计量经济学(十五)——时间序列分解定理(计量模型的理论基础)

时间序列分析作为数据科学与计量经济学的重要分支，旨在刻画和理解随时间演化的数据结构及其内在规律。无论是金融市场预测、宏观经济政策评估、气候变化监测，还是医学信号分析，时间序列模型均在预测未来趋势与支持决策中发挥核心作用。然而，时间序列数据往往同时包含确定性成分与随机扰动，这种复杂性使得直接建模与解释存在挑战。为此，经典理论提出了两大分解定理——Wold 分解定理与Cramér 分解定理，分别从时域与频域提供了刻画平稳序列结构的基础框架。
Wold 分解定理指出，任何平稳时间序列都可以唯一分解为两部分：一部分是确定性成分（如固定周期信号或趋势），另一部分是纯非确定性成分。这一结果不仅揭示了平稳序列的随机结构，还为 ARMA 模型提供了理论基础。与之相辅相成，Cramér 分解定理（亦称谱表示定理）从频域角度出发，利用谱测度将平稳序列表示为正交增量过程的傅里叶积分形式，为谱分析和频率建模奠定了数学基础。二者共同构成现代时间序列分析的两大理论支柱，为时域建模与频域推断提供了统一视角。

一、Wold分解定理

1.1 定理内容

Wold分解定理（Wold Decomposition Theorem）是时间序列分析的基础结果之一。对于均值为常数的平稳时间序列 \(\{Y_t\}\)，定理表述为：

\[Y_t - \mu = \sum_{k=0}^{\infty} \psi_k \,\epsilon_{t-k}, \quad \psi_0 = 1 \]

其中：

  • $ \mu $ 为序列均值；
  • $ {\epsilon_t} $为零均值、方差有限且相互独立的白噪声过程；
  • $ \psi_k$ 为可和的系数序列（冲击响应函数）。

该公式表明：任何平稳序列都可以写成白噪声的无限阶移动平均形式。

1.2 定理条件

  • 平稳性：\(Y_t\) 必须是协方差平稳序列，即均值和方差不随时间变化，协方差只依赖于时滞。
  • 零均值或均值可剥离：若序列均值不为零，需先中心化处理。
  • 白噪声性质：误差项\(\epsilon_t\) 独立同分布且均值为零。

1.3 意义与应用

  • 理论基础：奠定了ARMA类模型（AR、MA、ARIMA）的理论基础，因为这些模型可视为Wold分解的有限阶近似。
  • 模式识别：通过剥离确定性均值成分，剩余部分完全由随机冲击决定，便于研究冲击传播机制。
  • 预测与建模：为平稳序列建模提供统一框架，广泛用于金融收益率、经济增长率等研究。

二、Cramer分解定理

2.1 定理内容

Cramer分解定理（Cramer Decomposition Theorem）扩展了Wold分解的适用范围，对一般时间序列（可含趋势或季节性）给出分解形式：

\[Y_t = T_t + R_t \]

其中：

  • \(T_t\)：确定性成分（如趋势、季节性、周期性），通常为可预测函数\(f(t)\)；
  • $ R_t $：平稳随机成分，可进一步用Wold分解表示。

简化形式为：

\[Y_t = f(t) + \epsilon_t, \qquad \epsilon_t \text{ 为平稳过程} \]

2.2 定理条件

  • 可分性：时间序列可表示为确定性函数与平稳误差之和；
  • 确定性函数可识别：可通过回归、滤波或平滑方法提取趋势/季节性成分。

2.3 意义与应用

  • 广泛适用性：适用于非平稳序列，可先剥离确定性部分，再分析剩余平稳部分。
  • 结合趋势建模：为季节调整、结构分解模型（如STL分解）提供理论基础。
  • 政策与经济研究：帮助区分长期趋势变化与短期波动，例如分析GDP长期增长趋势与商业周期波动。

三、Wold与Cramer分解对比

维度 Wold分解 Cramer分解
适用范围 协方差平稳序列 一般时间序列（包括非平稳序列）
分解形式 均值加上无限阶移动平均（MA）随机项 确定性趋势成分与平稳随机项的叠加
核心用途 用于ARMA模型建模与平稳时间序列预测 用于趋势和季节性剥离及更广义的时间序列建模
随机部分处理 直接以移动平均过程形式表示 先剥离确定性成分，再对剩余平稳部分用Wold分解处理
典型模型 AR、MA、ARIMA模型 SARIMA、结构性时间序列模型（如状态空间模型）

