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摘要： 共轭梯度法是共轭方向法里最常用的一种。它用相邻两点的梯度差代替海塞矩阵，在新点的负梯度方向上作一次修正，就得到与上一步共轭的新方向，既保留维数步收敛的性质，又不必计算和存储海塞矩阵。本文从共轭方向与梯度的关系讲起，推出共轭系数的表达式，给出迭代步骤与程序框图，并用二元二次函数完整算两步，附可运行的 C++ 程序。 阅读全文

摘要： 本文介绍无约束优化中的共轭方向法。针对坐标轮换法和最速下降法收敛慢、路径呈锯齿形的问题，从二元二次函数入手，说明共轭方向为什么能让二次函数在不超过维数的步数内到达极小点。文章给出共轭向量的定义、性质、平行搜索构造方法和迭代步骤，并配有程序框图；以标准二元函数为例，三次一维搜索即到达最优解，并附完整 C++ 代码。 阅读全文

摘要： 坐标轮换法每轮依次沿各坐标轴方向作一维搜索，把多维问题化为一系列一维问题，不需要梯度信息。文章以标准二元二次函数为例完整演算前两轮，给出 8 轮迭代表，收敛到 (3.992188, 1.996094)，并配程序框图、效能图与可运行 C++ 代码，最后分析该方法在斜置椭圆与脊线情形下的局限。 阅读全文

摘要： 本文详细介绍多元函数无约束优化中的修正牛顿法。针对Hessian矩阵不正定、牛顿方向可能不再下降的问题，该方法将Hessian修正为H+λI使其正定（λ从0开始倍增），保证方向恒为下降方向。文章以一道“切线点”例题切入，展示为何标准牛顿法与阻尼牛顿法均无能为力，并通过完整C++代码与手算过程展示修正牛顿法两步收敛到全局极小。文末对比三种牛顿型方法的适用场景。 阅读全文

摘要： 本文详细介绍多元函数无约束优化中的牛顿法与阻尼牛顿法。该方法利用目标函数的二阶导数信息（Hessian矩阵）构造二次近似，通过求解线性方程组确定搜索方向，具有二阶收敛速度。文章系统阐述了Hessian矩阵的性质、牛顿法的迭代公式及其几何意义，并通过手算实例展示了二次函数一步收敛的特性。针对标准牛顿法的局限性，引入阻尼牛顿法通过一维搜索确定最优步长，提高了算法的全局收敛性与稳定性。 阅读全文

摘要： 本文详细介绍多元函数无约束优化中的最速下降法（又称梯度法）。该方法以负梯度方向为搜索方向，结合一维搜索确定最优步长逐步逼近极小值。文章系统阐述了其原理、几何性质（锯齿形路径）与收敛特性，并通过二元二次凸函数的手算实例与完整的C++代码实现，直观展示了算法流程。该方法原理简单、计算量小，是众多高级优化算法的重要基础。 阅读全文

摘要： 本文详细介绍了一维搜索的两种简单方法：格点法与平分法。格点法通过将区间等分并比较各分点函数值来逐步缩小区间，实现简单但计算量较大；平分法利用导数符号（或差分近似）判断极值点位置，每次迭代将区间缩减一半，收敛速度稳定。两种方法均思路简单、无需复杂推导，结合进退法确定初始区间后，可有效求解一维单谷函数的极小值。 阅读全文

摘要： 本文详细介绍了一维搜索的插值方法中的二次插值法。该方法利用已知点函数值构造二次多项式近似原函数，通过计算插值极小点并比较函数值进行区间缩放，利用函数的解析信息保证较快的收敛速度，通过进退法确定初始区间后，可高效求解一维单谷函数的极小值。 阅读全文

摘要： 前文得到了魔表的 30 操作通解公式，包含 16 个自由变量。本文将其转化为 ℓ0 稀疏优化问题，用 Google OR-Tools CP-SAT 约束求解器求全局最优解。对一万个随机状态求解，100% 证得全局最优，步数分布与 cube20.org 穷举结果在 0.5% 精度内完全吻合。两种操作模型殊途同归，上帝数为 12。 阅读全文

摘要： 本文基于第五篇建立的 14×30 简化矩阵，直接在 Z₁₂ 上完成高斯消元求解。14 个主元全是自逆元，无需中国剩余定理。将消元过程封装为预变换 E·M·P = R，得到含 16 个自由变量的通解公式，用该公式计算出的特解最多 14 步即可复原魔表。 阅读全文

摘要： 本文对前文生成的 18×64 操作矩阵 A 进行系统分析。发现 P/Q 联动规律使 64 种操作去重为 30 种；角部指针与拨轮存在固定驱动关系；18 维状态空间中 14 维可控、4 维由不变量锁死。利用 P/Q 联动进一步将 6 个原型简化为 5 个。所有数学规律均与魔表机械传动结构一一印证。 阅读全文

摘要： 在前三篇中，我们利用魔表的旋转、对角镜像和正反互补三种对称性，将 64 种基本操作压缩为 6 个原型向量。本文把这些数学结论落地为代码：先按原型与补集交替排列 16 组按钮集，定义列排列约定；再将每种操作的效果向量填入完整的 18 × 64 矩阵 A。 阅读全文

摘要： 在上一篇文章的线性模型中，需要手动标定 64 种基本操作的效果向量。本文通过探究魔表的内在对称性，证明只需标定 6 个原型操作即可推导出全部 64 种。文章逐一分析了三种对称性，每种对称性都给出了严格的数学定义，并通过实测验证了其正确性。最终结论是：64 种操作可由 6 个原型操作经对称变换生成，为下一篇建立精简的对称数学模型奠定了基础。 阅读全文

摘要： 本文在前一篇的基础上，建立了魔表的完整数学模型。文章定义了状态向量和 64 种基本操作的效果向量，将魔表的求解问题转化为一个模 12 线性方程组，并讨论了如何标定一个关键的 18 × 64 的效果矩阵，简单介绍了求解模 12 线性方程组的两种思路（Smith 标准型和 CRT 拆分）。最后反思了这种方法的不足，引出利用对称性来简化工作量的策略。 阅读全文