2023 年全国硕士研究生招生考试数学（三）真题及解析
一、 选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
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设函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处二阶可导，且 \(f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=2\)，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1-\cos x} = $（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 -
设函数 \(f(x) = \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}\)，则 \(f(x)\) 在 \((0, 1]\) 内（ ）
A. 有界 B. 无界但没有无穷间断点 C. 有无穷间断点 D. 只有可去间断点 -
设函数 \(y=y(x)\) 满足微分方程 \(y'' + ay' + by = 0\)，若该方程的解在 \((-\infty, +\infty)\) 上都有界，则（ ）
A. \(a < 0, b > 0\) B. \(a > 0, b > 0\) C. \(a = 0, b > 0\) D. \(a = 0, b < 0\) -
已知 \(a_n < b_n (n=1,2,\dots)\)，若级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 与 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 均收敛，则“级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 绝对收敛”是“级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 绝对收敛”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 -
设 \(\boldsymbol{A}\) 为 三阶 可逆矩阵，\(\boldsymbol{E}\) 为三阶单位矩阵，\(\boldsymbol{A}^*\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的伴随矩阵。若 \(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^* = \boldsymbol{O}\)，则 \(|\boldsymbol{A}| =\)（ ）
A. 1 B. -1 C. \((-1)^n\) D. \((-1)^{n-1}\) -
设矩阵 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \end{pmatrix}\)，若 \(r(\boldsymbol{A}) = 2\)，则（ ）
A. \(a=1\) 或 \(b=1\) 或 \(a=b\) B. \(a \ne 1\) 且 \(b \ne 1\) 且 \(a \ne b\)
C. \(a=1\) 且 \(b=1\) D. \(a=b=1\) -
设 \(\boldsymbol{A}\) 为三阶矩阵，\(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 1 的特征向量，\(\boldsymbol{\alpha}_3\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 -1 的特征向量，则下列必为 \(\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 1 的特征向量的是（ ）
A. \(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3\) B. \(\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_3\) C. \(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2\) D. \(\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2\)（注：需非零） -
设随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f(x)\)，且 \(f(1+x) = f(1-x)\)，则（ ）
A. \(P\{X < 1\} = 1/2\) B. \(P\{X < 2\} = 1\) C. \(E(X) = 1\) D. \(D(X) = 1\) -
设 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是来自正态总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的样本，\(\bar{X}\) 为样本均值，\(S^2\) 为样本方差，则统计量 \(T = \frac{\bar{X} - \mu}{S}\) 的分布（ ）
A. 与 \(\mu, \sigma\) 均有关 B. 与 \(\mu\) 有关，与 \(\sigma\) 无关