Wold分解定理主要适用于协方差平稳的时间序列，假设序列的均值和方差恒定，且自协方差只与时滞相关。它指出任何平稳时间序列都可以表示为均值加上一个无限阶的移动平均过程，即随机扰动项是通过一组权重作用于白噪声序列产生的。这个分解为ARMA模型等提供了坚实的理论基础，使得通过有限阶的自回归（AR）和移动平均（MA）过程可以近似复杂的时间序列行为，方便进行建模与预测。Wold分解直接对随机部分进行移动平均表示，简洁且理论清晰。
而Cramer分解定理适用范围更广，不仅涵盖平稳序列，还可以处理具有趋势、季节性等非平稳成分的时间序列。Cramer分解将时间序列拆解为两个部分：一个是确定性趋势成分（如长期趋势、季节性周期等），另一个是平稳的随机成分。通过先提取确定性部分，再利用Wold分解处理剩余的平稳部分，Cramer分解为非平稳时间序列提供了一种层次化分析方法。这一方法在实际应用中非常重要，因为大多数经济、金融数据都存在趋势或季节效应。基于Cramer分解的模型，如SARIMA和状态空间模型，能更好地捕捉这些特征。

综上，Wold分解强调的是平稳时间序列的随机结构，而Cramer分解则侧重于对非平稳时间序列中趋势与随机波动的分离。两者相辅相成，共同构建了现代时间序列分析的理论基础，使得从简单的平稳序列建模到复杂的带趋势、季节性序列分析都具备系统的理论支持和方法指导。

四、分解定理引出的计量模型

4.1 基于Wold分解的模型

  • AR模型（自回归）

\[Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \cdots + \phi_p Y_{t-p} + \epsilon_t \]

  • MA模型（移动平均）

\[Y_t = \theta_0 + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q} + \epsilon_t \]

  • ARIMA模型（差分整合）

\[\Delta^d Y_t = \phi(B) Y_t + \theta(B) \epsilon_t \]

  • GARCH模型（条件异方差）

\[\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \cdots + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 \]

  • VAR模型（向量自回归）

\[Y_t = A_1 Y_{t-1} + \cdots + A_p Y_{t-p} + \epsilon_t \]

4.2 基于Cramer分解的模型

  • SARIMA模型（季节性自回归积分移动平均）
    SARIMA模型是在ARIMA模型基础上，增加对季节性成分的建模，适用于具有显著季节性波动的时间序列。其基本形式为：

    \[\Phi_p(B^s) \phi_p(B) \Delta^d \Delta_s^{D} Y_t = \Theta_q(B^s) \theta_q(B) \epsilon_t \]

    其中，$ s $ 为季节周期，差分次数 $ d $ 和季节差分次数 \(D\) 用于消除趋势和季节性，$ \phi, \theta $ 分别是非季节和季节自回归及移动平均参数。

  • 状态空间模型（State Space Model）
    状态空间模型通过构建观测方程与状态转移方程，动态刻画时间序列的趋势、季节性与噪声，适合处理非平稳序列。其形式为：

    \[\begin{cases} Y_t = Z_t \alpha_t + \epsilon_t, \quad \epsilon_t \sim N(0, H_t) \\ \alpha_{t+1} = T_t \alpha_t + \eta_t, \quad \eta_t \sim N(0, Q_t) \end{cases} \]

    其中，$ \alpha_t $$ 是潜在状态变量，Kalman滤波算法用于状态估计和预测。

  • 结构时间序列模型（Structural Time Series Model, STSM）
    STSM将时间序列分解为趋势、周期、季节性等结构成分，每个成分都有明确的统计解释。模型形式如：

    \[Y_t = \mu_t + \gamma_t + \psi_t + \epsilon_t \]

    其中，$\mu_t $ 为趋势项，$ \gamma_t $ 为季节项，\(\psi_t\) 为周期项，$ \epsilon_t $ 为随机扰动。该模型适用于经济和气象等领域的复杂时间序列分析。

