CF1709C Recover an RBS

题意

共 $t$ 组数据，每组给定一个字符串 $s$，包括 (， ) 和 ?。你可以进行无限次操作，每次把一个 ? 换成一个 ( 或者一个 )。问是否有多种方法可以将这个字符串变为一个正确的括号序列。

解法

考虑贪心。

对于每一个字符串，我们不妨先找到其中一个正确的括号序列。假设最初这个字符串长度为 $n$，其中有 $x$ 个 (，$y$ 个 )。那么我们要将 $\dfrac{n}{2} - x$ 个 ? 替换成 (，把 $\dfrac{n}{2} - y$ 个 ? 替换成 )。

显然当一个字符串是一个括号序列时，对于每一位 $i$，从 $1$ 到 $i$ 中 ( 的出现次数一定 $\geq$ ) 出现的次数。并且最终 ( 和 ) 出现次数一样。

我们不妨找到 ? 变成 ( 的所有字符中最靠后的一个和 ? 变成 ) 最靠前的一个。交换这两个 ( 和 )。如果交换后这是一个合法括号序列，那么至少有两种合法方案，如果不合法，则只有一种合法方案。

接下来考虑证明：

假设找到的两个位置为 $i$ 和 $j$。反证，如果有另一个合法序列，交换了 $x$ 和 $y$，显然不存在 $x > i$ 或 $y < j$，因为 $i$ 和 $j$ 都是端点。那么一定有 $x \leq i$ 和 $y \geq j$。显然对于 $1$ 到 $x - 1$ 和 $y + 1$ 到 $n$ 而言，与交换 $i, j$ 没有区别对于中间的括号，由于 $x$ 和 $y$ 的范围比 $i$ 和 $j$ 大，显然选取较小的范围也一定可以。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;

int t;
string s;

inline bool check(string p)
{
	int c1 = 0, c2 = 0, l = p.size() - 1;
	for (int i = 0; i <= l; i++)
	{
		c1 += p[i] == '(';
		c2 += p[i] == ')';
		if (c1 < c2) return 0;
	}
	if (c1 != c2) return 0;
	return 1;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		cin >> s;
		int l = s.size() - 1;
		int c1 = count(s.begin(), s.end(), '('), c2 = count(s.begin(), s.end(), ')');
		string copy = s;
		int pl = 0, pr = 0;
		for (int i = 0; i <= l; i++)
		{
			if (copy[i] == '?' && c1 + 1 <= (l + 1) / 2) copy[i] = '(', c1++, pl = i;
			else if (copy[i] == '?')
			{
				copy[i] = ')', c2++;
				if (!pr) pr = i;
			}
		}
		string h = copy;
		swap(copy[pl], copy[pr]);
		if (h != copy && check(copy))
		{
			printf("NO\n");
		}
		else printf("YES\n");
	}
	return 0;
}