线性规划数学模型精解

线性规划（Linear Programming, LP）是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下最大化或最小化目标函数。线性规划广泛应用于经济、工程、管理等领域，通过建立数学模型，帮助决策者找到最优解决方案。

一、线性规划数学模型

1.1 模型三要素

  • 决策变量（Decision Variables）
    决策变量是线性规划问题中需要确定的变量，它们代表了决策者可控的选择项，例如每种产品的生产数量、每种资源的分配比例等。所有的优化操作都是围绕这些变量进行的。通常记作：\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)，其取值会直接影响目标函数的值和约束条件是否满足。

  • 目标函数（Objective Function）
    目标函数是线性规划中需要优化的函数，通常表示为线性形式。目标函数可以是需最大化的利润或最小化的成本。例如，在一个生产问题中，目标函数可以是某种商品的总利润，需要通过调整生产量来最大化这个值。目标函数的一般形式为：

\[Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n \]

其中：\(Z\)是目标值；\(c_1, c_2, \ldots, c_n\)是目标函数的系数；\(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 是决策变量。

  • 约束条件（Constraints）
    约束条件是限制决策变量取值范围的线性不等式或等式。这些条件通常反映了资源的有限性、技术限制等。例如，在生产问题中，约束条件可能包括生产时间、原材料、资金等的限制。约束条件的一般形式为：

\[\begin{align*} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n &\leq b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n &\leq b_2 \\ \vdots \quad \quad &\ddots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n &\leq b_m \\ \end{align*} \]

其中：\(a_{ij}\)是约束条件的系数；\(b_i\)是约束条件的右端常数；\(m\)是约束条件的数量。

  • 可行性条件（Feasibility Conditions）
    可行性条件是也称为非负性约束（Non-negativity Constraints），在大多数实际问题中，决策变量通常需要非负，即每个变量必须大于或等于零。这反映了实际情况中物理量（如生产量、时间等）不能为负值，在经济管理中也反映了变量的现实要求，是变量最原始的述求。可行性条件的一般形式为：$$x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0$$

1.2 建模过程

问题描述：某公司生产两种产品A和B，每生产一单位A可获利3元，每生产一单位B可获利5元。生产A需要2小时工作时间和1单位原材料，生产B需要1小时工作时间和2单位原材料。现公司有100小时工作时间和80单位原材料。问公司应如何安排生产才能使利润最大化？

  • 决策变量

    • 设\(x_1\)为产品A的生产数量，
    • 设\(x_2\)为产品B的生产数量。

  • 目标函数
    需要最大化利润，目标函数为：

\[\text{Maximize } Z = 3x_1 + 5x_2 \]

  • 约束条件

    • \(2x_1 + x_2 \leq 100\)（工作时间约束）
    • \(x_1 + 2x_2 \leq 80\) （原材料约束）

  • 可行性约束

    • \(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)

通过上述步骤，建立了一个完整的线性规划数学模型。该模型可以通过图解法、单纯形法或其他优化算法求解，从而找到最优生产方案。线性规划不仅为决策者提供了一种系统化的决策工具，而且在资源优化配置方面具有重要意义。

1.3 图解法

\[\begin{align*} \max \quad & z = 2x_1 + 2x_2 \\ \text{s.t.} \quad & 5x_1 + 2x_2 \leq 15 \\ & 6x_1 + 2x_2 \leq 24 \\ & x_1 + x_2 \leq 5 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{align*}\]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import linprog

# 定义绘图的范围
x1 = np.linspace(0, 10, 400)

# 定义约束条件
y1 = 15 / 5
y2 = (24 - 6 * x1) / 2
y3 = 5 - x1

# 绘制可行域
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.plot(x1, y2, label=r'$6x_1 + 2x_2 \leq 24$')
plt.plot(x1, y3, label=r'$x_1 + x_2 \leq 5$')
plt.axhline(y=y1, color='r', linestyle='-', label=r'$5x_2 \leq 15$')
plt.xlim((0, 10))
plt.ylim((0, 10))
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')

