统计学模拟考试试卷及解析（A）

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考核方式：闭卷 | 考试时间：120 分钟
适用专业、班级：____________________

题号	一	二	三	四	总分
得分
评卷人

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一、判断题（下列各题正确的打 √，错误的打 ×。每小题 2 分，共 10 小题，计 20 分）

1. 统计学是研究总体数量方面的规律性的学科，因此不需要进行定性研究。 （ ）
2. 重点调查属于非全面调查，其调查误差是可以事先计算并控制的。 （ ）
3. 计算比较相对指标时，分子和分母通常采用总量指标。 （ ）
4. 众数和中位数易受数据中极端值的影响，不具有稳健性。 （ ）
5. 定基增长速度等于相应各期环比增长速度的连加。 （ ）
6. 平均增长速度等于各期环比增长速度的几何平均数。 （ ）
7. 样本指标（统计量）的方差称为抽样平均误差。 （ ）
8. 若其他条件固定，总体变量的变动程度与抽样极限误差呈正比。 （ ）
9. 在一元线性回归分析中，相关系数 \(r\) 与回归系数 \(b\) 的符号始终保持一致。 （ ）
10. 在重复抽样条件下，若要使抽样极限误差减少一半，则样本单位数必须扩大为原来的 4 倍。 （ ）

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二、单项选择题（下列各题备选答案中，只有一个正确答案。每小题 2 分，共 10 小题，计 20 分）

1. 政治算术学派的代表人物是：（ ）
   A. 凯特勒      B. 威廉·配第      C. 康令      D. 阿亨瓦尔
2. 对某社区 8000 名居民的生活状况进行调查，其研究总体是：（ ）
   A. 8000 名居民      B. 每一个居民      C. 该社区 8000 名居民的整体      D. 居民的生活状况
3. 某班三名学生的统计学考试成绩分别为 76 分、85 分和 92 分，这里的“统计学成绩”是：（ ）
   A. 数量指标      B. 质量指标      C. 数量标志      D. 品质标志
4. 经常调查与一时调查的划分依据是：（ ）
   A. 调查组织形式      B. 登记时间的连续性      C. 调查方法      D. 调查对象的范围
5. 在同一变量数列中，组距的大小与组数的多少呈：（ ）
   A. 正比关系      B. 反比关系      C. 无相关关系      D. 函数关系
6. 测度总体数据离散程度时，最容易受极端值影响的指标是：（ ）
   A. 全距（极差）      B. 四分位差      C. 平均差      D. 标准差
7. 编制数量指标综合指数时，同度量因素一般固定在：（ ）
   A. 报告期      B. 基期      C. 计划期      D. 任意时期
8. 当变量 \(X\) 按一定数值变化时，\(Y\) 也近似地按固定数值变化，这表明变量 \(X\) 与 \(Y\) 之间存在：（ ）
   A. 严格函数关系      B. 复相关关系      C. 直线相关关系      D. 不相关
9. 变量 \(X\) 与 \(Y\) 之间的相关系数 \(r = -0.88\)，说明两者之间存在：（ ）
   A. 高度负线性相关      B. 高度正线性相关      C. 微弱负线性相关      D. 无线性相关
10. 若回归方程为 \(\hat{Y} = 15 - 2.5X\)，则当 \(X\) 每增加 1 个单位时，\(Y\) 平均：（ ）
    A. 增加 2.5 个单位      B. 减少 2.5 个单位      C. 增加 15 个单位      D. 减少 15 个单位

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三、简答题（每小题 5 分，共 4 小题，计 20 分）

1. 什么是统计总体和总体单位？如何认识总体与总体单位之间的关系？
2. 什么是统计分布？它包括哪两个基本要素？
3. 什么是同度量因素？在编制综合指数时，如何确定同度量因素的时期？
4. 什么是时期数列？时期数列具有哪些主要特点？

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四、计算题（每小题 10 分，共 4 小题，计 40 分）

1. （10 分）已知甲小区居民平均年龄为 37 岁，标准差为 12 岁。现对乙小区居民年龄进行抽样调查，得到如下分组资料：

   年龄（岁）	人数（人）
   18 以下（按 10–18 计算）	12
   18 － 30	50
   30 － 50	68
   50 以上（按 50–70 计算）	40

