网络流

定义

网络

我们称一个带权有向图 \(G=(V,E)\) 为网络，每个网络中还有两个特殊点，源点 \(s\) 和汇点 \(t\)。每条边 \(e\) 的边权为 \(c(e)\)，我们称其为容量。

可行流

对于一个网络，定义一个可行流为给每条边的一个流量 \(f(e)\)，满足：

1. 容量限制：\(\forall e \in E, 0 \leq f(e) \leq c(e)\)。
2. 流量守恒：\(\forall u \in V-\{s,t\},\sum \limits_{v} f(u,v) = \sum \limits_{v} f(v,u)\)。即除了源点和汇点之外的每个点，流入量等于流出量（净流量为 \(0\)）。

可行流 \(f\) 的流量 \(\left| f \right|\) 定义为源点 \(s\) 的净流出量，即 \(\sum \limits_{v} f(s,v) - \sum \limits_{v} f(v,s)\)。

推论：\(f\) 的流量 \(\left| f \right|\) 也等于 \(t\) 的净流入量，即 \(\sum \limits_{v} f(v,t) - \sum \limits_{v} f(t,v)\)。

割

对于一个网络 \(G=(V,E)\) 和源汇 \(s,t\)，定义一个割 \((S,T)\) 为点集 \(V\) 的划分方式 \(V=S \cup T, S \cap T = \varnothing\)，其中 \(s \in S, t \in T\)。即把所有点分成两部分，\(s\) 和 \(t\) 分别属于不同部分。

割的容量 \(C(S,T)\) 定义为从 \(S\) 到 \(T\) 的所有边容量和，即 \(\sum \limits_{u \in S, v \in T} c(u,v)\)，注意形如从 \(v\) 到 \(u\) 的边不被考虑。

残留网络

对于可行流 \(f\)，其残留网络 \(G_f\) 定义如下：

\(G_f\) 的点集仍是原来网络的点集 \(V\)。

对于原网络所有边 \(e(u \rightarrow v)\)，若 \(f(e) < c(e)\)，\(G_f\) 中有 \(u \rightarrow v\) 的边，容量为 \(c(e)-f(e)\)。

对于原网络所有边 \(e(u \rightarrow v)\)，若 \(f(e)>0\)，则 \(G_f\) 中有 \(v \rightarrow u\) 的边，容量为 \(f(e)\)。

增广路

对于可行流 \(f\)，其增广路定义为 \(G_f\) 中某条从 \(s\) 到 \(t\) 的路径。

网络流相关算法

最大流

对于网络 \(G=(V,E)\) 和源汇 \(s,t\)，求流量 \(\left| f \right|\) 最大的可行流 \(f\)。

FF 算法

观察：对于可行流 \(f\)，存在流量比 \(\left| f \right|\) 更大的可行流 \(f'\) 等价于 \(f\) 有增广路。

证明：

1. 充分。如果 \(f\) 有增广路，令 \(a\) 为其某条增广路上容量最小的边，然后让路径上原本的正向边流量 \(+a\)，反向边流量 \(-a\)，那么总流量就会加上 \(a\)。又 \(a>0\)，于是存在更大的流量。
2. 必要。即证如果 \(f\) 不存在增广路，则 \(f\) 是最大流。
   引理：对于任意可行流 \(f\) 和割 \((S,T)\)，都有 \(\left| f \right| \leq C(S,T)\)。
   证明：\(\left| f \right|\) 等于 \(s\) 净流出，也等于 \(S\) 集合净流出（因为除了 \(s\) 其他点净流出为 \(0\)），进一步等于 \(S \rightarrow T\) 流量减去 \(T \rightarrow S\) 流量，小于等于 \(C(S,T)\)。
   引理证毕。
   推论：如果存在 \(\left|f\right|=C(S,T)\)，则 \(f\) 是最大流，\(S,T\) 是最小割。
   考虑一个可行流 \(f\) 和其残留网络 \(G_f\)，令 \(S\) 为 \(G_f\) 中从 \(s\) 出发能到的点，\(T=V-S\)，可以证明此时 \(\left| f \right| =C(S,T)\)。
   考虑 \(S \rightarrow T\) 的边在 \(f\) 中必然满流，同时 \(T \rightarrow S\) 的边在 \(f\) 中流量必然全都是 \(0\)。那么 \(\left|f \right|\) 就等于 \(S \rightarrow T\) 流出量等于 \(S \rightarrow T\) 容量，等于 \(C(S,T)\)。

基于上述证明，我们也直接得到了最大流最小割定理，即最大流等于最小割。并且我们得到了一个最大流算法：不断找增广路直到不存在增广路。直接的实现复杂度为 \(O(\left|E\right|\left|f\right|)\)，其实是非多项式复杂度的。

EK 算法

FF 算法的改版，基于 BFS 每次寻找最短的增广路，可以证明复杂度为 \(O(\left|V\right|\left|E\right|^2)\)。

例题

Problem A. CF628F Bear and Fair Set

题意：有一个 \(n\) 个数的整数集合，保证 \(5\mid n\)，每个数都在区间 \([1,b]\) 区间中，且 \(n\) 个数中模 \(5\) 余 \(0,1,2,3,4\) 的数的个数都相同。现在有 \(q\) 个限制，每个形如 \([1,u_i]\) 中在集合内的数的个数为 \(t_i\)，判断是否存在合法的一个集合。

解法：

考虑把所有限制离线排序，然后转化成前缀和差，就变成了若干个互不相交的区间，每个区间的和是某个数。注意这里需要添加一个 \([1,b]\) 有 \(n\) 个数。

建立网络，建 \(5\) 个虚点，从源点连向他们，每条边容量都是 \(\dfrac{n}{5}\)，然后每个虚点向相对应的余数为 \(0,1,2,3,4\) 连边，容量为 \(1\)。限制变成新建一个虚点，将 \([l,r]\) 中每个点向这个虚点连边，容量为 \(1\)。虚点向汇点连边，容量为 \(c\)，\(c\) 为这个区间中的数的个数。显然问题等价于最大流是否为 \(n\)。使用 Dinic 即可通过。

Submmison Link.