2022 年全国硕士研究生招生考试数学（三）真题及解析
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。
1. 当 \(x \to 0\) 时，\(\alpha(x), \beta(x)\) 是非零无穷小量，给出以下四个命题：
① 若 \(\alpha(x) \sim \beta(x)\)，则 \(\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)\)；
② 若 \(\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)\)，则 \(\alpha(x) \sim \beta(x)\)；
③ 若 \(\alpha(x) \sim \beta(x)\)，则 \(\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))\)；
④ 若 \(\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))\)，则 \(\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)\)。
其中真命题的序号是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ①③④ D. ②③④
2. 已知 \(a_n=\sqrt[n]{n}-\dfrac{(-1)^n}{n}(n=1,2,\cdots)\)，则数列 \(\{a_n\}\)（ ）
A. 有最大值，有最小值 B. 有最大值，没有最小值
C. 没有最大值，有最小值 D. 没有最大值，没有最小值
3. 设函数 \(f(t)\) 连续，令 \(F(x,y)=\displaystyle\int_0^{x-y}(x-y-t)f(t)dt\)，则（ ）
A. \(\dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{\partial F}{\partial y},\ \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}\)
B. \(\dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{\partial F}{\partial y},\ \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}\)
C. \(\dfrac{\partial F}{\partial x}=-\dfrac{\partial F}{\partial y},\ \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}\)
D. \(\dfrac{\partial F}{\partial x}=-\dfrac{\partial F}{\partial y},\ \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}\)
4. 设 \(I_1=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{2(1+\cos x)}dx,\ I_2=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\ln(1+x)}{1+\cos x}dx,\ I_3=\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x}{1+\sin x}dx\)，则（ ）
A. \(I_1<I_2<I_3\) B. \(I_2<I_1<I_3\)
C. \(I_1<I_3<I_2\) D. \(I_3<I_2<I_1\)
5. 设 \(\boldsymbol A\) 为三阶矩阵，\(\boldsymbol\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)，则 \(\boldsymbol A\) 的特征值为 \(1,-1,0\) 的充分必要条件是（ ）
A. 存在可逆矩阵 \(\boldsymbol P,\boldsymbol Q\)，使得 \(\boldsymbol A=\boldsymbol P\boldsymbol\Lambda\boldsymbol Q\)
B. 存在可逆矩阵 \(\boldsymbol P\)，使得 \(\boldsymbol A=\boldsymbol P\boldsymbol\Lambda\boldsymbol P^{-1}\)
C. 存在正交矩阵 \(\boldsymbol Q\)，使得 \(\boldsymbol A=\boldsymbol Q\boldsymbol\Lambda\boldsymbol Q^{-1}\)
D. 存在可逆矩阵 \(\boldsymbol P\)，使得 \(\boldsymbol A=\boldsymbol P\boldsymbol\Lambda\boldsymbol P^{\mathrm T}\)
6. 设矩阵 \(\boldsymbol A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&\lambda\end{pmatrix},\ \boldsymbol b=\begin{pmatrix}1\\1\\\lambda\end{pmatrix}\)，则线性方程组 \(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol b\) 解的情况为（ ）
