两种欧拉角及其到旋转矩阵的转化

欧拉角定义

欧拉角(Euler Angle)，由著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)提出，故而得名。欧拉角旨在用三个角度来表示刚体在三维空间的旋转。这种表示方法经历了3个世纪，其实已经非常古老了，自身有一些局限性，塞利斯基（Richard Szeliski）所著《计算机视觉：算法与应用》一书中对欧拉角甚至只是一笔带过。但是欧拉角现在依然在广泛使用，因此仍然有深入学习的必要。

首先我们统一符号:

• \(Oxyz\)是世界坐标系，是固定不变的。
• \(OXYZ\)是被旋转的局部坐标系。

欧拉角的定义分为静态定义和动态定义。百度上说的很复杂，两种定义方式并没有给出很明确的区分，但是对我们计算需求而言，只需要一点区分就可以了，那就是：旋转是基于全局坐标系还是局部坐标系。

基于局部坐标系的旋转

有点“我绕着自己转”的意思。

最典型的欧拉角旋转为\(z-X-Z\)顺序，即刚体先后绕\(z, X, Z\)轴旋转角度\(\alpha, \beta, \gamma\)。注意字母大小写，即最开始是绕全局坐标系的\(z\)轴旋转，之后按顺序绕自己局部坐标系的\(X\)轴和\(Z\)轴旋转，考虑到最开始两个坐标系是重合的，即\(z=Z\)，这种旋转顺序也可以理解为\(ZXZ\)。

这种旋转的流程如图所示。每张图中的红色椭圆代表了旋转轴的法平面。

在维基百科的对欧拉角的解读中，有一张将过程整合的图，百度上也有但是清晰度要差很多。

基于全局坐标系的旋转

这种旋转非常好理解，世界坐标系是不变的，刚体的局部坐标系先后绕三个固定的轴作旋转，就是这种欧拉角的效果了。同样的，用分布图解来看，下图显示了顺序为\(z-x-y\)的欧拉角所展示的结果：

三维旋转矩阵

基本旋转矩阵

如果考虑一个很简单的旋转，这个旋转简单到只是绕着某个坐标轴旋转一个角度\(\theta\)，绕着转的坐标轴所对应的坐标就不会有任何变化，而我们已经知道，二维平面的旋转矩阵是这样的：

\[R(\theta)=\left[\begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{matrix}\right] \]

那第三个维度只要保持不变就好了。这就不难理解绕着三个基本坐标轴旋转特定角度所对应的旋转矩阵：

\[R_x(\psi)=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\psi & -\sin\psi \\ 0 & \sin\psi & \cos\psi \end{matrix}\right] \]

\[R_y(\theta)=\left[\begin{matrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{matrix}\right] \]

\[R_z(\varphi)=\left[\begin{matrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \]

至此，有一个十分关键的点，就是这三个旋转矩阵的适用前提都是刚体的旋转轴是定义坐标时用的坐标系。这很好理解，毕竟这几个矩阵乘以三维向量后，都会有一个坐标值是不改变的，那么旋转就一定是绕这个轴进行的。

旋转矩阵和两种欧拉角

这里的两种欧拉角并不是指两种定义方式，而是上面说的两种参照，是绕自己的轴转，还是绕全局的轴转。

除了旋转方式的差异，我们所诉求的坐标不同也会导致结果的不同。有两种诉求：转向量和转坐标系。前者是旋转向量，同时带动向量的局部坐标系旋转；后者则是旋转局部坐标系，待求的向量在全局坐标系下是保持不变的。有趣的是，如果在转向量时，把局部坐标系作为我们的参考，那么就可以等效为响亮不动而转坐标系的情况。下面先说点固定不动，而转坐标系的情形下，怎么求局部坐标的变换矩阵。

规定一些事情以便比较：

• 最开始全局坐标系和局部坐标系是重合的；

• 旋转的顺序都是\(xyz(XYZ)\)；

• 旋转角保持和前面一节一致：分别是\(\psi, \theta, \varphi\).

绕局部坐标轴旋转

如果旋转是绕着局部坐标系进行的，所有的坐标又都是或可以看成局部坐标系，那么我们就可以当全局坐标系不存在。假设变换前后的固定点在局部坐标系下的坐标分别是\(P_0\)和\(P_1\).

第一步绕x轴旋转\(\psi\)角度，对应的旋转矩阵即为两者之间的坐标变换矩阵：

\[R_xP_x=P_0 \]

注意变换矩阵的位置，是乘在变换后的\(P_x\)的左边。同理：

\[R_yP_{xy}=P_x \]

\[R_zP_{xyz}=P_{xy} \]

其中\(P_{xyz}=P_{1}\).

