线性代数

矩阵的运算

• 矩阵相加：\(C=A+B\), \(C_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\)
• 矩阵相乘：\(D=AB\)，\(d_{ij}=\sum_k a_{ik}B_{kj}\)

矩阵的对易

对于寻常矩阵来说：\(AB\neq BA\)
定义对易子(commutator)：\([A,B]=AB-BA\)
对易矩阵：满足\([A,B]=0\)的所有矩阵

一些常见的矩阵

对角矩阵：除了对角线上，其他的元素都为0
单位矩阵：除了对角线上，其他的元素都为0，并且对角线上元素全部为1
泡利矩阵：

\[\begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{matrix}\]

\[\begin{matrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{matrix}\]

\[\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{matrix}\]

泡利矩阵之间满足如下的对易关系：

\[[\delta_i,\delta_j]=2i\epsilon_{ijk}\delta_k \]

如何巧记levi-civita符号的奇偶顺序：在下图中按照顺时针走的都是奇顺序，符号值为1，按照逆时针走的都是偶顺序，符号值为-1。

矩阵的转置（transpose）：矩阵原来的行换成现在的列。满足一下性质：

\[detA=detA^{T} \]

\[detAB=detAdetB=detBA \]

\[(AB)^T=B^T A^T \]

厄米矩阵（hermitian）：\(A^{\dagger}=(A^T)^*=(A^*)^T\)

\[(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger \]

厄米矩阵的本征值始终是实数（因此在量子力学中被用来表示可观测量）。厄米矩阵不同本征值对应的本征向量正交归一。
共轭矩阵（conjugate）：\((AB)^*=A^*B^*\)
逆矩阵(inverse)：$$A^{{-1}=\frac{1}{detA}C_A}T$$
这里的\(C_A^T\)是矩阵\(A\)的cofactor的转置。如果一个矩阵的行列式为0，我们说它是不可逆的。

\[A^{-1}A=AA^{-1}=I \]

请记住二维矩阵如何求逆，考试时就不用再算了。

\[(ABC\dots Z)^{-1}=(Z\dots CBA)^{-1} \]

\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \]

幺正矩阵(unitary)：满足一下条件的矩阵：

\[U^{-1}=U^{\dagger} \]

矩阵的迹：矩阵对角线上所有元素的求和

\[tr(A+B)=tr(A)+tr(B) \]

\[tr(cA)=ctr(A) \]

\[tr(A^T)=tr(A) \]

\[tr(AB)=tr(BA) \]

相似不变性：如果\(B=P^{-1}AP\)，那么：

\[tr(B)=tr(A) \]

矩阵的cofactor和minor

minor（\(M_{ij}\)）: 是矩阵除去第\(i\)行，第\(j\)列之后得到的小矩阵。
cofactor（\((-1)^{i+j}detM_{ij}\)）:
如何求矩阵的行列式，挑一行或者一列，逐行或者逐列求矩阵的cofactor。
如果一个矩阵是由另一个矩阵的某一行或某一列乘以一个数再加到另一行或另一列上，则新生成的这个矩阵和原矩阵的行列式相等。

旋转矩阵

矩阵的函数

证明\(e^(A+B)\neq e^A e^B\).

向量平行和垂直的条件

求矩阵的特征值和特征向量

相似变换（保持矩阵的迹不变）