委托代理机制的各种变形——线性合约

2016年诺贝尔经济学奖授予了麻省理工学院教授本特·霍姆斯特罗（Bengt Holmstrom）和哈佛大学教授奥利弗·哈特（Oliver Hart），获奖原因是他们对契约理论的贡献。哈特和霍姆斯特罗建模研究不同环境下经济主体的行为和结果，分析了如果通过制定契约来更有效地建立和维持这种生产关系。契约理论研究对象是国家、企业、个人间的协作关系，企业制度、市场制度和激励机制等问题。契约理论的核心是委托代理问题，委托代理（Principal-Agent Theory）是一种用于分析和解释在信息不对称和利益不一致的情况下，委托人（Principal）与代理人（Agent）之间关系的理论框架。该理论在经济学、管理学和金融学等领域具有广泛应用。委托代理理论的核心在于研究委托人与代理人之间的契约关系。在这种关系中，委托人将某些任务或决策权委托给代理人，而代理人代表委托人执行这些任务。然而，由于信息不对称和利益不一致，代理人可能不会完全按照委托人的最佳利益行事，从而引发代理问题（Agency Problems）。在委托代理理论中，主要的模型包括激励模型和监控模型。激励模型通过设计合理的激励机制，使代理人的利益与委托人的目标相一致，例如绩效工资、奖金和股票期权等。监控模型则强调通过监督和控制手段，减少信息不对称和代理人的机会主义行为，例如内部审计和管理报告等。

零、静态委托代理理论的模型和框架

委托代理理论（Principal-Agent Theory）是经济学中的一个重要分支，主要研究委托人（Principal）与代理人（Agent）之间因信息不对称而产生的激励与合约问题。该理论的核心在于设计激励机制，使代理人在履行职责时能够与委托人的目标相一致，从而最小化因利益不一致和信息不对称带来的损失。

0.1 基本模型框架

委托代理模型一般由以下几个基本要素构成：
委托人（Principal）：需要某项任务完成或目标达成的主体，例如企业的股东或管理层。
代理人（Agent）：被委托执行任务或目标的主体，例如企业的管理者或员工。
任务与努力水平：代理人需要完成的任务，以及其在任务上投入的努力水平$e$。
信息不对称：委托人无法完全观察代理人的努力水平和能力，代理人对自身的努力和能力有更清晰的了解。
效用函数：委托人和代理人各自的效用函数，分别反映他们的目标与偏好。
假设委托人的效用函数为：$$ U_p = R(e) - w(e) $$
其中，$ R(e) $ 为代理人努力 $ e $ 带来的收益，$ w(e) $ 为代理人的报酬。
代理人的效用函数为：$$ U_a = w(e) - C(e) $$
其中，$ C(e) $ 是代理人努力的成本，通常假设为一个凸函数。

0.2激励相容性与参与约束

在设计合约时，委托人必须确保以下两个约束条件：

激励相容性约束（Incentive Compatibility Constraint）
激励相容性约束确保代理人会根据合约的设计选择最优努力水平 $e^*$。换言之，代理人在合约约定下的最优努力水平必须大于其他努力水平的收益：

\[U_a(e^*) \geq U_a(e') \quad \forall e' \neq e^* \]

这意味着代理人选择努力水平 $e^*$ 能获得的效用必须高于其他选择的效用，促使代理人愿意按照委托人的目标努力。
通过引入代理人的激励函数，委托人可以设定报酬 $ w(e) $，使得代理人在选择努力时最大化自己的效用，同时不违背委托人的目标。

参与约束（Participation Constraint）
参与约束确保代理人在接受合同时，所获得的效用不低于其保留效用。即代理人至少应获得一个最低的效用水平：

\[U_a(e^*) \geq U_a^{min} \]

其中，$U_a^{min}$ 是代理人接受合约的最低效用。例如，代理人的保留效用可能来源于另一项工作或状态。
确保参与约束的必要性在于，若代理人接受合约后所获得的效用低于其保留效用，他们将拒绝合约，导致委托人无法实现目标。