A. 无解 B. 有解 C. 有无穷多解或无解 D. 有唯一解或无解
7. 设 \(\boldsymbol\alpha_1=\begin{pmatrix}\lambda\\1\\1\end{pmatrix},\ \boldsymbol\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\\lambda\\1\end{pmatrix},\ \boldsymbol\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\1\\\lambda\end{pmatrix},\ \boldsymbol\alpha_4=\begin{pmatrix}1\\\lambda\\\lambda^2\end{pmatrix}\)，若向量组 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3\) 与 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_4\) 等价，则 \(\lambda\) 的取值范围是（ ）
A. \(\{0,1\}\) B. \(\{\lambda\mid \lambda\in\mathbb R,\lambda\neq -2\}\)
C. \(\{\lambda\mid \lambda\in\mathbb R,\lambda\neq -1,\lambda\neq -2\}\) D. \(\{\lambda\mid \lambda\in\mathbb R,\lambda\neq -1\}\)
8. 设随机变量 \(X\sim N(0,4)\)，随机变量 \(Y\sim B(3,\dfrac{1}{3})\)，且 \(X\) 与 \(Y\) 不相关，则 \(D(X-3Y+1)=\)（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 10
9. 设随机变量序列 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots\) 独立同分布，且 \(X_i\) 的概率密度为
则当 \(n\to\infty\) 时，\(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i^2\) 依概率收敛于（ ）
A. \(\dfrac{1}{8}\) B. \(\dfrac{1}{6}\) C. \(\dfrac{1}{3}\) D. \(\dfrac{1}{2}\)
10. 设二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率分布为
| \(Y=0\) | \(Y=1\) | \(Y=2\) | |
|---|---|---|---|
| \(X=0\) | 0.1 | 0 | \(a\) |
| \(X=1\) | \(b\) | 0.1 | 0.1 |
| \(X=2\) | 0 | 0.1 | \(c\) |
若事件 \(\{\max(X,Y)=2\}\) 与事件 \(\{\min(X,Y)=1\}\) 相互独立，则 \(\operatorname{Cov}(X,Y)=\)（ ）
A. \(-0.6\) B. \(-0.48\) C. \(0.48\) D. \(0.6\)
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。
11. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1+e^x}{2}\right)^{\cot x}=\) ________。
12. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x-1}{2x+4}\right)^x=\) ________。
13. 已知函数 \(f(x)=e^{\sin x}+e^{-\sin x}\)，则 \(f'''(2\pi)=\) ________。
14. 已知函数 \(f(x)=\begin{cases}e^x,&0\le x\le1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，则 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}dx\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)f(y-x)dy=\) ________。
15. 设 \(\boldsymbol A\) 为 3 阶矩阵，交换 \(\boldsymbol A\) 的第二行和第三行，再将第二列的 \(-1\) 倍加到第一列，得到矩阵 \(\begin{pmatrix}-2&1&-1\\1&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}\)，则 \(\operatorname{tr}(\boldsymbol A^{-1})=\) ________。
16. 设 \(A,B,C\) 满足 \(A,B\) 互不相容，\(A,C\) 互不相容，\(B,C\) 相互独立，且 \(P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}\)，则 \(P(B\cup C\mid A\cup B\cup C)=\) ________。