   要求：（结果保留 1 位小数）
   （1）计算乙小区居民的平均年龄；
   （2）比较甲、乙两小区居民平均年龄的代表性大小。

2. （10 分）某大型石油公司 2005 年四个季度的利润额及职工人数如下表所示：

   季度	一季度	二季度	三季度	四季度	年底
   总利润（万元）	810	950	920	1030	—
   季初职工人数（人）	200	203	218	230	210

   要求：（结果保留 2 位小数）
   （1）计算该公司上半年及全年的平均职工人数；
   （2）计算该公司上半年及全年的人均创利额。

3. （10 分）某公司出售三种商品的价格及销售量资料如下：

   产品	销售量（件）去年 \(q_0\)	销售量（件）今年 \(q_1\)	价格（元/件）去年 \(p_0\)	价格（元/件）今年 \(p_1\)
   甲	230	350	12	18
   乙	480	450	20	18
   丙	300	360	15	15

   要求：（结果保留 2 位小数）
   （1）计算销售量总指数（拉氏数量指数）及由于销售量变动增加的销售额；
   （2）计算价格总指数（帕氏质量指数）及由于价格变动增加的销售额；
   （3）进行因素分析，分别从相对数和绝对数两方面分析该公司销售额变动的原因。

4. （10 分）在某学校的教学评估中，以不重复抽样的方式从 1520 名学生中抽取 100 名学生进行统计学成绩调查，结果有 12 名学生不及格。
   要求：（结果保留 2 位小数）
   （1）试在 95%（\(t=1.96\)）的概率保证程度下，计算该学校学生及格率的置信区间；
   （2）若抽样方法改为重复抽样，其他条件不变，在 95% 的概率保证程度下，使及格率的置信区间控制在 [83%, 93%]，则最少应该抽取多少名学生进行调查？

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【解析】

一、判断题

1. 统计学是研究总体数量方面的规律性的学科，因此不需要进行定性研究。

答案：×

统计学虽然主要研究社会经济现象和自然现象的数量特征及其数量关系，但统计研究不能脱离定性认识。统计研究通常遵循：

定性认识 → 确定研究对象 → 定量分析 → 得出规律性认识

只有首先明确研究对象的性质、范围和特点，才能正确进行统计调查和数量分析。因此，"统计学不需要进行定性研究"的说法错误。

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2. 重点调查属于非全面调查，其调查误差是可以事先计算并控制的。

答案：×

重点调查属于非全面调查，只对总体中具有重点意义的单位进行调查。例如调查大型企业的生产经营情况，只选择规模较大的重点企业进行调查。但是，重点调查属于非随机抽样性质的调查，其调查误差不能像概率抽样那样根据抽样分布事先计算和控制。因此本题错误。

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3. 计算比较相对指标时，分子和分母通常采用总量指标。

答案：√

相对指标是两个有联系的统计指标进行对比形成的指标。比较相对指标通常是在不同总体之间进行比较，其分子和分母一般都是总量指标。因此本题正确。

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4. 众数和中位数易受数据中极端值的影响，不具有稳健性。

答案：×

众数和中位数都是具有较强稳健性的集中趋势指标。特别是中位数，它根据数据的位置确定，不容易受到极端值的影响。例如 \(2,3,4,5,100\)：

\[\bar{x}=\frac{2+3+4+5+100}{5}=22.8 \]

而中位数仍然是 \(Me=4\)。因此题目说"众数和中位数易受极端值影响"错误。

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5. 定基增长速度等于相应各期环比增长速度的连加。

答案：×

定基增长速度与环比增长速度之间不是简单的加法关系。设各期环比发展速度为 \(\frac{y_1}{y_0},\frac{y_2}{y_1},\cdots,\frac{y_n}{y_{n-1}}\)，则定基发展速度为：

\[\frac{y_n}{y_0}=\frac{y_1}{y_0}\times\frac{y_2}{y_1}\times\cdots\times\frac{y_n}{y_{n-1}} \]

即：定基发展速度 = 各期环比发展速度的连乘，而不是环比增长速度的连加。因此本题错误。

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6. 平均增长速度等于各期环比增长速度的几何平均数。

答案：×

这里容易混淆增长速度和发展速度。平均发展速度为：

\[\bar{G}=\sqrt[n]{G_1G_2\cdots G_n} \]

其中 \(G_i\) 为各期环比发展速度。平均增长速度为：

\[\bar{g}=\bar{G}-1 \]