三个式子迭代，就得到了

\[R_xR_yR_zP_1=P_0 \]

两者之间最终的坐标变换矩阵最终是这样的：

\[R_{local}=R_xR_yR_z \]

反直觉的是，如果把\(P_1\)和\(P_0\)的关系换一种方法写：

\[P_1=R_z^TR_y^TR_x^TP_0 \]

分开的三个矩阵的作用顺序是指定的x-y-z，但他们是以转置，也就是逆矩阵的形式作用在\(P_0\)上的。

下面问题来了，是不是绕全局坐标系旋转，他们就会以原形式作用呢？往下看。

绕全局坐标轴旋转

正式应用中，这种绕全局坐标轴旋转的欧拉角叫做"RPY"(Roll, Pitch, Yaw)，如果更细化一些，RPY分别对应于ZYX。先给出旋转矩阵的形式（按照\(x-y-z\)的顺序旋转）：

\[R_{global}=R_zR_yR_x \]

证明的话，可以从坐标变换的根本出发，即基底变换。全局坐标系的基底为：

\[[\boldsymbol{\varepsilon}_1\quad\boldsymbol{\varepsilon}_2\quad\boldsymbol{\varepsilon}_3]= \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \]

在全局坐标系中的坐标为

三个基底都可以作为单独的向量。在对目标局部坐标系进行旋转时，对每个基底的旋转是等同的。最开始，目标基底和全局基底相等。本质上是对向量的旋转，以\(\boldsymbol{\varepsilon}_1\)为例，首先绕x轴旋转，得到了\(R_x\boldsymbol{\varepsilon}_1\)为新的基向量；下一步绕y轴旋转，得到了\(R_y(R_x\boldsymbol{\varepsilon}_1)\)；最后得到的是

\[\boldsymbol{\varepsilon}_1^\prime=R_zR_yR_x\boldsymbol{\varepsilon}_1 \]

因此，我们可以发现基底的变换满足：

\[[\boldsymbol{\varepsilon}_1^\prime\quad\boldsymbol{\varepsilon}_2^\prime\quad\boldsymbol{\varepsilon}_3^\prime]=R_zR_yR_x[\boldsymbol{\varepsilon}_1\quad\boldsymbol{\varepsilon}_2\quad\boldsymbol{\varepsilon}_3] \]

这就可以直接作为坐标系之间的旋转变换关系了。

事实上，考虑到\([\boldsymbol{\varepsilon}_1\quad\boldsymbol{\varepsilon}_2\quad\boldsymbol{\varepsilon}_3]=I\)，上面的等式可以表达为更简单的形式：

\[[\boldsymbol{\varepsilon}_1^\prime\quad\boldsymbol{\varepsilon}_2^\prime\quad\boldsymbol{\varepsilon}_3^\prime]=R_zR_yR_x \]

如果我们进一步想由此写出坐标转换关系，那么根据基底和坐标的关系：

\[[\boldsymbol{\varepsilon}_1^\prime\quad\boldsymbol{\varepsilon}_2^\prime\quad\boldsymbol{\varepsilon}_3^\prime]P_1=[\boldsymbol{\varepsilon}_1\quad\boldsymbol{\varepsilon}_2\quad\boldsymbol{\varepsilon}_3]P_0 \]

即

\[R_zR_yR_xP_1=P_0 \]

转向量的情形

针对向量的旋转问题中，我们更多关注的是：一个向量\(P_0\)经过指定的旋转之后，得到的向量在原坐标系下的坐标\(P_1\)。如果绕全局坐标系旋转，这个转换就很直接了（依然是按照\(x-y-z\))的顺序：

\[P_1=R_zR_yR_xP_0 \]

而如果我们在转动向量的时候，是以其局部坐标为基准的（不要以为这种反人类的旋转方式不存在，事实上，BVH中的节点旋转就可以说是这么定义的），那么可以逆向思考，即把这个旋转问题转化为坐标转换矩阵的求解。如果我们以局部坐标系为参考，那么旋转过程中向量的坐标是不变的，旋转等价于绕固定的三个轴对全局坐标系作方向相反的旋转。根据上面的求解的结果，我们知道坐标转换关系是：

\[R_z^TR_y^TR_x^TP_1=P_0 \]

于是：

\[P_1=R_xR_yR_zP_0 \]

这种形式和第一种欧拉角相比，三个旋转矩阵的乘积顺序恰恰相反。

The End

这四种情形之间关系很密切，非常的绕……由于之前在处理BVH(BioVision Hierarchy)文件时，一直对文件里的三轴旋转理解有问题，所以查了很多资料，整理了一下。

本文基于个人理解，可能会有错误；如有雷同，是他抄我 ，怎么会雷同呢，真是的:-/

三张图片，除了第二章整合过程图是在维基百科上下载的，其他的两张分步过程图都是原创，要使用的话请注明出处：）

Thx.