# 填充可行域
plt.fill_between(x1, 0, np.minimum(np.minimum(y1, y2), y3), where=(x1<=10), color='grey', alpha=0.5)

# 标记可行域
plt.legend()

# 求解线性规划问题
c = [-2, -1]  # 因为linprog求解的是最小化问题，所以目标函数取反
A = [[6, 2], [1, 1], [0, 5]]
b = [24, 5, 15]

# 使用linprog求解
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=(0, None), method='highs')

if res.success:
    # 绘制目标函数的最优解点
    plt.plot(res.x[0], res.x[1], 'ro', label='Optimal Solution')
    plt.legend()
    plt.show()

    print(f"Optimal value: {res.fun * -1:.2f}")  # 最大化目标函数的最优值
    print(f"Optimal solution: x1 = {res.x[0]:.2f}, x2 = {res.x[1]:.2f}")
else:
    print("No solution found")

二、建模示例

1.1 例1

某公司在计划期内要安排生产A、B两种产品（假设市场销路很好）。生产单位产品的利润以及所需的劳动力、设备台时以及原材料的消耗资料如下表所示。

产品 A B
劳动力（工时） 9 4 360
设备（台时） 4 5 200
原材料（千克） 3 10 300
单位产品利润 70 120

  • 决策变量

    • 设\(x_1\)为产品A的生产数量
    • 设\(x_2\)为产品B的生产数量

  • 目标函数
    最大化利润，目标函数为：

\[\text{Maximize } Z = 70x_1 + 120x_2 \]

  • 约束条件
    • 劳动力约束：\(9x_1 + 4x_2 \leq 360\)
    • 设备台时约束：\(4x_1 + 5x_2 \leq 200\)
    • 原材料约束：\(3x_1 + 10x_2 \leq 300\)
    • 非负性约束：\(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)

将上述内容整合，线性规划的数学模型为：

\[ \text{Maximize } Z = 70x_1 + 120x_2 \] \[ \text{subject to} \] \[ 9x_1 + 4x_2 \leq 360 \] \[ 4x_1 + 5x_2 \leq 200 \] \[ 3x_1 + 10x_2 \leq 300 \] \[ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\]

这个数学模型可以通过图解法或使用线性规划求解器（如linprog）求解，从而找到最优的生产数量\(x_1\)和\(x_2\)以使得公司利润最大化。

1.2 例2

已知三种食物P,Q,R的维生素含量与成本如下表所示：

食物 维生素A (单位/kg) 维生素B (单位/kg) 成本 (元/kg)
食物P 400 800 6
食物Q 600 200 5
食物R 400 400 4

现在将的食物P,Q,R混合制成 100 kg 的混合物。要求这 100 kg 的混合物中至少含有维生素A 48000 单位与维生素B 44000 单位，那么如何混合配比该混合物的成本最小？

  • 变量定义

    • \(x_1\)​: 食物 P 的重量 (kg)
    • \(x_2\)​: 食物 Q 的重量 (kg)
    • \(x_3\) : 食物 R 的重量 (kg)

  • 目标函数

\[\text{Minimize} \quad 6x_1 + 5x_2 + 4x_3 \]

  • 约束条件

    • 总重量为100 kg: $$x_1 + x_2 + x_3 = 100$$
    • 维生素A至少含有48000单位: $$x_1 + 600x_2 + 400x_3 \ge 48000$$
    • 维生素B至少含有44000单位: $$800x_1 + 200x_2 + 400x_3 \ge 44000$$
    • 非负约束:$$x_1 \ge 0, \quad x_2 \ge 0, \quad x_3 \ge 0$$

  • 数学模型

\[\begin{aligned} &\text{Minimize} && 6x_1 + 5x_2 + 4x_3 \\ &\text{subject to} \\ & && x_1 + x_2 + x_3 = 100, \\ & && 400x_1 + 600x_2 + 400x_3 \ge 48000, \\ & && 800x_1 + 200x_2 + 400x_3 \ge 44000, \\ & && x_1 \ge 0, \\ & && x_2 \ge 0, \\ & && x_3 \ge 0. \end{aligned}\]

from scipy.optimize import linprog
import numpy as np

# 目标函数系数
c = np.array([6, 5, 4])

# 不等式约束系数矩阵和右端向量
A = np.array([
    [-400, -600, -400],  # 转化为<=约束
    [-800, -200, -400]   # 转化为<=约束
])
b = np.array([-48000, -44000])