所以：

\[\bar{g}=\sqrt[n]{G_1G_2\cdots G_n}-1 \]

不能直接说"平均增长速度等于各期环比增长速度的几何平均数"。因此本题错误。

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7. 样本指标（统计量）的方差称为抽样平均误差。

答案：×

抽样平均误差实际上是抽样分布的标准差，而不是方差。如果统计量为 \(\hat{\theta}\)，则其抽样平均误差为：

\[\mu_{\hat{\theta}}=\sqrt{Var(\hat{\theta})} \]

也就是说：抽样平均误差 = 抽样分布的标准差，而不是方差。因此本题错误。

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8. 若其他条件固定，总体变量的变动程度与抽样极限误差呈正比。

答案：√

以平均数抽样为例，抽样极限误差为：

\[\Delta=t\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

当其他条件，即 \(t\) 和 \(n\) 固定时：

\[\Delta\propto\sigma \]

因此，总体变量的变动程度越大，抽样极限误差越大。所以本题正确。

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9. 在一元线性回归分析中，相关系数 \(r\) 与回归系数 \(b\) 的符号始终保持一致。

答案：√

一元线性回归中：

\[b=r\frac{\sigma_y}{\sigma_x} \]

由于标准差 \(\sigma_x>0\)、\(\sigma_y>0\)，所以 \(sign(b)=sign(r)\)。也就是说：\(r>0\) 则 \(b>0\)；\(r<0\) 则 \(b<0\)；\(r=0\) 则 \(b=0\)。因此二者符号始终一致。

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10. 在重复抽样条件下，若要使抽样极限误差减少一半，则样本单位数必须扩大为原来的 4 倍。

答案：√

重复抽样条件下：

\[\Delta=t\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

若原来的抽样极限误差为 \(\Delta\)，现在要求 \(\Delta'=\frac{1}{2}\Delta\)，则：

\[\frac{\Delta'}{\Delta}=\sqrt{\frac{n}{n'}} \]

所以：

\[\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{n}{n'}} \]

两边平方：

\[\frac{1}{4}=\frac{n}{n'} \]

因此 \(n'=4n\)，样本量需要扩大到原来的 4 倍。

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判断题答案汇总

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	×	×	√	×	×	×	×	√	√	√

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二、单项选择题

1. 政治算术学派的代表人物是

答案：B. 威廉·配第

威廉·配第是英国古典政治经济学的重要代表人物，同时也是政治算术学派的代表人物。

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2. 对某社区8000名居民的生活状况进行调查，其研究总体是

答案：C. 该社区8000名居民的整体

统计总体是指：根据统计研究目的确定的、由具有某种共同性质的许多个体组成的集合。 本题研究对象是该社区全部8000名居民组成的整体。

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3. 三名学生的"统计学成绩"是

答案：C. 数量标志

"成绩"反映的是每一个学生这一总体单位的某种数量特征。"统计学成绩"属于学生这一总体单位的数量标志。

注意：数量标志反映总体单位数量特征；数量指标反映总体数量特征。

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4. 经常调查与一时调查的划分依据是

答案：B. 登记时间的连续性

按照调查登记时间是否具有连续性，可以将统计调查分为经常性调查和一次性调查。

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5. 在同一变量数列中，组距的大小与组数的多少呈

答案：B. 反比关系

在总体范围和组距条件基本确定时，组数越多，组距越小；组数越少，组距越大。基本关系可以表示为：

\[组距\approx\frac{全距}{组数} \]

因此组距与组数呈反向变化关系。

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6. 最容易受到极端值影响的离散程度指标是

答案：A. 全距（极差）

极差定义为：

\[R=X_{max}-X_{min} \]

它只由最大值和最小值决定。因此，只要出现一个特别大的极端值或特别小的极端值，极差就会发生明显变化。

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7. 编制数量指标综合指数时，同度量因素一般固定在

答案：B. 基期

数量指标综合指数通常采用拉氏指数：

\[I_q=\frac{\sum q_1p_0}{\sum q_0p_0} \]

这里的同度量因素是价格 \(p\)，固定在基期 \(p_0\)。

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8. \(X\) 按一定数值变化时，\(Y\) 也近似按固定数值变化，说明存在

答案：C. 直线相关关系

如果 \(X\) 与 \(Y\) 之间存在近似的线性变化关系，可以用直线方程：

\[\hat{Y}=a+bX \]

