，并且1是可重复选的。则相当于可以选择 \(0 \backsim V - i\) 个1。故对每一项还需要乘个系数。

具体细节见代码。

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