CF1715C Monoblock

题意

给定一个序列 $a$，其一个区间的价值 $g(l, r)$ 定义为这个区间连续段的数量。定义整个序列的价值为 $\sum\limits_{l = 1}^n \sum\limits_{r = l}^n g(l, r)$。给定序列 $a$ 和 $m$ 次询问，每次询问给定 $i,x$，执行 $a_i \leftarrow x$ 后询问序列价值。

解法

一眼看上去多次询问很容易想到数据结构。但是貌似并不好维护。

这里提供一种和题解不太相同的分类讨论做法。

假设目前序列价值为 $ret$，修改的参数是 $i,x$。

• 若 $a_i=x$，没有改动，不变。

• 若 $a_{i-1}=a_{i+1}=a_i$，例如 $[3, 3, 3] \rightarrow [3,4,3]$，对于 $l < i < r$，其贡献 $+2$，对于 $l=i, r > i$， 其贡献 $+1$，对于 $l < i, r= i$，其贡献 $+1$，故 $ret \leftarrow ret + 2(i-1)(n-i) + n-i + i - 1$。

• 若 $a_i = a_{i-1}$，分情况讨论：

  1. 若 $x \neq a_{i+1}$，例如 $[3, 3, 2] \rightarrow [3, 4, 2]$，对于 $l < i < r$，其贡献 $+1$，对于 $r=i, l < i$，其贡献 $+1$。对于 $l=i, r > i$，贡献不变。故 $ret \leftarrow ret + (i-1)(n-i) + i-1$。

  2. 若 $x=a_{i+1}$，例如 $[3,3,2] \rightarrow [3, 2, 2]$，对于 $l<i<r$，贡献不变，对于 $l=i, r>i$，其贡献 $-1$，对于 $l<i,r=i$，贡献 $+1$，故 $ret \leftarrow ret-(n-i)+(i-1)$

• 若 $a_i=a_{i+1}$，推的时候与上一情况同理，但有些不同，若 $x\neq a_{i-1}$，$ret \leftarrow ret + (i-1)(n-i) + n-i$。若 $x = a_{i-1}$，$ret \leftarrow ret+(n-i)-(i-1)$。

• 若 $a_{i-1}=a_{i+1}$，分情况讨论：

  1. 若 $x \neq a_{i-1}$，例如 $[3,2,3] \rightarrow [3,4,3]$，贡献不变。

  2. 若 $x = a_{i-1}$，例如 $[3,2,3] \rightarrow [3,3,3]$，对于 $l<i<r$，贡献 $-2$，对于 $l=i, r>i$，贡献 $-1$，对于 $l<i, r=i$ 贡献 $-1$。故 $ret \leftarrow ret - 2(i-1)(n-i) - (n-i) - (i-1)$。

• 若 $x=a_{i-1}$，例如 $[2, 3, 4] \rightarrow [2,2,4]$，对于 $l<i<r$，贡献 $-(1$，对于 $l=i, r>i$，贡献不变，对于 $l<i,r=i$，贡献 $-1$，故 $ret \leftarrow ret - (i-1)(n-i) - (i-1)$。

• 若 $x=a_{i+1}$，例如 $[2, 3, 4] \rightarrow [2,4,4]$，对于 $l<i<r$，贡献 $-1$，对于 $l<i,r=i$，贡献不变，对于 $l=i,r>i$，贡献 $-1$，故 $ret \leftarrow ret - (i-1)(n-i) - (n-i)$。

至此分类讨论结束，注意以上分类可能有些重叠，所以均使用 if... else if... 结构，每次选取第一个符合的分类。

第二个问题，如何预处理 $\sum\limits_{l = 1}^n \sum\limits_{r = l}^n g(l, r)$，考虑将序列变成若干个形如 $(L,R)$ 的段，每个段都为极大段且元素相同。每个段对于 $l<L_i<R_i<r$ 都有 $1$ 的贡献。对于 $l<L_i \leq r \leq R_i$ 也有 $1$ 的贡献。对于 $L_i \leq l \leq r \leq R_i$ 也有 $1$ 的贡献。

至此，问题解决，预处理 $O(n)$，单次询问 $O(1)$，总复杂度为线性，$O(n+m)$。

#pragma GCC optimize("-Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int N = 1e5 + 5, INF = 2e9, MOD = 1e9 + 7;

inline int read()
{
	int op = 1, x = 0;
	char ch = getchar();
	while ((ch < '0' || ch > '9') && ch != '-') ch = getchar();
	while (ch == '-')
	{
		op = -op;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' and ch <= '9')
	{
		x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return x * op;
}

inline void write(int x)
{
	if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

int n, m, t, a[N];
vector<pair<int,int> > p;

signed main()
{
	// freopen("*.in", "r", stdin);
	// freopen("*.out", "w", stdout);
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	int l=1,r=1;
	//a[2]=3;
	for(int i=2;i<=n+1;i++)
	{
		if(a[i]!=a[i-1])
		{
			p.push_back(make_pair(l,r));
			l=r=i;
		}
		else
		{
			r=i;
		}
	}
	int ret=0;
	for(int i=0;i<p.size();i++)
	{
		int len=p[i].second-p[i].first+1;
		ret+=(p[i].first-1)*(n-p[i].second);
		ret+=len*(p[i].first-1);
		ret+=len*(n-p[i].second);
		for(int j=p[i].first;j<=p[i].second;j++)
		{
			ret+=(p[i].second-j+1);
		}
	}
	//printf("%lld\n",ret);
	while(m--)
	{
		int p=read(),x=read();
		if(a[p]==x) printf("%lld\n",ret);
		else
		{
			if(p==1)
			{
				if(a[1]==a[2])
				{
					ret+=n-1;
				}
				else if(a[2]==x)
				{
					ret-=n-1;
				}
			}
			else if(p==n)
			{
				if(a[n]==a[n-1])
				{
					ret+=n-1;
				}
				else if(a[n-1]==x) ret-=n-1;
			}
			else
			{
				if(a[p]==a[p-1]&&a[p]==a[p+1])
				{
					ret+=(p-1)*(n-p)*2;
					ret+=n-p;
					ret+=p-1;
				}
				else if(a[p]==a[p-1])
				{
					if(x!=a[p+1])
					{
						ret+=(p-1)*(n-p);
						ret+=p-1;
					}
					else
					{
						ret-=(n-p);
						ret+=(p-1);
					}
				}
				else if(a[p+1]==a[p])
				{
					if (x!=a[p-1])
					{
						ret+=(p-1)*(n-p);
						ret+=(n-p);
					}
					else
					{
						ret-=(p-1);
						ret+=(n-p);
					}
				}
				else if(a[p-1]==a[p+1])
				{
					if(x==a[p-1])
					{
						ret-=(p-1)*(n-p)*2;
						ret-=n-p;
						ret-=p-1;
					}
				}
				else
				{
					if(x==a[p-1])
					{
						//printf("111\n");33
						ret-=(p-1)*(n-p);
						ret-=(p-1);
					}
					else if(x==a[p+1])
					{
						ret-=(p-1)*(n-p);
						ret-=(n-p);
					}
				}
			}
			a[p]=x;
			printf("%lld\n",ret);
		}
	}
	return 0;
}