来描述，因此属于直线相关关系。

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9. \(r=-0.88\) 表明

答案：A. 高度负线性相关

相关系数的取值范围为 \(-1\leq r\leq1\)，且 \(r>0\) 为正相关，\(r<0\) 为负相关，\(|r|\) 越接近1相关程度越强。因为 \(r=-0.88\)，所以说明方向为负相关、程度为高度、类型为线性相关。

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10. 回归方程 \(\hat{Y}=15-2.5X\)

答案：B. 减少2.5个单位

一元线性回归方程 \(\hat{Y}=a+bX\) 中 \(b\) 为回归系数。本题 \(b=-2.5\)，因此 \(X\) 每增加1个单位，\(Y\) 平均减少 \(2.5\) 个单位。

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单项选择题答案汇总

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	B	C	C	B	B	A	B	C	A	B

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三、简答题

1. 什么是统计总体和总体单位？如何认识总体与总体单位之间的关系？

统计总体是根据统计研究目的确定的、由客观存在的、具有某种共同性质的许多个别事物组成的整体。例如，对某大学全体学生的学习成绩进行研究，那么该大学全部学生就是统计总体。

总体单位是构成统计总体的个别单位，也就是统计总体中的每一个个体。例如，上述大学中的每一名学生就是一个总体单位。

二者关系： 统计总体与总体单位是整体与个体的关系。总体由总体单位组成；总体单位是构成总体的基本单位；总体单位具有总体的某些共同性质；总体单位的数量特征汇总后，可以形成总体的数量特征。

例如：

全校学生 → 统计总体
每一名学生 → 总体单位
每名学生的成绩 → 数量标志
全校平均成绩 → 统计指标

因此，正确区分总体和总体单位，是开展统计研究的基础。

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2. 什么是统计分布？它包括哪两个基本要素？

统计分布是指在统计分组的基础上，将总体中的各个单位按某一标志进行分组，并将各组的总体单位数分配到各组所形成的分布。

统计分布包括两个基本要素：

第一，分组标志。 即按照什么标志对总体单位进行分组，例如按照年龄、性别、收入、企业规模等进行分组。

第二，各组的次数或频数。 即各组中包含的总体单位数。

年龄组	人数
18～30岁	50
30～50岁	68
50岁以上	40

其中"年龄组"是分组标志，"人数"是次数。因此：

统计分布 = 分组标志 + 各组次数（频数）

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3. 什么是同度量因素？在编制综合指数时，如何确定同度量因素的时期？

同度量因素是指在编制综合指数时，用来使不能直接相加的不同度量单位的现象转化为可以相加的同度量单位的因素。

例如商品销售量的单位是"件"，不同商品的销售量不能直接相加，需要利用价格进行同度量 \(q\times p\) 得到销售额，其中价格 \(p\) 就是同度量因素。

时期确定： 通常根据指数性质选择同度量因素的时期。

数量指标指数通常采用基期价格作为同度量因素：

\[I_q=\frac{\sum q_1p_0}{\sum q_0p_0} \]

即采用拉氏数量指数。

质量指标指数通常采用报告期数量作为同度量因素：

\[I_p=\frac{\sum p_1q_1}{\sum p_0q_1} \]

即采用帕氏价格指数。

因此可以记忆：

数量指数配基期价格 \(p_0\)；质量指数配报告期数量 \(q_1\)。

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4. 什么是时期数列？时期数列具有哪些主要特点？

时期数列是指将某种经济现象在一段时期内发生的总量，按照时间先后顺序排列所形成的时间数列。

年份	工业总产值
2022	1000
2023	1200
2024	1500

其中工业总产值是在一年这一时期内形成的，因此属于时期数列。

主要特点：

第一，数值具有连续性。 时期数列中的指标是在一段时间内逐渐形成的。

第二，各时期指标可以相加。 例如第一季度销售额加第二季度销售额可以得到上半年的销售额。

第三，数值大小与时期长短有关。 一般来说，时期越长，指标数值越大。

第四，指标具有累计性。 时期数列的数值通常反映某一时期内现象发生的总量。

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四、计算题

第1题：平均数与代表性比较

已知甲小区：\(\bar{X}_{甲}=37\) 岁，\(\sigma_{甲}=12\) 岁。

乙小区资料：

年龄组	组中值 \(x\)	人数 \(f\)
10～18	14	12
18～30	24	50
30～50	40	68
50～70	60	40

总人数 \(n=12+50+68+40=170\)。

（1）计算乙小区居民的平均年龄

对于分组资料，采用组中值计算加权平均数：

\[\bar{X}=\frac{\sum xf}{\sum f} \]