C. 与 \(\mu\) 无关，与 \(\sigma\) 有关 D. 与 \(\mu, \sigma\) 均无关 -
设随机变量 \(X\) 服从参数为 1 的泊松分布，则 $E(|X - EX|) = $（ ）
A. \(1/e\) B. \(1/2\) C. \(2/e\) D. 1
二、 填空题：11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分。
- 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sqrt{1+t^2} dt - x}{x^3} = $ ________。
- 设函数 \(z = f(x, y)\) 由方程\(xz + y \ln z + e^{x+y} + z = 2\) 确定，则 \(dz|_{(0,0)} =\) ________。
- 曲线 \(y = x^2 - 3x + 2\) 与 \(x\) 轴围成的平面图形的面积为 ________。
- 设 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)，则 $\boldsymbol{A}^3 = $ ________。
- 设 \(\boldsymbol{A}\) 为三阶矩阵，其特征值为 \(1, 2, 3\)，且 \(\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}^2 - 2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}\)，则 $|\boldsymbol{B}| = $ ________。
- 设 \(X_1, X_2\) 为来自总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的样本，\(\hat{\sigma} = a|X_1 - X_2|\)。若 \(E(\hat{\sigma}) = \sigma\)，则 $a = $ ________。
三、 解答题：17～22 小题，共 70 分。
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（10 分）已知函数 \(y=y(x)\) 满足 \(ae^x + y^2 + y - \ln(1+x)\cos y + b = 0\)，且 \(y(0)=0, y'(0)=0\)。求 \(a, b\) 的值。
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（12 分）求微分方程 \(y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \ln x\) 的通解。
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（12 分）某企业生产两种产品，产量分别为 \(Q_1, Q_2\)。已知总成本函数为 \(C = Q_1^2 + Q_1Q_2 + Q_2^2 + 10\)，需求函数为 \(P_1 = 12 - Q_1, P_2 = 20 - Q_2\)。求该企业获得最大利润时的产量及最大利润。
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（12 分）设函数 \(f(x)\) 在 \([-a, a]\) 上具有二阶连续导数。
(1) 若 \(f(x)=0\)，证明：存在 \(\xi \in (-a, a)\) 使得 \(f''(\xi) = \frac{1}{a^2}[f(a) + f(-a)]\)；
(2) 若 \(f(x)\) 在 \((-a, a)\) 内取得极值，证明：存在 \(\eta \in (-a, a)\) 使得 \(|f''(\eta)| \ge \frac{1}{a^2}|f(a) - f(-a)|\)。 -
（12 分）设矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 满足对任意 \(\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, x_3)^{\text{T}}\) 有 \(\boldsymbol{Ax} = (x_1+x_2+x_3, 2x_1-x_2+x_3, x_2-x_3)^{\text{T}}\)。
(1) 求 \(\boldsymbol{A}\)；
(2) 求可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 和对角矩阵 \(\boldsymbol{\Lambda}\)，使得 \(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP} = \boldsymbol{\Lambda}\)。 -
（12 分）设随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f(x) = \frac{e^x}{(1+e^x)^2} (-\infty < x < +\infty)\)，令 \(Y = e^X\)。
(1) 求 \(X\) 的分布函数 \(F_X(x)\)；
(2) 求 \(Y\) 的概率密度 \(f_Y(y)\)；
(3) 判断 \(E(Y)\) 是否存在并说明理由。
2023 年数学（三）真题详细解析
一、选择题
第1题
考点：泰勒展开、等价无穷小
【答案】D
【解析】
函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处二阶可导，由泰勒公式：
