原根学习小记 [FINISHED]

（1）原根的定义

对于两个正整数$gcd(a,m)=1$，由欧拉定理可知，存在正整数$d \leq m-1$, 比如说欧拉函数$d=\phi (m)$，即小于等于 m 的正整数中与 m 互质的正整数的个数，使得$a^{d}\equiv 1(mod\ m)$。由此，在$gcd(a,m)=1$时，定义$Ord_{m}(a)=min_{d}(a^{d}\equiv 1(mod\ m))$。由前知$Ord_{m}(a) \leq \phi(m)$. 若$Ord_{m}(a) =\phi(m)$，则称是模的原根。

设$m=7$，则$\phi(m)=6$

• 设$a=2$,由于$2^3\equiv 1(mod\ m)$，而$3 \le 6$，所以 2 不是模 7 的一个原根。
• 设$a=3$,由于$3^{1}\equiv 3(mod\ m),3^{2}\equiv 2(mod\ m),3^{3}\equiv 6(mod\ m),3^{4}\equiv 4(mod\ m),3^{5}\equiv 5(mod\ m),3^{6}\equiv 1(mod\ m),$，因此有$Ord_{7}(3)=6$，所以 3 是模 7 的一个原根。

（2）原根的一些性质

• 可以证明，如果正整数$gcd(a,m)=1$和正整数 d 满足$a^{d}\equiv 1(mod\ m)$,则 d 能整除$\phi(m)$. 因此$Ord_{m}(a)$整除$\phi(m)$. 在上面的例子中，当$a=3$时，我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。

• 记$\delta =Ord_{m}(a)$，则$a^{0},a_{1},...,a^{\delta -1}$模 m 两两不同余。因此$a$是模$m$的原根时，$a^{0},a_{1},...,a^{\delta -1}$构成模 m 的简化剩余系。

• 模有原根的充要条件是$m=1,2,4,p^{n},2p^{n}$，其中$p$是奇质数,$n$是任意正整数。