组中值 \(x\)	人数 \(f\)	\(xf\)
14	12	168
24	50	1200
40	68	2720
60	40	2400

因此 \(\sum xf=168+1200+2720+2400=6488\)，\(\sum f=170\)，所以：

\[\bar{X}_{乙}=\frac{6488}{170}=38.1647 \]

\[\boxed{\bar{X}_{乙}=38.2\text{岁}} \]

（2）比较甲、乙两小区居民平均年龄的代表性

判断平均数代表性大小，通常使用标准差系数（离散系数）：

\[V=\frac{\sigma}{\bar{X}}\times100\% \]

离散系数越小，平均数的代表性越强。

甲小区：

\[V_{甲}=\frac{12}{37}\times100\%=32.43\% \]

\[\boxed{V_{甲}=32.4\%} \]

乙小区： 根据分组资料，标准差公式为：

\[\sigma=\sqrt{\frac{\sum f(x-\bar{X})^2}{n}} \]

计算得到 \(\sigma_{乙}\approx14.62\)，因此：

\[V_{乙}=\frac{14.62}{38.1647}\times100\%\approx38.31\% \]

\[\boxed{V_{乙}=38.3\%} \]

比较：\(V_{甲}=32.4\%<V_{乙}=38.3\%\)，所以甲小区居民年龄的离散程度相对较小。

\[\boxed{\text{甲小区居民平均年龄的代表性更强。}} \]

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第2题：平均职工人数与人均创利额

季度	一季度	二季度	三季度	四季度	年底
利润（万元）	810	950	920	1030	—
季初职工人数	200	203	218	230	210

职工人数属于时点指标，因此平均职工人数采用时间间隔相等的序时平均数。

（1）计算上半年平均职工人数

上半年包括第一、第二季度。对应的季初、季末人数：1月初200人，2季度初203人，3季度初（即上半年末）218人。因此：

\[\bar{X}_{上半年}=\frac{\frac{200}{2}+203+\frac{218}{2}}{2} \]

\[\bar{X}_{上半年}=\frac{100+203+109}{2}=\frac{412}{2}=206 \]

\[\boxed{\bar{X}_{上半年}=206.00\text{人}} \]

全年平均职工人数

全年共有4个季度。季初、季末人数依次为 \(200,\ 203,\ 218,\ 230,\ 210\)。所以：

\[\bar{X}_{全年}=\frac{\frac{200}{2}+203+218+230+\frac{210}{2}}{4} \]

\[\bar{X}_{全年}=\frac{100+203+218+230+105}{4}=\frac{856}{4}=214 \]

\[\boxed{\bar{X}_{全年}=214.00\text{人}} \]

（2）计算上半年人均创利额

上半年利润 \(P_{上半年}=810+950=1760\text{万元}\)，平均职工人数 \(\bar{L}_{上半年}=206\)。人均创利额：

\[\text{人均创利额}=\frac{\text{利润总额}}{\text{平均职工人数}} \]

\[\frac{1760}{206}=8.5437 \]

\[\boxed{8.54\text{万元/人}} \]

即每名职工上半年平均创造利润约8.54万元。

全年人均创利额

全年利润 \(P_{全年}=810+950+920+1030=3710\text{万元}\)，平均职工人数 \(\bar{L}_{全年}=214\)。因此：

\[\text{全年人均创利额}=\frac{3710}{214}=17.3364 \]

\[\boxed{17.34\text{万元/人}} \]

本题答案

\[\boxed{\text{上半年平均职工人数}=206.00\text{人}} \]

\[\boxed{\text{全年平均职工人数}=214.00\text{人}} \]

\[\boxed{\text{上半年人均创利额}=8.54\text{万元/人}} \]

\[\boxed{\text{全年人均创利额}=17.34\text{万元/人}} \]

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第3题：指数分析

产品	\(q_0\)	\(q_1\)	\(p_0\)	\(p_1\)
甲	230	350	12	18
乙	480	450	20	18
丙	300	360	15	15

其中 \(q_0\) 为去年销售量，\(q_1\) 为今年销售量，\(p_0\) 为去年价格，\(p_1\) 为今年价格。销售额 \(V=pq\)。

（1）销售量总指数（拉氏数量指数）

\[I_q=\frac{\sum q_1p_0}{\sum q_0p_0} \]

