统计学应用——鱼群数量的估计

在水产养殖、渔业资源评估和生态管理工作中，准确掌握鱼塘中鱼类数量对于制定合理的饲养密度、科学安排投喂计划、防治鱼病以及指导捕捞作业具有重要意义。然而受限于鱼类的流动性、不透明水质及较大的水体空间，直接对鱼塘中的鱼进行全面清点几乎不现实。因此，应用统计学思维对鱼塘鱼类数量进行科学估计，成为一种经济有效且实用性强的手段。
这里围绕“如何估计鱼塘中鱼的数量”这一问题，系统介绍几种常见的统计学估计方法，重点讨论标志重捕法、分层抽样估计法以及基于捕捞努力量法的应用原理、计算公式、操作步骤及适用条件，并通过具体实例和方法比较分析，探讨不同方法的优劣与适用场景，为水产养殖及渔业管理提供理论参考和实践指导。

一、鱼塘鱼类数量估计的统计方法

1.1 标志重捕法（Mark-Recapture Method）

1.1.1 方法原理

标志重捕法是一种经典且应用广泛的生态统计方法，适用于无法直接计数、群体数量较大的动物群体。其基本思想是通过两次独立随机抽样，以已标记个体所占比例估算总体数量。

方法流程如下：

• 第一次捕捞：随机捕捞出数量为 $ n_1 $ 条鱼，给它们做显著且不会影响生存状态的标记，如剪鳍、染色或佩戴标志牌，然后放回鱼塘中。
• 等待混合：保证标记鱼与未标记鱼在鱼塘中充分自然混合，消除空间聚集效应。
• 第二次捕捞：再随机捕捞 $ n_2 $ 条鱼，记录其中标记鱼的数量 $ m $。

根据比例关系，估计鱼塘总数量 $ N $。

1.1.2 公式推导

依据概率关系：

\[\frac{m}{n_2} \approx \frac{n_1}{N} \]

解得：

\[N \approx \frac{n_1 \times n_2}{m} \]

这是最基本的林肯-彼得森估计公式。

1.1.3 置信区间计算

为了衡量估计的不确定性，通常需计算标准误差（SE）：

\[SE(N) = \sqrt{\frac{n_1^2 n_2 (n_2 - m)}{m^3}} \]

据此，95%置信区间为：

\[N \pm 1.96 \times SE(N) \]

1.1.4 应用条件与假设

• 标记方法对鱼类无影响，且在观测期间标记不脱落。
• 标记鱼和未标记鱼充分混合，捕捞概率相同。
• 调查期间总体数量保持恒定（无死亡、迁移、补充）。

1.2 分层抽样估计法

1.2.1 方法原理

若鱼塘环境复杂，鱼类在不同区域、不同水层中分布密度差异较大，单一抽样可能偏倚。分层抽样法通过将鱼塘划分为若干同质子区域（如上层水体、中层水体、底层水体或南北、东西区），在每个区域内独立抽样，估计各区域鱼类数量，再汇总得出总体数量。

1.2.2 估算步骤

• 鱼塘划分分层：依据地形、水深、鱼类栖息习性划分 $ L $ 个层（区域）。
• 各层独立抽样：在第 $ h $ 层中随机捕捞 $ n_h $ 条鱼，记录鱼数 $ x_h $。
• 估计密度：

\[\hat{D}_h = \frac{x_h}{n_h} \]

• 估算该层总量：

\[\hat{N}_h = \hat{D}_h \times A_h \]

其中 $ A_h $ 为该层面积或体积。

• 汇总估计总体数量：

\[\hat{N} = \sum_{h=1}^L \hat{N}_h \]

