求逆元基本方法

乘法逆元小结

乘法逆元，一般用于求

$\frac{a}{b} \pmod p$

的值（$p$ 通常为质数），是解决模意义下分数数值的必要手段。

一、逆元定义

若$a*x\equiv1 \pmod b$，且$a$与$b$互质，那么我们就能定义: $x$ 为 $a$ 的逆元，记为$a^{-1}$，所以我们也可以称 $x$ 为 $a$ 在$\mod b$意义下的倒数，

所以对于 $\displaystyle\frac{a}{b} \pmod p$ ，我们就可以求出 $b$ 在 $\bmod p$ 下的逆元，然后乘上 $a$ ，再 $\bmod p$，就是这个分数的值了。

二、求解逆元的方式

1.拓展欧几里得

条件 $a \bot p$（互质），但 $p$ 不是质数的时候也可以使用。

这个方法十分容易理解，而且对于单个查找效率似乎也还不错，比后面要介绍的大部分方法都要快(尤其对于 $\bmod p$ 比较大的时候)。

这个就是利用拓欧求解 线性同余方程 $a*x\equiv c\pmod{b}$ 的$c=1$的情况。我们就可以转化为解 $a*x + b*y = 1$ 这个方程。

引理：$ax+by=c$有解的充分条件是$\gcd(a,b)\mid c$

所以$ax+by=gcd(a,b)①$显然有解

引理：$gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)②$

将$①$代入$②$得

$ax_1+by_1=bx_2+(a mod b)y_2$
$ax_1+by_1=bx_2+(a-[\frac{a}{b}]*b)y_2$
$ax_1+by_1=bx_2+ay-[\frac{a}{b}]*by_2$
$ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-[\frac{a}{b}])$

$∴x_1=y_2,y_1=x_2-[\frac{a}{b}]y$

$∵a\bot b$

$∴gcd(a,b)=1$

$∴当b=0时，a=1，此时有x=1，y的最小自然数解为0$

 

代码比较简单：

void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) x = 1, y = 0;
    else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
int main() {
    ll x, y;
    Exgcd (a, p, x, y);
    x = (x % p + p) % p;
    printf ("%d\n", x); //x是a在mod p下的逆元
}

2.小费尔马定理（快速幂）

费马小定理：

若$p$为素数，$a$为正整数，且$a$、$p$互质。 则有$a^{p-1} \equiv 1 (\bmod p)$。

这个我们就可以发现它这个式子右边刚好为 $1$ 。

所以我们就可以放入原式，就可以得到：

$a*x\equiv 1 \pmod p$

$a*x\equiv a^{p-1} \pmod p$

$x \equiv a^{p-2} \pmod p$

所以我们可以用快速幂来算出 $a^{p-2} \pmod p$的值，这个数就是它的逆元了

代码也很简单：

ll fpm(ll x, ll power, ll mod) {
    x %= mod;
    ll ans = 1;
    for (; power; power >>= 1, (x *= x) %= mod)
        if(power & 1) (ans *= x) %= mod;
    return ans;
}
int main() {
    ll x = fpm(a, p - 2, p); //x为a在mod p意义下的逆元
}

 

3.线性推逆元

用于求一连串数字对于一个$\bmod p$的逆元。洛谷P3811

只能用这种方法，别的算法都比这些要求一串要慢。

首先我们有一个,$1^{-1}\equiv 1 \pmod p$

然后设 $p=k*i+r,(1<r<i<p)$ 也就是 $k$ 是 $p / i$ 的商，$r$ 是余数 。

再将这个式子放到$\pmod p$意义下就会得到：

$k*i+r \equiv 0 \pmod p$

然后乘上$i^{-1}$,$r^{-1}$就可以得到:

$k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0 \pmod p$

$i^{-1}\equiv -k*r^{-1} \pmod p$

$i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor*(p \bmod i)^{-1} \pmod p$

于是，我们就可以从前面推出当前的逆元了。

代码也很短：

inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < p; ++ i)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;

 

4.阶乘逆元 $O(n)$ 求

因为有如下一个递推关系。

$\displaystyle inv[i+1]=\frac{1}{(i+1)!}$

$\displaystyle inv[i+1]*(i+1)=\frac{1}{i!}=inv[i]$

所以我们可以求出$n!$的逆元，然后逆推，就可以求出$1...n!$所有的逆元了。

递推式为

$inv[i+1]*(i+1)=inv[i]$

所以我们可以求出 $\displaystyle \forall i, i!,\frac{1}{i!}$ 的取值了。

然后这个也可以导出 $\displaystyle \frac{1}{i} \pmod p$ 的取值，也就是

$\displaystyle \frac{1}{i!} \times(i-1)!=\frac{1}{i} \pmod p$

如果我们需要求 $0!$ 到 $n!$ 的逆元，对于每个元素都求一遍，就显得有点慢。

逆元可以看作是求倒数。那么不就有 

$\displaystyle \frac{1}{(n+1)!} \times(n+1)=\frac{1}{n!} \pmod p$

int inv( int b, int p ) {
    int a, k;
    exPower( b, p, a, k );
    if( a < 0 ) a += p;
    return a;
}
void init( int n ) {
    Fact[ 0 ] = 1;
    for( int i = 1; i <= n; ++i ) Fact[ i ] = Fact[ i - 1 ] * i % Mod;
    INV[ n ] = inv( Fact[ n ], Mod );
    for( int i = n - 1; i >= 0; --i ) INV[ i ] = INV[ i + 1 ] * ( i + 1 ) % Mod;
    return;
}

 

三、不存在逆元

当$\gcd(a,p)!=1$时，$a^{-1}\equiv 0\mod p$

当数和模数不互质时，不存在逆元，做题时要特判没有逆元的情况。