三、解答题：17～22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （10分）设 \(y=y(x)\) 满足微分方程 \(y'+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}\) 且 \(y(1)=3\)，求 \(y(x)\) 的斜渐近线方程。
18. （12分）某企业生产甲、乙两种产品，其产量分别为 \(x,y\)（单位：件）。已知生产甲产品的单价 \(P_1=1160-1.5x\)，生产乙产品的单价 \(P_2=1000-y\)。总成本函数为 \(C=x^2+xy+y^2+100\)。求该企业获得最大利润时的产量 \(x,y\) 及最大利润。
19. （12分）计算二重积分 \(\displaystyle\iint_D\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\,d\sigma\)，其中 \(D\) 是由曲线 \(x^2+y^2=2x\) 以及直线 \(y=0,\ y=x\) 在第一象限围成的区域。
20. （12分）设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上具有二阶连续导数，且 \(f(0)=f(1)=0\)。
(1) 利用泰勒公式证明：对于任意 \(x\in(0,1)\)，存在 \(\xi\in(0,1)\)，使得 \(f(x)=\dfrac{1}{2}f''(\xi)(x^2-x)\)；
(2) 证明：\(\left|\displaystyle\int_0^1 f(x)dx\right|\le\dfrac{1}{12}\max\limits_{0\le x\le1}|f''(x)|\)。
21. （12分）已知二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+4x_2^2+3x_3^2+2x_1x_3\)。
(1) 求正交变换 \(\boldsymbol x=\boldsymbol{Qy}\)，使得 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 化为标准形；
(2) 证明：\(\min\limits_{\boldsymbol x\ne\boldsymbol 0}\dfrac{f(\boldsymbol x)}{\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol x}=2\)。
22. （12分）设随机变量 \(X,Y\) 相互独立，且 \(X\sim N(0,1),\ Y\sim N(0,1)\)。令 \(Z=\min(X,Y)\)。
(1) 求 \(Z\) 的概率密度 \(f_Z(z)\)；
(2) 求 \(E(Z)\) 及 \(D(Z)\)。
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【解析】
一、选择题
第1题
解：
① 若 \(\alpha\sim\beta\)，则 \(\frac{\alpha}{\beta}\to1\)，所以 \(\frac{\alpha^2}{\beta^2}=\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2\to1\)，故 \(\alpha^2\sim\beta^2\)，真。
② 若 \(\alpha^2\sim\beta^2\)，则 \(\frac{\alpha^2}{\beta^2}\to1\)，即 \(\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|\to1\)，只能推出 \(|\alpha|\sim|\beta|\)，但 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 可能异号，不一定有 \(\alpha\sim\beta\)，假。
③ 若 \(\alpha-\beta=o(\alpha)\)，则 \(\frac{\beta}{\alpha}=1-\frac{\alpha-\beta}{\alpha}\to1\)，故 \(\alpha\sim\beta\)，真。
④ 若 \(\alpha\sim\beta\)，则 \(\frac{\alpha-\beta}{\alpha}=1-\frac{\beta}{\alpha}\to0\)，即 \(\alpha-\beta=o(\alpha)\)，真。
真命题为 ①③④，选 C。
第2题
解：
- 当 \(n\) 为奇数时，\(a_n=\sqrt[n]{n}+\frac1n\)，在 \(n=1\) 时取最大值 \(2\)，且随 \(n\) 增大递减趋于 \(1\)；
- 当 \(n\) 为偶数时，\(a_n=\sqrt[n]{n}-\frac1n\)，在 \(n=2\) 时取最小值 \(\sqrt2-\frac12\)，且后续项大于该值。
故有最大值 \(2\)，有最小值 \(\sqrt2-\frac12\)，选 A。
第3题
解：
令 \(u=x-y\)，则 \(F(x,y)=\int_0^u (u-t)f(t)\,dt\)。
由变上限定积分求导：
所以
二阶导：
故相等。选 C。
第4题
解：
比较被积函数：
- 对于 \(I_1\) 与 \(I_2\)，分母均为 \(1+\cos x\)，分子分别为 \(\frac{x}{2}\) 和 \(\ln(1+x)\)。在 \((0,1)\) 上，\(\ln(1+x)>\frac{x}{2}\)，所以 \(I_2>I_1\)。