  • 贝叶斯时间序列模型
    贝叶斯方法利用先验分布结合观测数据，构建完整的后验分布，从而灵活处理模型参数不确定性和复杂结构。贝叶斯时间序列模型通常采用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法进行推断，常见形式为：

    \[P(\theta | Y) \propto P(Y | \theta) P(\theta) \]

    其中，\(\theta\)为模型参数，$ Y $为观测数据。该方法广泛应用于金融风险管理和宏观经济预测等领域。

五、非平稳时间序列的平稳转化

多数经济和金融时间序列数据常常表现出趋势性、季节性或方差变化，这些非平稳特征会影响模型的有效性与预测能力。因此，在应用Wold分解和Cramer分解等理论之前，必须先对非平稳序列进行平稳化处理，使其满足分析和建模的基本假设。下面介绍几种常用的平稳转化方法，并以表格形式进行总结。

常用平稳转化方法

方法 说明 数学表达式或工具 适用情况
差分 通过计算相邻观测值差异，消除序列的线性趋势 \(Y'_t = Y_t - Y_{t-1}\) 存在明显趋势性的数据
季节差分 针对季节性波动，计算当前值与前一季节对应值的差值 \(Y'_t = Y_t - Y_{t-s}\), 其中 $ s $ 是季节周期 存在季节周期性变化的序列
对数变换 通过对数变换稳定方差，减少极端值的影响 \(Y'_t = \log(Y_t)\) 方差随时间变化明显的非平稳序列
季节调整 利用X-13-ARIMA等程序剥离季节因素，保留趋势和随机波动 季节调整程序如X-13-ARIMA 季节成分明显且周期复杂的数据
平滑处理 采用移动平均或指数加权移动平均减少噪声，突出长期趋势 移动平均：$ MA_t = \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} Y_{t-i}$ 需要消除短期波动突出长期变化趋势
单位根检验 使用ADF、PP检验判断序列是否平稳，指导是否需要差分或其他处理 Augmented Dickey-Fuller（ADF）、Phillips-Perron（PP）检验 评估序列平稳性，决定处理策略
  • 差分与季节差分是最常用的平稳化方法，尤其适合经济金融数据中的趋势和季节效应。通过差分后，序列均值趋于稳定，便于后续建模。
  • 对数变换常用于数据方差随时间变化较大，特别是交易量、价格类数据，能够减少波动带来的非线性影响。
  • 季节调整程序能够精准分离季节成分，提升模型对趋势和随机波动的捕捉能力。
  • 平滑处理有助于数据可视化及理解趋势，但不一定能完全实现平稳，通常作为辅助手段。
  • 单位根检验为判断序列性质的统计方法，是平稳处理的重要前提，指导合理的转化策略。

通过上述预处理，时间序列中的非平稳趋势和季节成分得以有效剥离，剩余的随机部分满足平稳条件。此时，随机部分可以利用Wold分解进行建模和预测，而趋势部分则依托Cramer分解框架加以分析。整体上，平稳转化为时间序列分析提供了坚实的基础，提升了模型的准确性和可靠性。

六、总结

Wold与Cramer分解定理共同奠定了时间序列分析的核心框架，通过分解视角将复杂的动态数据拆解为确定性趋势与平稳随机成分两部分。Wold分解主要适用于平稳序列，为AR、MA、ARIMA及GARCH等模型提供了理论依据；Cramer分解则进一步推广至一般时间序列，为趋势+噪声模型和结构时间序列建模奠定基础。在实际分析中，通过差分、对数变换、季节调整和状态空间方法，研究者能够有效处理非平稳性与季节性问题，从而更精准地捕捉长期趋势与短期波动。该框架广泛应用于宏观经济预测、金融市场波动建模、气候变化分析及能源需求预测等领域，为科学决策和政策制定提供了强有力的数据支持与理论保障。

参考资料

  1. Brockwell, P. J., & Davis, R. A. (2016). Time Series: Theory and Methods. Springer.
  2. Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press.
  3. Chatfield, C. (2019). The Analysis of Time Series: An Introduction. CRC Press.
  4. 【时间序列分析】——时序分解定理详解
  5. 时序数据分解

posted @ 2024-10-30 23:36  郝hai  阅读(1031)  评论(0)    收藏  举报