# 等式约束系数矩阵和右端向量
A_eq = np.array([
    [1, 1, 1]
])
b_eq = np.array([100])

# 变量非负约束
bounds = [(0, None), (0, None), (0, None)]

# 求解线性规划问题
result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds, method='highs')

# 输出结果
if result.success:
    print("各食物的最优供应量（kg）:")
    print(f"食物 P: {result.x[0]:.2f} kg")
    print(f"食物 Q: {result.x[1]:.2f} kg")
    print(f"食物 R: {result.x[2]:.2f} kg")
    print(f"最小成本: {result.fun:.2f} 元")
else:
    print("未找到最优解")

各食物的最优供应量（kg）:
食物 P: 30.00 kg
食物 Q: 40.00 kg
食物 R: 30.00 kg
最小成本: 500.00 元

三、练习案例

每种蓅菜含有的营养素成份是不同的, 从医学上知道每人每周对每种营养成分的最低需求量。某医院营养室在制定下一周菜单时, 需要确定表中所列六种蔬菜的供应量, 以便使费用最小而又能满足营养素等其它方面的要求。规定白菜的供应一周内不多于 20 kg , 其它蔬菜的供应在一周内不多于 40 kg , 每周共需供应 140 kg 蔬菜, 为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求,问在下一周内应当供应每种疏菜各多少 kg ?

序号 蔬菜 铁 磷 维生素A 维生素C 烟酸 每千克费用
1 青豆 0.45 10 415 8 0.30 5
2 胡萝卜 0.45 28 9065 3 0.35 5
3 菜花 1.05 59 2550 53 0.60 8
4 白菜 0.40 25 75 27 0.15 2
5 甜菜 0.50 22 15 5 0.25 6
6 土豆 0.50 75 235 8 0.80 3
要求蔬菜提供的营养 铁 磷 维生素A 维生素C 烟酸 备注
要求值 6.00 25 17500 245 5.00

  • 决策变量
    设\(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6\)分别为青豆、胡萝卜、菜花、白菜、甜菜、土豆的供应量（kg）。

  • 目标函数

\[\text{Minimize } Z = 5x_1 + 5x_2 + 8x_3 + 2x_4 + 6x_5 + 3x_6 \]

  • 约束条件
    满足营养需求，每种蔬菜的供应量上限，以及总供应量。
    • 铁的约束：$$0.45x_1 + 0.45x_2 + 1.05x_3 + 0.40x_4 + 0.50x_5 + 0.50x_6 \geq 6.00$$
    • 磷的约束：$$10x_1 + 28x_2 + 59x_3 + 25x_4 + 22x_5 + 75x_6 \geq 25$$
    • 维生素A的约束：$$415x_1 + 9065x_2 + 2550x_3 + 75x_4 + 15x_5 + 235x_6 \geq 17500$$
    • 维生素C的约束：$$8x_1 + 3x_2 + 53x_3 + 27x_4 + 5x_5 + 8x_6 \geq 245$$
    • 烟酸的约束：$$0.30x_1 + 0.35x_2 + 0.60x_3 + 0.15x_4 + 0.25x_5 + 0.80x_6 \geq 5$$
    • 蔬菜供应量上限：$$x_4 \leq 20 \quad x_1, x_2, x_3, x_5, x_6 \leq 40$$
    • 总供应量：$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 140$$
  • 非负性约束：

\[x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0 \]