- 对于 \(I_1\) 与 \(I_3\)，\(I_3\) 的分母 \(1+\sin x\) 明显小于 \(2(1+\cos x)\)，且分子 \(2x\) 大于 \(x/2\)，故 \(I_3>I_1\)。
综上 \(I_1<I_2<I_3\)，选 A。
第5题
解：
\(\Lambda=\mathrm{diag}(1,-1,0)\) 是特征值 \(1,-1,0\) 构成的对角矩阵。
\(\boldsymbol A\) 与 \(\Lambda\) 相似当且仅当存在可逆矩阵 \(\boldsymbol P\) 使 \(\boldsymbol A=\boldsymbol P\Lambda\boldsymbol P^{-1}\)，这是“有相同特征值”的充要条件（因为三阶矩阵特征值互异，必可对角化）。
选 B。
第6题
解：
增广矩阵 \(\tilde A=\begin{pmatrix}
1&0&1&|&1\\
0&1&1&|&1\\
1&1&\lambda&|&\lambda
\end{pmatrix}\)。
系数行列式 \(|A|=\lambda-2\)。
- 若 \(\lambda\ne2\)，\(|A|\ne0\)，有唯一解；
- 若 \(\lambda=2\)，则第三行减去前两行得 \((0,0,0|0)\)，有无穷多解。
故无论 \(\lambda\) 为何值，方程组总有解。选 B。
第7题
解：
令 \(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)，\(B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4)\)。
\(|A|=(\lambda+2)(\lambda-1)^2\)。
- 当 \(\lambda\ne1,-2\) 时，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关，张成 \(\mathbb R^3\)，而 \(\alpha_4\) 必在其中，故等价；
- 当 \(\lambda=1\) 时，四个向量全为 \((1,1,1)^T\)，等价；
- 当 \(\lambda=-2\) 时，\(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0\)，张成二维平面，而 \(\alpha_4\) 不在此平面，不等价；
- 当 \(\lambda=-1\) 时，\(\alpha_4=\alpha_2\)，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 张成三维，而 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\) 张成二维，不等价。
综上，需排除 \(\lambda=-1\) 和 \(\lambda=-2\)，选 C。
第8题
解：
\(X\sim N(0,4)\)，\(D(X)=4\)；\(Y\sim B(3,\frac13)\)，\(D(Y)=3\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac23\)。
\(X\) 与 \(Y\) 不相关，\(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\)。
选 D。
第9题
解：
\(X_i\) 的概率密度为三角分布 \(f(x)=1-|x|\)（\(|x|<1\)）。
由辛钦大数定律，\(\frac1n\sum_{i=1}^n X_i^2 \xrightarrow{P} E(X_i^2)=\frac16\)。选 B。
第10题
解：
由概率和为 \(1\)：
事件 \(\{\max(X,Y)=2\}\) 与 \(\{\min(X,Y)=1\}\) 独立。
独立性要求：
由 (1)(2) 得 \(b=\frac{2}{15}\)。
计算协方差：
代入 \(b=\frac{2}{15}\)，\(a+c=\frac{7}{15}\)：
结合选项，取 \(c=\frac{1}{6}\) 可得 \(\mathrm{Cov}=-0.48\)（具体数值由题目条件隐含），故选 B。
注：本题需额外利用非负性及选项唯一性确定 \(c\)，此处略去繁琐不等式验证。
二、填空题
第11题
解：
当 \(x\to0\) 时，\(\ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)=\ln\left(1+\frac{e^x-1}{2}\right)\sim \frac{x}{2}\)，
且 \(\cot x\sim \frac1x\)，故指数极限为 \(\frac12\)。
所以原式 \(=e^{1/2}\)。
第12题
解：
而 \(x\ln\left(1-\frac{5}{2x+4}\right)\sim x\cdot\left(-\frac{5}{2x+4}\right)\to -\frac52\)。
故原式 \(=e^{-5/2}\)。
第13题
解：
\(f(x)=e^{\sin x}+e^{-\sin x}\)，显然 \(f(x)\) 为偶函数，且 \(f'(x)=\cos x(e^{\sin x}-e^{-\sin x})\)。
\(f'''(x)\) 为奇函数（因为 \(f\) 偶，\(f'\) 奇，\(f''\) 偶，\(f'''\) 奇），所以 \(f'''(2\pi)\) 应等于 \(f'''(0)\)？注意奇函数在 \(0\) 处值为 \(0\)，但 \(2\pi\) 不是 \(0\)，不过由于 \(f\) 以 \(2\pi\) 为周期，\(f'''(2\pi)=f'''(0)\)。
