构造交互通信艾德毫克特殊题

LED灯道路

一个有向图，\(N \le 50000\)，对边进行三色染色，要求不存在长度超过 \(42\) 的只有一种颜色的链。

这道构造题，考虑到 \(42^3 > n = 50000\)，将整图三层分块，即每 \(42\) 条边分一小块，每 \(42\) 小块分一个大块，最后 \(\le 42\) 个大块为最终结果。

小块里面连 \(R\) 边，小块之间连 \(G\) 边，大块之间连 \(B\) 边。

不难发现，将不会出现长度超过 \(42\) 的同色链。

构造完成。

P12446 [COTS 2025] 答好位 / Vrsta

至多进行 \(K\) 次询问，每次可以询问一段区间 \([l, r]\)，返回这段区间的次大值的下标。最后询问你 \([l, r]\) 区间内次大值的下标。

考虑打表判断。

对于序列 A = 5、2、9、6、8、3、4、1、7 ，我们把 \([l, r]\) 作为下标，打出这样一张表：

注意到，每个下标在表中最多出现在两个矩形内。

证明简单：对于下标 \(i\)，记 \(pre_i\) 表示 \(i\) 前最后一个比 \(i\) 大的位置，\(nxt_i\) 表示 \(i\) 后第一个大于 \(i\) 的位置， \(pp_i\) 为 \(i\) 前倒数第二个大于 \(i\) 的，\(nn_i\) 为 \(i\) 后第二个大于 \(i\) 的。

则必定存在两个矩形满足条件，为：

\[[pp_i + 1, pre_i] \times [i, nxt_i - 1] \cup [pre_i + 1, i] \times [nxt_i​ ,nn_i − 1] \]

故此得证。

所以我们得来做法：

我们取得一段区间 \([l, r]\) 的最大值 \(mx\) 和次大值 \(mxx\)，则有矩形 \([l, mx] \times [mxx, r]\) 已知（假设 \(mx < mxx\)）。

此时我们直接向 \([l, mxx - 1]\) 和 \([mx + 1, r]\) 递归即可。

加个记忆化就行。

总递归 \(2n\) 次，加上一开始需要找 \(mx\) 的 \(n\) 次，一共 \(3n\) 次询问，可做。

CODE

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int ans[3020][3020];
bool vis[3020][3020];

int qry(int x, int y){
	cout<<"? "<<x<<' '<<y<<endl;
	int res; cin>>res; return res; 
}

void solve(int l, int r, int mx){
	if(l == r) return ;
	if(vis[l][r]) return ;
	vis[l][r] = 1;
	int mxx = qry(l, r), x, y;
	tie(x, y) = minmax(mx, mxx);
	for(int i = l; i <= x; i ++) for(int j = y; j <= r; j ++) ans[i][j] = mxx;
	solve(l, y - 1, x), solve(x + 1, r, y);
}

signed main(){
	int n; scanf("%d", &n);
	int x = qry(1, n), l = x, r = x;
	while(r < n && qry(l, r + 1) != x) r ++;
	while(l > 1 && qry(l - 1, r) != x) l --;
	int mx = (l == 1 ? r + 1 : l - 1);
	solve(1, n, mx);
	cout<<"!"<<endl;
	int q; scanf("%d", &q);
	while(q --){
		int l, r; scanf("%d%d", &l, &r);
		cout<<ans[l][r]<<endl;
	}
	return 0;
}

P3526 [POI 2011] OKR-Periodicity

定义 \(Pre(S)\) 为 \(S\) 的所有周期（即最后一个周期可以残缺）构成的集合，构造一个 \(01\) 字符串 \(T\)，使得 \(Per(s) = Per(T)\)。

我们首先从特殊情况入手。

假如这个字符串没有周期，那么显然 \(00\cdots 01\) 就是一个合法的字符串。

接着我们考虑怎样求一个周期。

一个显然的结论是：一个字符串的周期，必然是它的最长 \(boarder\) 之长，这是一个经典的结论。