  • 数学模型

\[\begin{align*} \text{Minimize } Z = & 5x_1 + 5x_2 + 8x_3 + 2x_4 + 6x_5 + 3x_6 \\ \text{subject to } & \\ & 0.45x_1 + 0.45x_2 + 1.05x_3 + 0.40x_4 + 0.50x_5 + 0.50x_6 \geq 6.00 \\ & 10x_1 + 28x_2 + 59x_3 + 25x_4 + 22x_5 + 75x_6 \geq 25 \\ & 415x_1 + 9065x_2 + 2550x_3 + 75x_4 + 15x_5 + 235x_6 \geq 17500 \\ & 8x_1 + 3x_2 + 53x_3 + 27x_4 + 5x_5 + 8x_6 \geq 245 \\ & 0.30x_1 + 0.35x_2 + 0.60x_3 + 0.15x_4 + 0.25x_5 + 0.80x_6 \geq 5 \\ & x_4 \leq 20 \\ & x_1, x_2, x_3, x_5, x_6 \leq 40 \\ & x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 140 \\ & x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0 \end{align*}\]

#求解程序

import pulp

# 定义问题
prob = pulp.LpProblem("Vegetable Supply Problem", pulp.LpMinimize)

# 定义变量
x1 = pulp.LpVariable('青豆', lowBound=0)
x2 = pulp.LpVariable('胡萝卜', lowBound=0)
x3 = pulp.LpVariable('菜花', lowBound=0)
x4 = pulp.LpVariable('白菜', lowBound=0, upBound=20)
x5 = pulp.LpVariable('甜菜', lowBound=0)
x6 = pulp.LpVariable('土豆', lowBound=0)

# 目标函数
prob += 5*x1 + 5*x2 + 8*x3 + 2*x4 + 6*x5 + 3*x6, "Total Cost"

# 约束条件
prob += x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 == 140, "Total Supply"
prob += 0.45*x1 + 0.45*x2 + 1.05*x3 + 0.40*x4 + 0.50*x5 + 0.50*x6 >= 6, "Iron Requirement"
prob += 10*x1 + 28*x2 + 59*x3 + 25*x4 + 22*x5 + 75*x6 >= 25, "Phosphorus Requirement"
prob += 415*x1 + 9065*x2 + 2550*x3 + 75*x4 + 15*x5 + 235*x6 >= 17500, "Vitamin A Requirement"
prob += 8*x1 + 3*x2 + 53*x3 + 27*x4 + 5*x5 + 8*x6 >= 245, "Vitamin C Requirement"
prob += 0.30*x1 + 0.35*x2 + 0.60*x3 + 0.15*x4 + 0.25*x5 + 0.80*x6 >= 5, "Niacin Requirement"
prob += x1 <= 40, "Green Peas Upper Limit"
prob += x2 <= 40, "Carrots Upper Limit"
prob += x3 <= 40, "Cauliflower Upper Limit"
prob += x4 <= 20, "Chinese Cabbage Upper Limit"
prob += x5 <= 40, "Beet Upper Limit"
prob += x6 <= 40, "Potato Upper Limit"

# 求解问题
prob.solve()

# 打印结果
if pulp.LpStatus[prob.status] == 'Optimal':
    print("每种蔬菜的最优供应量（kg）:")
    print(f"青豆: {pulp.value(x1):.2f} kg")
    print(f"胡萝卜: {pulp.value(x2):.2f} kg")
    print(f"菜花: {pulp.value(x3):.2f} kg")
    print(f"白菜: {pulp.value(x4):.2f} kg")
    print(f"甜菜: {pulp.value(x5):.2f} kg")
    print(f"土豆: {pulp.value(x6):.2f} kg")
    print(f"最小费用: {pulp.value(prob.objective):.2f} 元")
else:
    print("未找到最优解")

每种蔬菜的最优供应量（kg）:
青豆: 40.00 kg
胡萝卜: 40.00 kg
菜花: 0.00 kg
白菜: 20.00 kg
甜菜: 0.00 kg
土豆: 40.00 kg
最小费用: 560.00 元

参考资料

  1. 《运筹学》考研考点讲义
  2. 《运筹学》知识点全总结
posted @ 2024-07-15 12:13  郝hai  阅读(1551)  评论(0)    收藏  举报