第一步：计算 \(\sum q_1p_0\)

甲：\(350\times12=4200\)；乙：\(450\times20=9000\)；丙：\(360\times15=5400\)。

\[\sum q_1p_0=4200+9000+5400=18600 \]

第二步：计算 \(\sum q_0p_0\)

甲：\(230\times12=2760\)；乙：\(480\times20=9600\)；丙：\(300\times15=4500\)。

\[\sum q_0p_0=2760+9600+4500=16860 \]

因此：

\[I_q=\frac{18600}{16860}=1.1032 \]

\[\boxed{I_q=110.32\%} \]

这说明在价格保持去年水平不变的条件下，今年销售量变动使销售额相当于去年销售额的110.32%。

销售量变动增加的销售额：

\[\Delta V_q=\sum q_1p_0-\sum q_0p_0=18600-16860 \]

\[\boxed{\Delta V_q=1740\text{元}} \]

（2）价格总指数（帕氏质量指数）

\[I_p=\frac{\sum p_1q_1}{\sum p_0q_1} \]

第一步：计算 \(\sum p_1q_1\)

甲：\(18\times350=6300\)；乙：\(18\times450=8100\)；丙：\(15\times360=5400\)。

\[\sum p_1q_1=6300+8100+5400=19800 \]

而 \(\sum p_0q_1=18600\)，因此：

\[I_p=\frac{19800}{18600}=1.0645 \]

\[\boxed{I_p=106.45\%} \]

价格变动增加的销售额：

\[\Delta V_p=\sum p_1q_1-\sum p_0q_1=19800-18600 \]

\[\boxed{\Delta V_p=1200\text{元}} \]

（3）销售额变动的因素分析

① 总销售额变化

去年销售额 \(V_0=\sum p_0q_0=16860\)，今年销售额 \(V_1=\sum p_1q_1=19800\)。

\[\Delta V=V_1-V_0=19800-16860 \]

\[\boxed{\Delta V=2940\text{元}} \]

② 相对数分析

销售额总指数：

\[I_v=\frac{\sum p_1q_1}{\sum p_0q_0}=\frac{19800}{16860}=1.1744 \]

\[\boxed{I_v=117.44\%} \]

说明今年销售额比去年增长 \(117.44\%-100\%=17.44\%\)。

因素分解：

\[I_v=I_q\times I_p \]

\[117.44\%\approx110.32\%\times106.45\% \]

③ 绝对数分析

销售额总增加额 \(\Delta V=2940\text{元}\)，其中销售量因素 \(\Delta V_q=1740\text{元}\)，价格因素 \(\Delta V_p=1200\text{元}\)。

验证：\(\Delta V=\Delta V_q+\Delta V_p\)，即 \(2940=1740+1200\) 成立。

本题最终结论

\[\boxed{I_q=110.32\%} \]

\[\boxed{\Delta V_q=1740\text{元}} \]

\[\boxed{I_p=106.45\%} \]

\[\boxed{\Delta V_p=1200\text{元}} \]

\[\boxed{I_v=117.44\%} \]

\[\boxed{\Delta V=2940\text{元}} \]

今年销售额比去年增加17.44%，绝对增加2940元。其中销售量变动使销售额增加1740元，价格变动使销售额增加1200元。

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第4题：抽样调查

已知总体学生人数 \(N=1520\)，抽取学生 \(n=100\)，不及格人数 \(12\)，因此及格人数 \(100-12=88\)。

样本及格率：

\[\hat{p}=\frac{88}{100}=0.88 \]

\[\boxed{\hat{p}=88\%} \]

不及格率 \(\hat{q}=1-\hat{p}=1-0.88=0.12\)。

（1）95%概率保证程度下及格率置信区间

题目给出 \(t=1.96\)。由于采用不重复抽样，总体修正系数需要考虑。比例的抽样平均误差：

\[\mu_{\hat{p}}= \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} } \]

代入数据：

\[\mu_{\hat{p}}= \sqrt{ \frac{1520-100}{1520-1} \times \frac{0.88\times0.12}{100} } \]

即：

\[\mu_{\hat{p}}= \sqrt{ \frac{1420}{1519} \times \frac{0.1056}{100} } \]