1.2.3 优缺点分析

• 优点：能反映鱼类空间分布差异，提高估计精度。
• 缺点：操作较复杂，需了解鱼类分布特点，划分合理分层。

1.3 捕捞努力量法（Catch per Unit Effort, CPUE）

1.3.1 方法原理

该法假定鱼塘中鱼的数量与单位努力量（如用相同网具捕鱼一定时间）所得鱼量呈正比，通过一定努力量的试捕结果，估算总体数量。

1.3.2 计算公式

设：

• 每单位努力量捕到的平均鱼数为 $ CPUE $
• 总努力量为 $ E $

则估计鱼塘中鱼的数量：

\[\hat{N} = CPUE \times E \]

1.3.3 实施条件与优缺点

• 优点：操作简单、无需标记鱼。
• 缺点：需合理估计总努力量，假设捕捞效率稳定。

二、实例应用

2.1 标志重捕法估算

2.1.1 实验设计

在某鱼塘，第一次捕捞并标记 $ n_1 = 80 $ 条鱼，然后放回。经过充分混合后，第二次捕捞 $ n_2 = 100 $ 条鱼，其中有标记鱼 $ m = 20 $。

2.1.2 数量估计

应用林肯-彼得森估计公式：

\[N \approx \frac{80 \times 100}{20} = 400 \]

2.1.3 置信区间计算

标准误差：

\[SE(N) = \sqrt{\frac{80^2 \times 100 \times (100-20)}{20^3}} \]

\[= \sqrt{\frac{6400 \times 100 \times 80}{8000}} \]

\[= \sqrt{6400} = 80 \]

95%置信区间：

\[400 \pm 1.96 \times 80 \]

\[= (243.2, 556.8) \]

因此，鱼塘中鱼数量大致在243条到557条之间。

2.2 分层抽样法示例

将鱼塘分为上、中、下三层，面积分别为 $ 200m^2 \(、\) 300m^2 \(、\) 500m^2 $。

• 上层捕捞20尾，捕到4条
• 中层捕捞30尾，捕到9条
• 下层捕捞50尾，捕到17条

估算密度：

\[\hat{D}_1 = \frac{4}{20} = 0.2 \]

\[\hat{D}_2 = \frac{9}{30} = 0.3 \]

\[\hat{D}_3 = \frac{17}{50} = 0.34 \]

估计数量：

\[\hat{N}_1 = 0.2 \times 200 = 40 \]

\[\hat{N}_2 = 0.3 \times 300 = 90 \]

\[\hat{N}_3 = 0.34 \times 500 = 170 \]

总数量：

\[\hat{N} = 40 + 90 + 170 = 300 \]

2.3 捕捞努力量法示例

若单位努力量捕鱼5分钟，试验性捞鱼6次，每次鱼获数如下： 8、10、7、9、11、9

平均 $ CPUE = \frac{8+10+7+9+11+9}{6} = 9 $ 条

若估计全天捕鱼时间为 20 次努力量，估计总鱼数：

\[\hat{N} = 9 \times 20 = 180 \]

三、方法比较与适用性分析

方法名称	优点	缺点	适用场景
标志重捕法	简单直观、计算清晰	假设完全混合、无死亡、无标记脱落	中小型鱼塘，易标记鱼类
分层抽样估计法	适用于分布不均、水体分层的复杂环境	操作复杂、需分区	多区域、多水层鱼塘
捕捞努力量法	实施方便、无需标记鱼	需掌握总努力量，假设捕捞效率稳定	捕捞次数稳定、鱼种单一

四、结论与展望

基于统计学方法，系统探讨了鱼塘中鱼类数量的估计问题。标志重捕法因操作简便，适合中小型鱼塘快速估算鱼类数量；分层抽样法能够反映鱼类在不同水域层次的分布差异，适用于环境复杂的水体；捕捞努力量法则依据捕捞记录推算总量，适合鱼类分布较均匀、数据记录完整的场合。未来，结合声呐监测、水下摄像、无人机遥感等现代监测手段，配合贝叶斯估计、多层模型、Bootstrap重抽样等统计方法，将进一步提升鱼类数量估计的精度和实用性，为科学化养殖与渔业资源管理提供更加可靠的数据依据。

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