四元数与旋转--来历和结论

依旧是前言

我在前一篇欧拉角的介绍里介绍过欧拉角，这是一种很直观的旋转表示。直观并没有什么不对的地方，但是我们人认为的直观，和机器认为的直观是有区别的......

欧拉角，这个旋转的表达方式从欧拉提出开始沿用至今，依然有顽强的生命力。现在的几种流行的MOCAP文件格式，ASF/AMC, BVH, C3D，除了最后一种存的是三维坐标，前两种的旋转全部是用欧拉角表示的。说实话，这并不是什么好事儿。都0202年了，欧拉角已经两百多年了，居然还在沿用。要说这个表示方法是什么很完美，很经典的方式也就算了，可欧拉角有很多严重的缺陷：比如万向节死锁的问题，会导致一个自由度完全失效。

所以，人们其实研究了一些替代品，比如轴角法表示，以及进一步的四元数表示。四元数表示起来最大的好处就是，连续。这一篇将会简单讲讲四元数的来历，以及与三维旋转的关系。

四元数是怎么来的

形式主义思维

感性来说，四元数就是这样的一个数：

\[q = a + bi + cj + dk \]

其中\(a, b, c, d\in R\), \(i, j, k\)是三个虚数单位。

哈，这篇文章当然不会只有这些，只是这个形式其实是很重要的。

复数是怎么来的

先看两元数复数的由来。

最开始数学家想啊，\(x^2=-1\)这个方程无解，这多不好看啊。要是存在一个数 \(i\)，它的平方是\(-1\)，这不就很有趣了吗，这样一来所有\(n\)阶方程就都有\(n\)个根了。有了这个虚数单位，就有了我们最经典的复数形式：

\[z = a +bi \]

其中有两个条件：

1. \(a, b\in R\)

2. 人为规定\(i^2=-1\).

这一下子就把数域给拓宽了。数学家们又发现\(i\)有很良好的周期性，于是他们把复数和平面的几何变换结合起来，诶，还挺合适的，复数在平面几何里面发挥了意想不到的作用。

两元到四元

平面几何有二元复数可以参与运算，那么立体几何呢？一般复数的两个自由度显然是不够的，因为立体的变换，起码得有三个自由度才够看。我们还回到这个复数的形式上，考虑这个操作：把\(a, b \in R\) 这个条件给删掉。这时的 \(a\) 和 \(b\)，或者表示成 \(A\) 和 \(B\) 要更合适一些，代表两个复数。就是这样的：

\[A=a+bi \]

\[B=c+di \]

你可能要奇怪啦：如果把这个 \(A\) 和 \(B\) 放到上面公式的 \(a\) 和 \(b\) 里面，结果还是一个二元复数呀，这个操作没有任何意义嘛。这就要改我们的第二个条件了，只不过 \(i\) 本身不用改，我们要做的是再加两个虚数单位 \(j\) 和 \(k\) 进去，而且满足：

1. \(i^2=j^2=k^2=-1\)
2. \(ij=k, jk=i, ki=j\)
3. \(ij=-ji, jk=-kj, ki=-ik\)

先不说这三个条件是干什么的，现在可是急着要把四元数的形式给推导出来。那么，把普通复数的虚数单位 \(i\) 换成 \(j\)，就得到了：

\[q=A+Bj=(a+bi)+(c+di)j=a+bi+cj+dk \]

这就是之前看到的那个形式了。

四元数和旋三维旋转什么关系

向量的四元数表示

我们知道，三维坐标只有三个自由度，而四元数有四个成员，怎么才能把三维坐标和四元数联系在一起呢？
首先想到的肯定是削减一个自由度，保留另外三个。这里就要用到之前对\(ijk\)的定义了。相信聪明的你已经发现了，这三个单位的定义有极强的对称性，就像……三个坐标轴。而他们的乘法，有着反交换性，这让你想起了什么？

对，叉乘。这几个条件就是让 \(i, j, k\) 分别对应到三维坐标系的三个坐标轴方向的单位向量。明确这一点后，接下来说的也就不难理解了：

把上面的字母换一下，换成 \(q=w+xi+yj+zk\) ，它就可以写成 \(q=(w, \boldsymbol{v})\)。其中\(w\)就是前面的\(w\)， 通常称为标量部分；\(\boldsymbol{v}=[x\quad y\quad z]\)，也就是通常说的矢量部分。一个三维向量如果要写成四元数，就把这个三维向量填到四元数的矢量部分，而把标量部分置为0，也就是\((0, \boldsymbol{v})\).

按照这种表示方法，一个三维向量就和一个四元数对应起来了。三维旋转，自然而然，就是把一个四元数通过某种方式转化成为另一个四元数。下面重点来啦（咚咚咚敲黑板）

单位四元数表示的旋转

绕单位向量\(\boldsymbol{n}=[n_x\quad n_y\quad n_z]\)表示的转轴逆时针旋转角度\(\theta\)的旋转，可以用单位四元数表示成：

\[p=(\cos\frac{\theta}{2}, \boldsymbol{n}\sin\frac{\theta}{2}) \]

写成显式表达为：

\[p=\cos\frac{\theta}{2}+in_x\sin\frac{\theta}{2}+jn_y\sin\frac{\theta}{2}+kn_z\sin\frac{\theta}{2} \]

它的作用方式比较特殊。对于一个给定的向量\(\boldsymbol{v}\)，四元数表示是\(q=(0, \boldsymbol{v})\). 显然直接的乘法，即\(pq\)或者\(qp\)是得不到想要的旋转结果的。这个作用方式更像是线性代数中讲的二次型，是一种对称的表达形式：

\[q^\prime=pqp^\star \]

其中\(p^\star=(\cos\frac{\theta}{2}, -\boldsymbol{n}\sin\frac{\theta}{2})\)，是\(p\)的共轭.

End？

到这里算结束了吗，算是吧，至少这篇只是介绍一下四元数的来历和与旋转的关系。甚至对于时间严重不足的读者，可能整篇只有加粗的那段是有用的。

实际上我本来想要介绍一下这个形式的来历，但那就要讲到四元数的运算律，这可不是一两句话能说明白的，于是我就放到下次再介绍吧。而且，这篇已经有一八百千多字了，我可不想每篇都写成一篇三四千字的报告，那样我写着也痛苦，你读着也痛苦：<

最后，这文章仅供参考。我不想写成一篇学术报告，因此说的比较口语化，也可能有些错误。如果发现请指正呀。

Thx.