贪心、构造、DP、交互 合集（Part 2）

Problem A. CF704B Ant Man

题意：

有 \(n\) 个元素，第 \(i\) 个元素有五个参数 \(x_i,a_i,b_i,c_i,d_i\)。

你需要求出一个 \(1 \sim n\) 的排列 \(p\)，满足 \(p_1 = s, p_n = e\)，同时最小化这个排列的权值。

一个排列的权值为 \(\sum_{i=1}^{n-1} f(p_i, p_{i+1})\)，其中 \(f(i,j)\) 定义为：

• 若 \(i > j\)，则 \(f(i,j) = x_i - x_j + c_i + b_j\)。
• 若 \(i < j\)，则 \(f(i,j) = x_j - x_i + d_i + a_j\)。

\(2 \leq n \le 5 \times 10^3\)，\(s \ne e\)，\(1 \le x_1 < x_2 < \cdots < x_n \le 10^9\)，\(1 \le a_i,b_i,c_i,d_i \le 10^9\)。

解法：

这一类问题都可以描述如下：

你要求一个排列 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\)，最小 / 最大化 \(\sum \limits_{i=1}^{n-1} f(p_i,p_{i+1})\)，其中 \(f(i,j)=\begin{cases} f(i)+g(j) && i<j\\h(i)+r(j) && i>j\end{cases}\)。

考虑到 \(f\) 的值与参数关系有关，考虑钦定顺序进行连续段 DP，记 \(f_{i,j}\) 表示已经填入 \([1,i]\)，目前形成了 \(j\) 个连续段的答案。转移都是容易的，不过细节是插入 \(s\) 和 \(e\) 时有些转移是不合法的需要注意。

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Problem B. CF1835C Twin Clusters

题意：

给定 \(k\) 与一个长度为 \(2^{k+1}\) 的整数序列，每个数 \(a_i \in [0,4^k)\)。求序列的两个非空不交子区间，异或和相等或确定无解。

\(0 \leq k \leq 17\)。

解法：

性质很多，逐步挖掘。

首先，不交的限制绝大多数情况都没意义。如果找到两个相交子区间异或相等，当且仅当一个区间包含另一个且长度差为 \(1\) 时无法构造不交的区间。

其次，我们断言必然有解。考虑反证。根据上述结论，容易知道每种区间异或和出现次数不超过 \(2\) 次，否则有解。其次，考虑区间个数为 \(\dfrac{2^{k+1}(2^{k+1}+1)}{2} > \dfrac{2^{2k+2}}{2}=2^{2k+1}=2\times 4^k\)，每种异或结果不超过 \(2\) 个，故至少有 \(4^k+1\) 个不同区间异或，与题意矛盾。

最后，根据生日悖论，每次随机一个区间并计算异或和，加入 map 维护即可。复杂度 \(O(2^{k+1}\operatorname{poly}(k))\)。

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Problem C. CF865E Hex Dyslexia

题意：

给定一个十六进制数 \(x\)，可能含有前导 \(0\)。找到最小的长度和输入的数相等的十六进制数 \(b\) 使得存在另一个个长度和这个数相等的十六进制数 \(a\) 满足 \(a-b=x\) 且 \(a,b\) 的各位数字可以通过重排相同。\(a,b\) 可以有前导 \(0\)。若无解请报告，否则输出最小的 \(b\)。

记 \(n\) 为 \(x\) 长度，保证 \(n \leq 14\)，时限 \(3\) 秒。

解法：

首先考虑有解的必要条件。

由于 \(a,b\) 重排相等，所以必然模 \(15\) 同余。原因比较显然。

考虑 \(a-b=x\)，所以 \(x \equiv 0 \pmod {15}\)。这是有解的必要条件。

考虑 \(a\) 与 \(b\) 各位数字相等，但是却有 \(b=a-x\)，若记 \(s\) 为 \(x\) 各位数字和，则 \(\dfrac s {15}\) 为 \(a-b\) 退位次数，原因是每次退位会使得数位和减去 \(15\)。

考虑枚举哪些位退位，复杂度至多 \(O\left(\binom {n} {\frac{n}{2}}\right)\)。

枚举进位后，每个位置的 \(a_i-b_i\) 可以直接求出。不妨将 \(b\) 看作 \(a\) 的置换，画出置换环，每条边的边权是 \(a_i - a_{p_i}\)。我们需要在每个点上写上 \([0,15]\) 的点权，使得每条边左右两数差为边权，同时最小化 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 的字典序。

事实上，我们可以发现每个置换环的最小点权必然都为 \(0\)，否则将环上所有点权减去最小值即可。然后我们还可以发现，两个有相同数的环可以通过更改指出的边进行合并。于是我们得到结论，存在最优解使得存在唯一的置换环，大小为 \(n\)。

接下来是容易的，进行 DP，记 \(f_S\) 表示目前已经加入了 \(S\) 这些点的最小答案，转移是简单的，总复杂度 \(O\left(\binom {n} {\frac{n}{2}} n2^n\right)\)，可以通过。

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