0.3 合约设计

在激励相容性和参与约束的基础上，委托人需要设计合约，以最大化其自身的效用：

\[\max_{w(e)} U_p = R(e) - w(e) \]

在此过程中，委托人必须通过适当的激励函数来平衡激励相容性和参与约束。例如，假设委托人设计的报酬函数为：

\[w(e) = b + \alpha R(e) \]

其中，$ b $ 为固定薪酬，$ \alpha $ 为与任务产出相关的激励系数。通过调整 $ \alpha $，委托人可以平衡代理人对不同努力水平的激励。

一、线性合约模型

这个委托代理模型是由经济学家 Michael Spence 和 Joseph Stiglitz 提出的，特别是在他们的研究中，涉及了信息不对称下的激励设计问题，是典型的静态委托代理模型。模型中的基本构成部分，如企业目标函数、工人目标函数、生产函数以及线性合约的设定，都反映了委托代理理论的核心思想，即通过设计激励机制来安排委托人和代理人之间的利益关系。
考虑一个由一个公司和一个工人组成的机构。设 $y$ 表示产出，$w$ 表示工资，$a$ 表示工人的努力(这是工人私下观察到的)，$c$ 是衡量工人努力成本的系数。

企业目标函数: $y−w$
工作人员的目标函数: $w-ca^{2}$
生产函数: $y=ka$
公司提供了一份 $w=s+by$ 形式的合同，其中$s$ 是固定工资(或底薪)组成部分，$b$ 衡量激励的强度，可以证明线性合约一定能达到最优，并且操作落地简单。
时机。公司提供合同，工人决定是否参与(如果不参与，他的外部选择是 $u_{0}$），员工选择工作，合同执行。

高效的工作水平
要计算有效努力，首先要计算总剩余TS。

\[TS= y-w + w-ca^{2} = y-ca^{2} \]

然后代入 $y=ka$和对$a$ 求一阶导数。

\[\frac{dTS}{da}=k-2ca \]

得到的有效努力水平是 $a=\frac{k}{2c}$ ——整体最优的努力水平
这时，
企业目标函数: $ka-s-bka$
工人目标函数: $s+bka-ca^{2}$
激励相容约束: $a =\frac{bk}{2c}$ ——工人的最优努力水平

注意，为了诱导员工付出努力，公司必须设置更强的激励$b$。比较上面的两个最优努力水平，只有b=1才能达到一样，这是集体理性和个人理性冲突所致，也是施加激励与约束的初衷，还请注意，$s$ 在提供努力激励方面不起作用。

参与约束可以写成: $s+bka-ca^{2}\geq u_{0}$
最优问题为：

\[\begin{aligned} &\max \quad ka - s - bka \\ &\text{Subject to:} \\ &\left\{ \begin{aligned} & a = \frac{bk}{2c} \\ & s + bka - ca^{2} = u_{0} \end{aligned} \right. \end{aligned} \]

激励约束	效用函数

左侧图片展示了激励约束（Incentive Compatibility，IC）和总效用（Total Surplus，TS）线。在委托代理理论中，IC线表示在代理人做出努力a的情况下，委托人支付的补偿$b$与代理人的努力$a$之间的关系。这条线表明，在激励兼容的条件下，代理人能够得到与其付出相符的回报。右侧图片展示了代理人的效用函数曲线。该曲线表示代理人在不同努力水平$a$下的效用值。曲线的顶点$a$表示代理人在该努力水平下获得最大效用。这说明在$a$这个努力水平，代理人可以实现最佳的利益平衡，从而获得最大效用。通过委托代理理论，我们可以理解，左侧图片的IC线和右侧图片的效用函数曲线结合起来，可以帮助设计出既满足委托人目标，又能激励代理人努力的契约或机制。