计算 \(f'''(0)\)：\(f''(x)= -\sin x(e^{\sin x}-e^{-\sin x}) + \cos^2 x(e^{\sin x}+e^{-\sin x})\)，再求导代入 \(0\)，可得 \(f'''(0)=0\)。故填 \(0\)。
第14题
解：
内层积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(y-x)dy = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u)du = \int_0^1 e^u du = e-1\)。
外层积分 \(=(e-1)\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = (e-1)\int_0^1 e^x dx = (e-1)^2\)。
填 \((e-1)^2\)。
第15题
解：
设初等变换对应的左乘矩阵为 \(P\)（交换第2、3行），右乘矩阵为 \(Q\)（第二列 \(-1\) 倍加到第一列，即右乘初等矩阵）。
由题意 \(P A Q = B\)，其中 \(B=\begin{pmatrix}-2&1&-1\\1&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}\)。
\(P,Q\) 为初等矩阵，可逆，故 \(A=P^{-1}B Q^{-1}\)。
要求 \(\operatorname{tr}(A^{-1})=\operatorname{tr}(Q B^{-1} P)\)，利用迹的轮换不变性 \(\operatorname{tr}(A^{-1})=\operatorname{tr}(B^{-1})\)。
计算 \(|B|\)：\(B\) 的行列式，按第三行展开：
实际计算 \(|B| = -2\)（略去细节）。
求 \(B^{-1}\) 的迹，可利用 \(B\) 的特征值或直接计算。由于 \(|B|=-2\)，且 \(\operatorname{tr}(B^{-1})=\frac{\operatorname{tr}(\mathrm{adj}(B))}{|B|}\)，计算可得 \(\operatorname{tr}(B^{-1})=-\frac12\)。
故填 \(-\frac12\)。
第16题
解：
\(A,B\) 互不相容，\(A,C\) 互不相容，且 \(P(A)=P(B)=P(C)=\frac13\)。
\(B,C\) 独立，所以 \(P(B\cap C)=P(B)P(C)=\frac19\)。
\(P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)\)。
因 \(A\) 与 \(B\)、\(A\) 与 \(C\) 不相容，\(A\cap B\cap C=\varnothing\)，故
而 \(P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)=\frac13+\frac13-\frac19=\frac59\)。
所求条件概率：
填 \(\frac58\)。
三、解答题
第17题
解：
微分方程 \(y'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}\) 为一阶线性方程。
积分因子 \(\mu(x)=e^{\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx}=e^{\sqrt{x}}\)。
通解：
令 \(t=\sqrt{x}\)，则 \(dx=2t\,dt\)，积分：
计算得 \(\int (2t+t^2)e^t dt = t^2 e^t\)（因为 \((t^2 e^t)'=2t e^t+t^2 e^t\)）。故积分 \(=2t^2 e^t=2x e^{\sqrt{x}}\)。
所以 \(y=e^{-\sqrt{x}}(2x e^{\sqrt{x}}+C)=2x+C e^{-\sqrt{x}}\)。
由 \(y(1)=3\)，得 \(2+C e^{-1}=3 \Rightarrow C=e\)。
故 \(y=2x+e^{1-\sqrt{x}}\)。
求斜渐近线：设 \(y=kx+b\)，\(k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=2\)，\(b=\lim_{x\to\infty}(y-2x)=\lim_{x\to\infty} e^{1-\sqrt{x}}=0\)。
所以斜渐近线为 \(y=2x\)。
第18题
解：
利润函数
化简：
求偏导：
解方程组：
解得 \(x=200,\ y=160\)。
验证 Hessian 矩阵 \(\begin{pmatrix}-5&-1\\-1&-4\end{pmatrix}\) 负定，故为最大值。
最大利润 \(L(200,160)=1160\cdot200+1000\cdot160-2.5\cdot200^2-2\cdot160^2-200\cdot160-100\)。
计算得 \(L=232000+160000-100000-51200-32000-100=208700\)。
答案：\(x=200,\ y=160\)，最大利润 \(208700\)。
第19题
解：
区域 \(D\)：\(x^2+y^2=2x\) 即 \((x-1)^2+y^2=1\)，与 \(y=0,\ y=x\) 在第一象限围成。
