后缀背包

后缀背包是用于解决存在 选取的物品数量之间必须存在严格单调关系 这一要求的背包问题，属于完全背包的变式。

比如：有 \(n\) 种物品，体积 \(v_{i}\) 价值 \(w_{i}\)，背包体积为 \(V\)，每种物品可以无限选择，但必须满足：\(\forall i \in [1,n-1]\)，选取第 \(i\) 种物品的数量 \(<\) 选取第 \(i + 1\) 种物品的数量，求最大价值（方案数...）。

对于严格单调的序列，我们首先应当注意到一个性质——它的差分数组的每一项 \(d_{i} > 0\)。那么，我们不难想到可以通过对差分数组做背包间接满足“严格单调”这一要求：将差分数组的每一项看做物品，那么每种物品的选取要求就放宽了——只需要选择至少一个即可。而每一个 \(d_{i}\) 都必须至少为1，那我们便可以将每一种物品都固定选择一个，而对于剩下的物品，便相当于经典完全背包。

而对于差分数组中的某一项 \(d_{i}\) 加1，等价于选取第 \(i\) 到 \(n\) 种物品各一个，即相当于选取一个后缀。这便是后缀背包的核心要义——将物品序列的每一个后缀看作是一种新的物品，对这 \(n\) 个后缀的任意选择，可以保证原物品的选取满足数量上的单调性。

而注意到，差分数组中的每一项初值都是1。因此，对于每个物品，都要先将必须选取的部分从背包中扣除，而第 \(i\) 个物品一定至少选择 \(i\) 个，于是我们钦定对于 \(\forall i \in [1,n]\)，已经选择了 \(i\) 个第 \(i\) 种物品，扣除这些必选的部分，然后对于剩下的部分，每次必须选择一个完整的后缀，以保证物品选取数量的单调性。

于是问题便转化为了对原序列的每个后缀做完全背包。将必须选取的部分刨除，再预处理出每个后缀的体积和价值，对这些后缀做经典完全背包，即为所求。具体细节可以参考例题。

例题:

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