代入 \(f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=2\)，得：
又 \(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)，因此：
故 选 C。
第2题
考点：函数的有界性与间断点
【答案】C
【解析】
\(f(x)=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}\)，当 \(x \to 0^+\) 时，\(\frac{1}{x} \to +\infty\)，而 \(\sin\frac{1}{x}\) 在 \([-1,1]\) 之间振荡，因此 \(f(x)\) 在 \((0,1]\) 内无界。
同时，\(\lim_{x \to 0} f(x)\) 不存在（振荡），且 \(x=0\) 处 \(f(x)\) 趋于无穷，故 \(x=0\) 是无穷间断点。
故 选 C。
第3题
考点：二阶常系数线性齐次微分方程解的有界性
【答案】C
【解析】
特征方程为 \(r^2 + ar + b = 0\)。
若所有解在 \((-\infty, +\infty)\) 上有界，则特征根必须为纯虚数（或零），即 \(a=0\)，且 \(b>0\)（此时特征根为 \(\pm i\sqrt{b}\)，解为三角函数，有界）。
若 \(b=0\)，则特征根为 0，解中含有常数项，有界；但结合选项，\(a=0, b>0\) 符合题意。
故 选 C。
第4题
考点：级数绝对收敛与条件收敛的关系
【答案】A
【解析】
由 \(a_n < b_n\)，令 \(c_n = b_n - a_n > 0\)。由于 \(\sum a_n\) 与 \(\sum b_n\) 均收敛，根据收敛级数的线性性质，\(\sum c_n = \sum (b_n - a_n)\) 收敛。
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充分性（若 \(\sum a_n\) 绝对收敛）：
因为 \(b_n = a_n + c_n\)，所以\[|b_n| = |a_n + c_n| \le |a_n| + c_n \]由比较判别法，\(\sum |b_n|\) 收敛，即 \(\sum b_n\) 绝对收敛。
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必要性（若 \(\sum b_n\) 绝对收敛）：
因为 \(a_n = b_n - c_n\)，所以\[|a_n| = |b_n - c_n| \le |b_n| + c_n \]由比较判别法，\(\sum |a_n|\) 收敛，即 \(\sum a_n\) 绝对收敛。
因此互为充要条件，选 A。
第5题
考点：伴随矩阵的性质
【答案】C
【解析】
由 \(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^* = \boldsymbol{O}\)，得 \(\boldsymbol{A}^* = -\boldsymbol{A}\)。
对等式两边取行列式：
利用性质 \(|\boldsymbol{A}^*| = |\boldsymbol{A}|^{n-1}\) 和 \(|-\boldsymbol{A}| = (-1)^n |\boldsymbol{A}|\)，得：
因为 \(\boldsymbol{A}\) 可逆，\(|\boldsymbol{A}| \ne 0\)，两边同除以 \(|\boldsymbol{A}|\)：
由于修改后限定为三阶矩阵，即 \(n=3\)，代入得：
所以 \(|\boldsymbol{A}| = -1 = (-1)^n\)。
故 选 C。
第6题
考点：矩阵的秩与行列式
【答案】A
【解析】
此为范德蒙德矩阵的变形。其行列式为：
若 \(r(\boldsymbol{A}) = 2 < 3\)，则 \(|\boldsymbol{A}| = 0\)，即 \((a-1)(b-1)(b-a) = 0\)。
所以 \(a=1\) 或 \(b=1\) 或 \(a=b\)。
故 选 A。
第7题
考点：特征值与特征向量的性质
【答案】C
【解析】
\(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\) 属于特征值 1，则 \(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2\)（非零时）也属于特征值 1（特征值 1 的特征子空间对加法封闭）。
\(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3\) 和 \(\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_3\) 属于不同特征值的特征向量之和，一般不是特征向量。
\(\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2\) 虽然属于特征值 1（若非零），但题目未说明 \(\boldsymbol{\alpha}_1\) 与 \(\boldsymbol{\alpha}_2\) 线性无关，可能为零向量。
而 \(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2\) 必为 \(\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 1 的特征向量（需非零，但通常默认 \(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\) 为非零向量，且属于同一特征值的非零特征向量之和仍非零）。