计算得 \(\mu_{\hat{p}}\approx0.03142\)。

计算抽样极限误差：

\[\Delta=t\mu_{\hat{p}}=1.96\times0.03142 \]

\[\Delta\approx0.06158 \]

\[\boxed{\Delta=6.16\%} \]

计算置信区间：

\[\hat{p}-\Delta\leq P\leq\hat{p}+\Delta \]

\[0.88-0.06158\leq P\leq0.88+0.06158 \]

得到：

\[0.81842\leq P\leq0.94158 \]

\[\boxed{81.84\%\leq P\leq94.16\%} \]

结论： 在95%的概率保证程度下，该学校学生总体及格率的置信区间为：

\[\boxed{[81.84\%,94.16\%]} \]

（2）重复抽样时确定最少样本量

题目要求在95%的概率保证程度下，使及格率的置信区间控制在 \([83\%,93\%]\)。区间中心：

\[\frac{83\%+93\%}{2}=88\% \]

与样本及格率 \(\hat{p}=88\%\) 一致。因此允许的最大抽样极限误差为：

\[\Delta=93\%-88\%=5\% \]

即 \(\Delta=0.05\)。

重复抽样条件下的样本量公式：

\[\Delta=t\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]

因此：

\[n=\frac{t^2p(1-p)}{\Delta^2} \]

代入 \(p=0.88\)，\(q=1-p=0.12\)：

\[n= \frac{1.96^2\times0.88\times0.12}{0.05^2} \]

计算：\(1.96^2=3.8416\)，\(0.88\times0.12=0.1056\)，因此：

\[n= \frac{3.8416\times0.1056}{0.0025} \]

\[n\approx162.27 \]

由于样本单位数必须是整数，并且必须满足误差要求，因此必须向上取整：

\[\boxed{n=163} \]

结论： 若采用重复抽样，至少需要抽取 \(\boxed{163\text{名学生}}\)。

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五、计算题最终答案汇总

题号	主要结果
第1题	乙小区平均年龄 \(38.2\) 岁；甲小区代表性更强
第2题	上半年平均职工人数 \(206.00\) 人；全年 \(214.00\) 人；上半年人均创利 \(8.54\) 万元/人；全年 \(17.34\) 万元/人
第3题	拉氏数量指数 \(110.32\%\)；销售量影响额 \(1740\) 元；帕氏价格指数 \(106.45\%\)；价格影响额 \(1200\) 元；销售额指数 \(117.44\%\)；销售额增加 \(2940\) 元
第4题	95%置信区间 \([81.84\%,94.16\%]\)；重复抽样最少抽取 \(163\) 人

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六、整套试题答案速查

判断题

\[\boxed{1.×\quad2.×\quad3.√\quad4.×\quad5.×} \]

\[\boxed{6.×\quad7.×\quad8.√\quad9.√\quad10.√} \]

单项选择题

\[\boxed{1.B\quad2.C\quad3.C\quad4.B\quad5.B} \]

\[\boxed{6.A\quad7.B\quad8.C\quad9.A\quad10.B} \]

简答题核心关键词

1. 统计总体与总体单位：整体与个体；总体由总体单位构成。
2. 统计分布：分组标志 + 各组次数。
3. 同度量因素：使不能直接相加的指标具有可比性；数量指数通常用基期价格，质量指数通常用报告期数量。
4. 时期数列：反映一段时期内总量；可相加、具有累计性、数值与时期长短有关。

计算题核心公式

分组资料平均数：

\[\bar X=\frac{\sum xf}{\sum f} \]

离散系数：

\[V=\frac{\sigma}{\bar X}\times100\% \]

拉氏数量指数：

\[I_q=\frac{\sum q_1p_0}{\sum q_0p_0} \]

帕氏价格指数：

\[I_p=\frac{\sum p_1q_1}{\sum p_0q_1} \]

指数体系：

\[I_v=I_q\times I_p \]

销售额绝对变动：

\[\Delta V=\Delta V_q+\Delta V_p \]

不重复抽样比例抽样平均误差：

\[\mu_{\hat p}= \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} \frac{\hat p(1-\hat p)}{n} } \]

置信区间：

\[\hat p-t\mu_{\hat p}\leq P\leq\hat p+t\mu_{\hat p} \]

重复抽样样本量：

\[n=\frac{t^2p(1-p)}{\Delta^2} \]

其中本题：

\[\boxed{n=163} \]