傅里叶级数
- 先讲一些废话：傅里叶级数也可以用来展开not differentiable everywhere，discontinuous的函数
- 用来将一个周期函数展开成正弦函数和余弦函数组成的级数。
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n cos(nx)+\sum_{n=1}^{\infty}b_nsin(nx)+\frac{1}{2}a_0
\]
- 正交归一性：不同参数的正弦函数和余弦函数是正交归一的。
函数的平均值（不是很懂为什么突然讲到这个）
average of \(f(x)\) on \((a,b)\): \(\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}\)
正弦余弦函数的平均值
\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sin^2nxdx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}cos^2nxdx=\frac{1}{2}$$（这里的证明过程回头做一下记录）
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sinmxcosnxdx=0\]
\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sinmxsinnxdx=\left\{\begin{matrix}
0,m\neq n,\\
\frac{1}{2}, m=n\neq 0,\\
0, m=n=0.
\end{matrix}
\right.
\]
\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}cosmxcosnxdx=\left\{\begin{matrix}
0,m\neq n,\\
\frac{1}{2}, m=n\neq 0,\\
1, m=n=0.
\end{matrix}
\right.\]
傅里叶级数的系数
先介绍周期为\(2\pi\)的函数的展开。这个很自然，因为我们的正弦函数和余弦函数的周期也是\(2\pi\)，\(sin(nx),cos(nx)\)的周期虽然是\(\frac{2\pi}{n}\)但它们也是每\(2\pi\)会有循环，\(2\pi\)还是他们的大周期。
\[a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$$（自己试着证明一下）
$$a_1=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosxdx\]
\[a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx
\]
\[b_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx
\]
狄利克雷条件
我们把函数\(f(x)\)展开成傅里叶级数，那么这个展开的级数是否收敛呢？如果收敛是否会收敛到\(f(x)\)的函数值呢？
如果一个函数\(f(x)\)具有周期\(2\pi\)，并且在区间\([-\pi,\pi]\)内满足以下条件：
- 单值（对于每个\(x\)只有唯一一个对应的函数值）
- 具有有限个极大值和极小值（像是\(sinx\)和\(cosx\)这种的就不行）
- 具有有限个不连续点
- \(\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|dx\)有限
那么该函数对应的傅里叶级数将在函数连续点收敛到\(f(x)\)，而在函数跳跃不连续点收敛到跳跃左右极限的中点。
也就是说或在狄利克雷条件的帮助下，我们不需要直接检验傅里叶级数的收敛性，可以检验原函数。
一组线性无关的向量可以用来表示空间中的任意向量。在傅里叶级数中，我们说\(sinx\)和\(cosx\)构成了函数空间的一组基底函数，这个函数空间是无限的，包含了所有在\(-\pi,\pi\)区间上满足狄利克雷条件的函数。这也是傅里叶级数可以展开一切“好函数”的原因。
但是不满足狄利克雷条件的函数也不是一定不能展开成傅里叶级数
Gibbs现象
在跳跃点附近，傅里叶级数的前\(n\)项和会超过或者低于函数值大约$9 % $，并且随着展开项数的增加，超过和低于的幅度不会降低或消失，只是局限在跳跃点附近的范围变窄。
傅里叶级数的复数形式
\(f(x)=c_0+c_1e^{ix}+c_{-1}d^{-ix}+c_2e^{2ix}+c_{-2}e^{-2ix}+...=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}c_ne^{inx}\)
\[C_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\]
\[c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx
\]
非\(2\pi\)周期函数的傅里叶展开
对于正弦和余弦形式的展开：
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{1}^{\infty}(a_ncos\frac{n\pi x}{l}+b_nsin\frac{n\pi x}{l})
\]
系数为：
\[a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx
\]
\[b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx
\]
对于复数形式的展开：
\[f(x)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{in\pi x/l}dx
\]
对应的系数为：
\[c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-in\pi x/l}dx
\]
Parseval's Theorem(completeness relation)
关键是找到\(f(x)^2\)的平均值（也即\(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2dx\)）和傅里叶级数系数之间的关系。
\[The \ average \ of \ f(x)^2 \ over \ a \ period=(\frac{1}{2}a_0)^2+\frac{1}{2}\sum_{1}^{\infty}a_n^2+\frac{1}{2}\sum_{1}^{\infty}b_n^2.
\]
这个对于周期为\(2\pi\)和周期为\(2l\)的傅里叶级数都好使。对于复数形式的傅里叶级数：
\[The \ average \ of |f(x)|^2 \ over \ a \ period = \sum_{-\infty}^{\infty}|c_n|^2
\]
傅里叶变换
\[f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}g(\alpha)e^{i\alpha x}d\alpha
\]
\[g(\alpha)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\alpha x}dx
\]
傅里叶变换的Parseval's theorem:
\[\int_{-\infty}^{\infty}|g(\alpha)|^2d\alpha=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx
\]
做题时候的一些技巧
傅里叶级数的展开有三种方式
- 构造偶延拓，我们把函数镜像对称，使得整体是偶函数。
- 构造奇延拓，我们把函数翻转对称，使得整体是奇函数。
- 构造周期延拓，我们把函数左右平移，拼接成周期函数。
令原来的区间长度为\(b\)，奇延拓和偶延拓都令原来的区间为半个周期，也就是说\(L=b\)，然后构造在\([-b,b]\)上的偶、奇函数并且周期延拓，周期长度为\(2L=2b\)：
\[a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)dx
\]
\[a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)cos{\frac{n \pi x}{L}}dx
\]
\[b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)sin{\frac{n \pi x}{L}}dx
\]
如果是偶延拓，则展开的傅里叶级数为：
\[f_c(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_ncos{\frac{n \pi x}{L}}$$.
如果是奇延拓，则展开的傅里叶级数为：
$$f_s(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_nsin{\frac{n \pi x}{L}}\]
对于周期延拓，新级数的周期还是\(2L=b\)，采用通用公式：
\[a_0=\frac{1}{L}\int_{0}^{b}f(x)dx
\]
\[a_n=\frac{1}{L}\int_{0}^{b}f(x)cos{\frac{n\pi x}{L}}dx
\]
\[b_n=\frac{1}{L}\int_{0}^{b}f(x)sin{\frac{n\pi x}{L}}dx
\]
利用奇偶性质减少计算量
如果是偶函数，\(bn\)直接为零，也就是说不存在正弦函数的展开项。
在做计算的时候我们可以利用奇偶性质直接简化，例如，如果原函数是偶函数，而\(cos\)函数也是偶函数，则我们在求系数的时候：
\[\int_{-l}^{l}f(x)cos{\frac{n\pi x}{l}}dx = 2\int_{0}^{l}f(x)cos{\frac{n\pi x}{l}}
\]
因为\(sin\)函数是奇函数，因此：
\[\int_{-l}^{l}f(x)sin{\frac{n \pi x}{l}}dx = 0
\]
这也导致了在偶延拓的时候\(b_n=0\)。
奇函数的简化是一样的道理。
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