两个主要结果
最优线性激励方案所诱导的努力水平是有效的；
在这个最优合同中，工人的工资是固定的(可以是负的)，然后将全部产出留给他们自己。这类似于租赁合同。

二、委托代理的各种变形

2.1 Adding risk代理模型

在复杂金融市场和企业运营中，风险管理变得尤为重要。为了更好地识别、评估和应对各种潜在的风险，许多机构引入了风险代理模型（Risk Proxy Model）。风险代理模型是一种用来间接衡量风险的方法，通常通过代理变量（proxy variables）或替代指标来表示那些难以直接观察或测量的风险。风险代理模型通过使用代理变量来衡量和管理风险。代理变量是指那些与风险有相关性，但更容易获取和测量的数据。例如，市场波动性（如标准差或波动率）可以作为金融风险的代理变量，信用利差可以作为信用风险的代理变量。这些模型的基本假设是，虽然直接测量风险可能很困难，但可以通过这些代理变量有效地捕捉风险的变化。这样的方法具有较高的实用性，特别是在数据有限或直接风险度量昂贵的情况下。
考虑一个由一个公司和一个工人组成的机构。设$y$ 表示产出，$w$表示工资，$a$表示工人的努力(这是工人私下观察到的)，$c$是衡量工人努力成本的系数。

企业目标函数：$ y - w $
工作人员的目标函数：$ E(w) - \frac{1}{2}rVar(w) - ca^2 $
生产函数：$y = ka + \epsilon$，$\epsilon$ 是随机变量，$ E(\epsilon) = 0$
公司提供了一份 $ w = s + by $ 形式的合同，其中 $ s $ 是工资组成部分，$ b $ 衡量激励的强度。
时机。公司提供合同，工人决定是否参与（如果不参与，他的外部选择是 $ u_0 $）。员工选择工作。合同执行。

最优化问题为：

\[\begin{align*} \max \quad & ka - s - bka \\ \text{Subject to:} \quad & \begin{cases} a = \frac{bk}{2c} \\ s + bka - ca^2 - \frac{1}{2}rb^2 \text{Var}(\epsilon) \geq u_0 \end{cases} \end{align*} \]

最优解:

\[b = \frac{k^2}{k^2 + 2crVar(\epsilon)} \]

努力程度是没有效率的，在激励和保险之间进行权衡。风险代理模型作为一种间接衡量风险的方法，在金融市场、信用风险管理、保险业和企业运营中具有广泛的应用。虽然构建和应用风险代理模型面临诸多挑战，但通过合理选择代理变量、确保数据质量和模型的持续优化，这些模型可以显著提升风险管理的效果。随着技术的进步和数据科学的发展，风险代理模型的应用前景将更加广阔，为各类机构提供更强大的风险管理工具。

2.2 Multitasking代理模型

考虑一个由一个公司和一个工人组成的机构。设 $ y $ 表示产出，$ w $ 表示工资，$a_i$ 表示工人对待任务$i$的努力程度（这是工人私下观察到的），$ g_i $ 是衡量工人努力成本的系数。

企业目标函数：$ E(y - w) $
工作人员的目标函数：$ E(w) -\frac{1}{2} a_1^2 - \frac{1}{2} a_2^2 $
生产函数：$y = f_1 a_1 + f_2 a_2 + \epsilon_y$，$\epsilon_y$ 是随机变量，$E(\epsilon_y) = 0$，不能被观察。
Performance measure: $p = g_1 a_1 + g_2 a_2 + \epsilon_p$，$\epsilon_p$ 是随机变量，$E(\epsilon_p) = 0$，能被观察。
公司提供了一份 $ w = s + bp $ 形式的合同，其中 $ s $ 是工资组成部分，$ b $ 衡量激励的强度。
时机。公司提供合同，工人决定是否参与（如果不参与，他的外部选择是 $ u_0 $）。员工选择工作。合同执行。

要计算有效努力，计算总剩余:

\[E(y - w) - E(w) + E(w) -\frac{1}{2}a_1^2 - \frac{1}{2}a_2^2 = f_1 a_1 + f_2 a_2 - \frac{1}{2}a_1^2 - \frac{1}{2}a_2^2 \]

