论尺规做正五边形

尺规作图

背景

老师让我们出一道和黄金分割有关的题目，出题如下：

已知 \(\odot O\) 有两条相互垂直的直径 \(AB\) 和 \(CD\)，请用无刻度直尺和圆规作过点 \(A\) 的圆内接正五边形。

正五边形当然与黄金分割有关啦，(●'◡'●)。

正解

图如下（省略所有字母）：

简证

不妨设半径为 $2$，求边长。

最后用特定的三角函数 \(\sin 36^o = \Large \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\)，求得圆心与顶点连线所夹最小角的一半为 \(36^o\)，因此得证。

后话

如果你只是为了尺规作图来的，现在可以离开了。

如果你想要挑战自我的话，请继续向下。

单尺作图

Step1 起源

在 \(CSP-J2025\) 中 \(AK\) 后，想到能否将上述作图方法转化为单尺？

开始尝试。

Step2 两弧作圆

考虑确定最后两个顶点的两条弧。

我们发现，只需要过一开始的 \(A\) 点作关于 \(OP\) 的对称点即可。

期望图如下：

最终定稿如下：

具体作法

1. 利用圆内直角三角形和垂心的性质（见上图红线），任意做一组对应点（见上图红方点）

2. 利用对称性作图（蓝线）。

3. 另一点同理。

那么现在恭喜你，已经将这张图优化到两条弧了。

Step3 简化原题

原题给了一组垂径和一个中点。我们不禁要想：

有没有可能将这去掉，只留下一圆一点呢？

可以的兄弟，当然可以。

感谢学校的 xzh 大佬的倾情指导。我们了解到，有方法作出来这些东西。

诸如下图：

Step4 两化一

又两周过后，这两周没什么大的变化。

前面忘了，豆包就是个，后面忘了。

知道配有的一道题给了我启发，换根本思路，做出如下图：

一条弧作法（省略一些不相干线段），将原先的做相等改为做平行（橙线），从而取掉一条线段。然后用惊人的注意力在竖的直径上做出相等的点（黄三角），然后连线做出半径上的关键点（绿菱形），最后做平行即可。

现在，恭喜你，小发明家，你已经发现这道题的单弧做法了！

Step5 单尺

继续优化，我们发现，我们现在做出的弧，无异于做一个直角三角形。

那么哪里有直角三角形呢？圆里！

突发奇想，我们把要做的直角三角形以圆上半径的那个点以 \(1:2\) 位似放大，我们突兀地就做完了。

恭喜你，你成功发明了圆内接正五边形的单尺做法！

MVP 结算画面

最终清算：点 \(\times 58\)， 线 \(> 100\)，绘图用时 \(15 mins\)，总用时 \(> 1 month\)。

特别鸣谢：

• 作者自己
• 校内大佬
• 豆包