softmax求导的过程
(图出自李宏毅老师的PPT)
对机器学习/深度学习有所了解的同学肯定不会对 softmax
陌生,它时而出现在多分类中用于得到每个类别的概率,时而出现在二分类中用于得到正样本的概率(当然,这个时候 softmax
以 sigmoid
的形式出现)。
1. 从 sigmoid
到 softmax
sigmoid
出现的频率在机器学习/深度学习中不可谓不高,从 logistic 回归到深度学习中的激活函数。先来看一下它的形式:
我们把它的图像画一下:
import numpy as np
imort matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-5, -5, 0.05)
z = x / (1 + np.exp(-x))
plt.plot(x, z)
plt.show()
显然,sigmoid
将实数域的值压缩到了 (0,1)(0,1) 之间。那么在二分类中又是怎么用的呢?以 logistic 回归为例。在逻辑回归中通常假设样本的类别呈现为伯努利分布,即:
且有 p1+p0=1。用逻辑回归解决二分类问题时,我们用建模的时样本为正样本的概率(根据伯努利分布,为负样本的概率显而易见):将逻辑回归得到的回归值输入到 sigmoid
中就得到了 p1,即:
其中 f 即是一个回归函数。那么 sigmoid
又与 softmax
有什么关系呢?先来看一下 softmax
的定义:
显然,softmax
是一个向量的函数,正如本文开头的图示一样。softmax
将一个向量中的值进行了归一化,我们在多分类中常将其视作样本属于不同类别的概率值。我们将设有一个二分类模型,其输出是一个向量 z∈R2,其中 z0,z1 分别是样本属于类别 0, 1 的未归一化的值。如果我们用 softmax 得到类别概率,则:
p0,p1 即是样本分别属于 0, 1 的概率,我们对其进行以下变形:
其中 Δ=z1−z0,同理可得 p0=1eΔ+1。回想到逻辑回归是对样本属于 1 概率进行建模,那么 Δ 就是逻辑回归进入 sigmoid
之前的预测值,这里我们来看看 Δ 到底是什么:
由上可知,逻辑回归是对样本为 1 和 为 0 的概率的比值(几率)的对数(对数几率)进行回归。所以说逻辑回归也是一种回归,只不过回归的是样本的对数几率,得到了对数几率后再来得到样本属于类别 1 的概率。
再说回 sigmoid
和 softmax
的关系,其实从上面的的世子我们也看出来了其实 sigmoid
只是 softmax
的一种情况,sigmoid
隐式地包含了另一个元素地 softmax
值。在对分类任务进行建模时,我们通常将二分类任务中的一个类别进行建模,假设其服从伯努利分布;或者建模为二项分布,分别建模样本属于每个类别地概率(即 z 中的每一位表示样本为对应类别的对数几率,softmax(z) 中的每一位表示样本为对应类别的概率)。
2. softmax
损失的求导
在多分类任务中,我们通常使用对数损失(在二分类中就是交叉熵损失):
其中,N,C 分别为样本数和类别数,yij∈{0,1} 表示样本 xi 是否属于类别 j,ˆyij 表示对应的预测概率。在多分类中,概率值通常通过 softmax
获得,即:
这里我们只考虑一个样本的损失,即:
好了,开始重头戏,求多分类对数损失对 zk 的偏导:
到这里其实以及很简单了,只需要算出 ∂ˆyj∂zk 就行了,那就来吧:
其中 ∑=∑Cc=1ezc,其中 ∂ezj∂zk 需要分情况讨论一下:
因此,
看起来有点复杂,我们来化简以下:
收工了吗?不!我们的目的是求 ∂l∂zk:
别看求起来有一点复杂,但是最后的结果还是很优雅的嘛:预测值 - 真实值
。
这里有几个要注意的点:
- 上式第二部中依据 j 是否等于 k 将求和分成了两部分;
- 上式的倒数第二步中,利用了多分类的目标中只有一个为 1,即 ∑jyj=1.
以上!
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