求一阶导数：

\[\frac{dTS}{da_i} = f_i - a_i = 0 \]

得到的有效努力水平是：

\[a_i = f_i \]

有效努力	最优激励

企业目标函数：$f_1 a_1 + f_2 a_2 - s - b \left( g_1 a_1 + g_2 a_2 \right)$
约束条件：$a_i = b g_i , i = 1, 2$

\[s + b \left( g_1 a_1 + g_2 a_2 \right) - \frac{1}{2} a_1^2 - \frac{1}{2} a_2^2 \geq u_0 \]

$ a^*$ 是企业在其激励约束下的最高等剩余曲线上的点。在这一点上，剩余曲线的斜率（或导数）和激励约束是相同的。
总剩余（Total Surplus, TS）为企业剩余和工人效用之和：

\[TS= f_1 a_1 + f_2 a_2 - \left( \frac{1}{2} a_1^2 + \frac{1}{2} a_2^2 \right) \]

将线性契约 $a_1 =b g_1 $ 和 $a_2 = bg_2 $代入：

\[TS = f_1 b g_1 + f_2 b g_2- \left( \frac{1}{2} \left( b g_1 \right)^2 + \frac{1}{2} \left(b g_2 \right)^2 \right) \]

对TS 取一阶导数并令其等于零：

\[\frac{d TS}{d b} = (f_1 g_1 + f_2 g_2) - b (g_1^2 + g_2^2) = 0 \]

解这个方程得最优激励系数$b$：

\[b=\frac{(f_1 g_1 + f_2 g_2)}{g_1^2 + g_2^2} \]

多任务代理模型揭示了在多任务环境下，如何通过合理的激励设计来引导员工行为，使其符合公司的整体利益。它强调了激励机制设计中的权衡，特别是当某些任务的产出难以观测或衡量时，如何通过可观测的绩效指标来间接激励员工。多任务代理模型为理解和设计有效的组织激励机制提供了理论基础。它强调了在设计合同时需要考虑任务之间的权衡、努力的可观测性以及激励的强度。通过这种模型，公司可以更好地理解如何通过激励机制来提高员工的工作效率和整体组织绩效。

三、动态委托代理模型

动态代理模型旨在分析委托人（principal）与代理人（agent）之间的长期博弈关系，特别是如何设计激励机制以解决信息不对称和利益不一致的问题。与静态模型不同，动态代理模型考虑了时间因素，使得激励机制能够随着时间的推移进行调整。

3.1 动态模型的基本假设

时间框架：假设模型在多个时期 $ t=1,2,…,T $ 内运行。
效用函数：委托人和代理人在每个时期的效用函数分别为：
- 委托人效用：$ U_p^t = R^t - w^t $
- 代理人效用：$ U_a^t = w^t - C(e^t) $
努力水平的影响：代理人在第 $ t $ 期的努力水平 $ e^t $ 会影响第 $ t $ 期的收益 $ R^t $。
努力的持续性：代理人的努力可能对后期的收益产生影响，即 $ R^{t+1} = f(e^t) $。
信息更新：委托人可以在每个时期获得关于代理人努力的部分信息，从而逐步调整激励机制。

3.2 动态模型的建模过程

确定委托人与代理人的目标

委托人的目标是最大化其总体效用：

\[\max \sum_{t=1}^{T} \beta^{t-1} U_p^t = \max \sum_{t=1}^{T} \beta^{t-1} (R^t - w^t) \]

其中 $ \beta $ 是折现因子，反映未来效用的现值。

代理人的目标是最大化其总体效用：

\[\max \sum_{t=1}^{T} \beta^{t-1} U_a^t = \max \sum_{t=1}^{T} \beta^{t-1} (w^t - C(e^t)) \]

建立动态激励机制

动态激励机制可以通过以下方式设计：

合约形式：在每个时期设计一个合约，规定代理人基于其努力水平 $ e^t $ 得到的报酬 $ w^t $。
收益函数：假设收益函数为 $ R^t = R(e^t) $，并且设定 $ R(e^t) $ 是一个单调递增的函数，以反映努力与收益之间的正相关关系。