故 选 C。
第8题
考点：概率密度的对称性
【答案】C
【解析】
由 \(f(1+x) = f(1-x)\) 可知，概率密度关于直线 \(x=1\) 对称。
对称分布不一定有 \(P\{X < 1\} = 1/2\)（因为 \(x=1\) 处可能有点概率，但连续型随机变量在单点概率为 0，所以 \(P\{X<1\}=P\{X>1\}=1/2\)，A 正确？实际上连续型随机变量 \(P\{X=1\}=0\)，所以 \(P\{X<1\}=1/2\)。A 看似正确，但需注意 \(f(1+x)=f(1-x)\) 只说明对称，不保证 \(x=1\) 是均值，但对称分布的均值确实为对称轴，即 \(E(X)=1\)。A 也正确？但单选题只有一个答案。）
仔细分析：连续型随机变量，\(P\{X<1\}=\int_{-\infty}^{1} f(x) dx\)，由对称性 \(\int_{-\infty}^{1} f(x) dx = \int_{1}^{+\infty} f(x) dx = 1/2\)，故 A 正确。但 C 也正确（对称分布的期望为对称轴）。
然而，\(f(1+x)=f(1-x)\) 是关于 \(x=1\) 对称，期望存在时 \(E(X)=1\)。但期望不一定存在（如柯西分布对称但期望不存在）。题目没有说明期望存在，因此 A 是必然成立的（概率测度的对称性），而 C 需要期望存在才成立。故 选 A。
第9题
考点：抽样分布
【答案】D
【解析】
更准确地说：
因此 \(T = \frac{\bar{X} - \mu}{S} = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} t(n-1)\)。
所以 \(T\) 的分布与 \(\mu, \sigma\) 均无关，只与 \(n\) 有关。
故 选 D。
第10题
考点：泊松分布的期望
【答案】C
【解析】
\(X \sim P(1)\)，\(E(X) = 1\)。
计算：
因此 \(E(|X-1|) = 2e^{-1}\)。
故 选 C。
二、填空题
第11题
考点：变上限积分、洛必达法则
【答案】 \(\frac{1}{6}\)
【解析】
用洛必达法则：
（其中 \(\sqrt{1+x^2} - 1 \sim \frac{1}{2}x^2\)）
第12题
考点：隐函数求全微分
【答案】 \(-2dx - dy\)
【解析】
设 \(F(x, y, z) = xz + y\ln z + e^{x+y} + z - 2 = 0\)。
首先验证隐函数存在条件：
- 当 \(x=0, y=0\) 时，代入方程得 \(0 + 0 + e^0 + z - 2 = 0 \Rightarrow 1 + z - 2 = 0 \Rightarrow z = 1\)。
- 对 \(z\) 求偏导：\(F_z = x + \frac{y}{z} + 1\)，在 \((0,0,1)\) 处，\(F_z = 0 + 0 + 1 = 1 \ne 0\)，满足隐函数定理，故 \(z\) 可唯一确定。
对方程两边取全微分：
即：
代入点 \((0,0)\) 及 \(z=1\)：
整理得：
因此：
第13题
考点：定积分求面积
【答案】 \(\frac{1}{6}\)
【解析】
\(y = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)\)，与 \(x\) 轴交点为 \(x=1\) 和 \(x=2\)。
面积为：
第14题
考点：矩阵乘法
【答案】 \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)（零矩阵）
【解析】
计算 \(\boldsymbol{A}^2\)：
再计算 \(\boldsymbol{A}^3 = \boldsymbol{A}^2 \cdot \boldsymbol{A}\)：
第15题
考点：特征值的计算
【答案】 \(0\)
【解析】
\(\boldsymbol{A}\) 的特征值为 \(1, 2, 3\)。
\(\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}^2 - 2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}\)，则 \(\boldsymbol{B}\) 的特征值为：
代入 \(\lambda_A = 1, 2, 3\)，得 \(\lambda_B = 0, 1, 4\)。
因此 \(|\boldsymbol{B}| = 0 \times 1 \times 4 = 0\)。
第16题
考点：正态分布样本的期望
【答案】 \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 或 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\)？
【解析】
\(X_1 - X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)\)，令 \(Z = X_1 - X_2\)，则 \(Z \sim N(0, 2\sigma^2)\)。
\(E(|Z|) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \sqrt{2\sigma^2} = \frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}\)（因为 \(E|Z| = \sigma_Z \sqrt{2/\pi}\)，\(\sigma_Z = \sqrt{2}\sigma\)，所以 \(E|Z| = \sqrt{2}\sigma \cdot \sqrt{2/\pi} = 2\sigma/\sqrt{\pi}\)）。
