P8207 [THUPC2022 初赛] 最小公倍树

题意

给定 $l, r$，有一张无向完全图 $G=(V,E)$，其中 $V=\{l,l+1,\cdots,r\}$。两点 $u,v$ 之间有边，边权为 $\operatorname{lcm}(u,v)$。求这张图的最小生成树。

$1 \leq l \leq r \leq 10^6$。

做法

考虑暴力建边，设 $n = r - l + 1$，则复杂度 $O(n^2 \log n^2)$，显然复杂度不对。

考虑 $\operatorname{lcm}(u,v) = \dfrac{u \cdot v}{\gcd(u,v)}$，可以枚举 $\gcd(u,v)$。

假设当前枚举到的公因数为 $i$，设 $p_i$ 为 $\geq l$ 且最小的是 $i$ 的倍数的数。那么可以将 $p_i$ 和 $p_i + i, p_i + 2i, p_i + 3i, \cdots$ 连边，直到 $p+ki > r$ 时停止。

时间复杂度 $O(n \log^2 n$)。