基于以上假设，委托人需要选择合适的激励机制 $ w^t(et) $ 以激励代理人提供足够的努力水平。

代理人的最优努力选择

代理人根据所得到的报酬和努力的成本选择其努力水平 $ e^t $。代理人的最优选择条件为：

\[\frac{\partial U_a^t}{\partial e^t} = 0 \implies \frac{\partial w^t}{\partial e^t} - C'(e^t) = 0 \]

这表明，代理人会根据其报酬的边际变化和努力的边际成本来决定努力水平。

契约约束与激励兼容条件

在动态模型中，还需要确保激励机制满足契约约束与激励兼容条件：

契约约束：确保代理人至少获得其保留效用，即 $ U_a^t \geq U_a^{min} $，其中 $ U_a^{min} $ 是代理人接受合同的最低效用。
激励兼容性：确保代理人在选择其最优努力水平时能够遵循合同条件。换言之，若合同设计为 $ w^t(et) $，则需要：
\[w^t(e^t) \geq w^t(e') \quad \forall e' \neq e^t \]

动态优化与贝尔曼方程

动态代理模型通常可以通过动态规划方法来求解，使用贝尔曼方程进行优化。设定贝尔曼函数 $ V^t $ 表示在时期 $ t $ 的最大效用：

\[V^t = \max_{w^t} \left( U_p^t + \beta V^{t+1} \right) \]

通过求解该方程，可以找到最优激励机制和努力水平。

动态代理模型的应用

动态代理模型可以应用于公司治理中的长期激励机制设计。例如，企业管理层的薪酬结构通常包括基本工资和基于绩效的奖金。企业可以根据管理层的历史绩效和未来预期来设计薪酬方案，以确保管理层在长期内最大化企业价值。通过不断调整薪酬机制，企业能够有效激励管理层关注短期和长期目标，同时在信息不对称的情况下，降低代理问题带来的负面影响。

四、练习案例

已知代理人的效用函数为 $ u(x) = -e^{-rx} $，努力成本函数为 $ C(\alpha) = \frac{1}{2}\alpha^2 $。若工资函数为 $ w = s + by = s + bk\alpha + b\varepsilon $，证明最优线性契约中的激励系数 $ b^* $ 必满足：

\[b^* = \frac{k^2}{k^2 + r\sigma^2} \]

求解过程

基本设定

代理人效用函数：

\[u(x) = -e^{-rx} \]

其中 $ r > 0 $ 为风险厌恶系数。

努力成本函数：

\[C(\alpha) = \frac{1}{2}\alpha^2 \]

工资函数：

\[w = s + by = s + bk\alpha + b\varepsilon \]

其中 $y = k\alpha + \varepsilon$，$\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$。

代理人期望效用

代理人的期望效用为：

\[Eu(w) = \exp\left\{ s + bk\alpha - \frac{r b^2 \sigma^2}{2} \right\} \]

说明：
由正态分布特性，随机项 $ b\varepsilon $ 的均值为 0，方差为 $ b^2\sigma2 $，且指数效用下期望可简化为上述形式。

代理人的最优努力水平

代理人选择努力水平 $ \alpha $ 以最大化净效用：

\[\max_{\alpha} \left[ s + bk\alpha - \frac{rb^2\sigma^2}{2} - \frac{1}{2}\alpha^2 \right] \]

对 $ \alpha $ 一阶导数求解最优条件：

\[bk - \alpha = 0 \implies \alpha^* = bk \]

代理人个体理性约束

将 $ \alpha^* = bk $ 代入效用函数：

\[s + \frac{b^2}{2}(k^2 - r\sigma^2) \ge 0 \]

此为代理人参与约束。

委托人目标函数

委托人的收益为：

\[(1-b)k\alpha = (1-b)k(bk) = (1-b)k^2 b \]

需在满足代理人参与约束的条件下，最大化委托人收益：

\[\max_{b,s} (1-b)k^2 b - s \]

结合约束条件：