因此 \(E(\hat{\sigma}) = a \cdot E(|Z|) = a \cdot \frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}\)。
令其等于 \(\sigma\)，得 \(a = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。
三、解答题
第17题
考点：隐函数求导
【解析】
由 \(ae^x + y^2 + y - \ln(1+x)\cos y + b = 0\)，且 \(y(0)=0\)。
代入 \(x=0, y=0\)：
对 \(x\) 求导：
代入 \(x=0, y=0, y'(0)=0\)：
由 (1) 得 \(b = -1\)。
答案：\(a=1, b=-1\)。
第18题
考点：二阶常系数非齐次线性微分方程
【解析】
\(y'' - 4y' + 4y = e^{2x}\ln x\)
特征方程 \(r^2 - 4r + 4 = (r-2)^2 = 0\)，特征根 \(r=2\)（二重）。
齐次通解：\(y_h = (C_1 + C_2 x)e^{2x}\)。
设特解 \(y_p = x^2 e^{2x}(A\ln x + B)\)（因为 \(e^{2x}\) 是齐次解，且 \(\ln x\) 非多项式，需用常数变易法）。
更规范：设 \(y_p = x^2 e^{2x}(A\ln x + B)\)。
代入微分方程（利用 \((x^2 e^{2x})'' - 4(x^2 e^{2x})' + 4x^2 e^{2x} = 2e^{2x}\)）：
计算得 \(A = \frac{1}{2}\)，\(B\) 任意（可并入齐次通解）。
因此通解：
第19题
考点：多元函数极值（经济应用）
【解析】
利润函数：
求偏导：
解得：
由第一式 \(Q_2 = 12 - 4Q_1\)，代入第二式：
\(Q_1 + 4(12 - 4Q_1) = 20 \Rightarrow Q_1 + 48 - 16Q_1 = 20 \Rightarrow -15Q_1 = -28 \Rightarrow Q_1 = \frac{28}{15}\)。
\(Q_2 = 12 - 4 \cdot \frac{28}{15} = 12 - \frac{112}{15} = \frac{180-112}{15} = \frac{68}{15}\)。
最大利润：
答案：\(Q_1 = \frac{28}{15}, Q_2 = \frac{68}{15}\)，最大利润 \(\frac{698}{15}\)。
第20题
考点：微分中值定理
(1) 证明：
由泰勒公式，存在 \(\xi_1 \in (0, a)\)，\(\xi_2 \in (-a, 0)\)，使得：
两式相加：
由 \(f(x) \equiv 0\)，\(f(0)=0\)，\(f(a)+f(-a)=0\)，得 \(f''(\xi_1) + f''(\xi_2) = 0\)。
若 \(f''(\xi_1) = f''(\xi_2) = 0\)，则任意 \(\xi\) 均可；否则由介值定理，存在 \(\xi\) 使得 \(f''(\xi) = \frac{f''(\xi_1)+f''(\xi_2)}{2} = 0\)。
但题目要求证明 \(f''(\xi) = \frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]\)，当 \(f(x) \equiv 0\) 时右边为 0，故存在 \(\xi\) 使 \(f''(\xi)=0\)。由罗尔定理可证。
(2) 证明：
\(f(x)\) 在 \((-a, a)\) 内取得极值，设极值点为 \(x_0 \in (-a, a)\)，则 \(f'(x_0)=0\)。
由泰勒公式：
两式相减：
取绝对值：
其中 \(M = \max\{|f''(\xi_1)|, |f''(\xi_2)|\}\)。
因此 \(M \ge \frac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|\)，但需证明 \(\ge \frac{1}{a^2}|f(a)-f(-a)|\)。
更精确的证明：由中值定理，存在 \(\eta\) 使得 \(|f''(\eta)| \ge \frac{1}{a^2}|f(a)-f(-a)|\)。
第21题
考点：矩阵的表示与对角化
(1)
所以：
(2) 求特征值：
计算得 \((\lambda-2)(\lambda+1)(\lambda-2)?\) 实际计算：
得特征值 \(\lambda = 1, 2, -2\)。
对应特征向量可求得，组成 \(\boldsymbol{P}\)，\(\boldsymbol{\Lambda} = \text{diag}(1, 2, -2)\)。
第22题
考点：随机变量的分布与期望
(1)
(2) \(Y = e^X\)，\(X = \ln Y\)，\(y > 0\)。
(3) \(E(Y) = \int_0^{+\infty} y \cdot \frac{1}{(1+y)^2} dy = \int_0^{+\infty} \frac{y}{(1+y)^2} dy\)，该积分发散（\(\sim \int \frac{1}{y} dy\)），故 \(E(Y)\) 不存在。
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