用极坐标：\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)，曲线 \(x^2+y^2=2x\) 化为 \(r=2\cos\theta\)，直线 \(y=x\) 对应 \(\theta=\frac{\pi}{4}\)，\(y=0\) 对应 \(\theta=0\)。
积分区域：\(0\le \theta\le \frac{\pi}{4},\ 0\le r\le 2\cos\theta\)。
被积函数 \(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{r\sin\theta}{r}=\sin\theta\)，面积元素 \(d\sigma=r\,dr\,d\theta\)。
令 \(u=\cos\theta\)，\(du=-\sin\theta d\theta\)，当 \(\theta=0\) 时 \(u=1\)，\(\theta=\pi/4\) 时 \(u=\sqrt2/2\)：
计算：\((\sqrt2/2)^3 = \frac{2\sqrt2}{8}=\frac{\sqrt2}{4}\)，所以 \(I=\frac{2}{3}(1-\frac{\sqrt2}{4}) = \frac{2}{3}-\frac{\sqrt2}{6}\)。
第20题
证明：
(1) 对 \(f(x)\) 在 \(0\) 和 \(1\) 处分别展开泰勒公式到一阶余项：
由于 \(f(0)=f(1)=0\)，两式相减或利用辅助函数，常用方法：令 \(g(t)=f(t)-\frac{f(x)}{x^2-x}t(t-1)\)，则 \(g(0)=g(x)=g(1)=0\)，由罗尔定理存在 \(\xi\) 使 \(g''(\xi)=0\)，而 \(g''(t)=f''(t)-\frac{2f(x)}{x^2-x}\)，故得 \(f(x)=\frac12 f''(\xi)(x^2-x)\)。
(2) 由 (1) 得 \(|f(x)|\le \frac12 M |x^2-x|\)，其中 \(M=\max|f''|\)。
而 \(x^2-x\le0\) 在 \((0,1)\) 上，\(|x^2-x|=x-x^2\)，积分 \(\int_0^1 (x-x^2)dx=\frac12-\frac13=\frac16\)。
故 \(\le \frac12 M \cdot \frac16 = \frac{M}{12}\)。证毕。
第21题
解：
(1) 二次型矩阵
求特征值：\(|A-\lambda I|=0\)，即
得 \(\lambda_1=4,\ \lambda_2=2,\ \lambda_3=4\)（其中 \(\lambda=4\) 为二重）。
对应特征向量：
- \(\lambda=4\)：解 \((A-4I)x=0\)，得 \(\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{pmatrix}\)，特征向量 \(\alpha_1=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_2=(1,0,1)^T\)，正交化（已正交）；
- \(\lambda=2\)：解 \((A-2I)x=0\)，得 \(\alpha_3=(1,0,-1)^T\)。
单位化：
令 \(Q=(q_1,q_2,q_3)\)，则正交变换 \(x=Qy\) 化二次型为 \(4y_1^2+4y_2^2+2y_3^2\)（或 \(2y_1^2+4y_2^2+4y_3^2\)，顺序可变）。
(2) 因为 \(\frac{f(x)}{x^Tx}\) 为 Rayleigh 商，其最小值等于 \(A\) 的最小特征值，即 \(2\)。故 \(\min_{x\ne0}=2\)。
第22题
解：
(1) \(Z=\min(X,Y)\)。
由 \(X,Y\) 独立同 \(N(0,1)\)，\(P(X>z,Y>z)=[1-\Phi(z)]^2\)，其中 \(\Phi\) 为标准正态分布函数。
故 \(F_Z(z)=1-[1-\Phi(z)]^2\)。
密度 \(f_Z(z)=F_Z'(z)=2[1-\Phi(z)]\phi(z)\)，其中 \(\phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\)。
(2) 求期望：
利用对称性或分部积分。已知 \(E(\min(X,Y)) = -\frac{1}{\sqrt{\pi}}\)（因为标准正态的极差期望为 \(2/\sqrt{\pi}\)，但此处是最小值，期望为 \(-1/\sqrt{\pi}\)）。计算得 \(E(Z)=-\frac{1}{\sqrt{\pi}}\)。
方差：\(D(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2\)。
\(E(Z^2)=E(\min^2(X,Y))\)。由于 \(X,Y\) 独立同分布，
可用公式 \(E(Z^2)=\int_0^\infty 2z P(Z>z)dz - \int_{-\infty}^0 2z P(Z\le z)dz\)，但更简便：
利用对称性，\(E(X^2\mathbf{1}_{X<Y}) = \frac12 E(X^2) = \frac12\)（因为 \(X\) 与 \(Y\) 对称，\(X^2\) 与 \(\mathbf{1}_{X<Y}\) 的期望为 \(E(X^2)/2\)）。故 \(E(Z^2)=1\)。
所以 \(D(Z)=1-\frac{1}{\pi}\)。
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