MBD笔记：基于滑模控制的PMSM矢量控制

基于滑模控制PMSM矢量控制
参考

基于滑模控制PMSM矢量控制

为什么要提出滑模控制？

目前，三相永磁调速矢量控制系统的速度控制器广泛采用传统的PI调节器.

优点：方法简单，可靠性高，参数整定方便；
缺点：控制系统受到外界扰动或电机参数变化时，传统PI控制方法不能满足实际需求.

而滑模控制对扰动和参数不敏感，响应速度快.

传统滑模控制

基本原理

滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）：变结构控制系统的一种控制策略. 与常规控制的根本区别：控制的不连续性，即一种使系统结构随时间变化的开关特性. 这种特性可以使系统在一定的条件下，沿规定的状态轨迹做小幅度、高频率的上下运动（即“滑动膜态”）. 这种滑动膜态可设计，且与系统的参数、扰动无关. 因此，系统具有很强的鲁棒性.

缺点：存在高频振荡.

下面给出定义.

一般情况下的非线性系统：

\[\begin{equation} \dot{x} = f(x, u, t) \tag{1} \end{equation} \]

其中：$x \in R^n$, $u \in R^m$ 分别为系统的状态和控制变量.

注：$x$头上加个点，表示该变量对时间 $t$ 的一阶导数，即变化率.

需要确定滑模面函数：

\[s(x,t), s\in R^m \tag{2} \]

注：滑模面是我们自行设计的，与系统状态变量有关，与系统参数、扰动无关.

求解控制器函数：

\[\begin{equation} u_i(x, t) = \begin{cases} u_i^+(x, t), & s_i(x, t) > 0 \\ u_i^-(x, t), & s_i(x, t) < 0 \end{cases}, \quad i = 1, 2, \dots, m \tag{3} \end{equation} \]

其中：$u_i^+(x, t) \neq u_i^-(x, t)$，使得：

1）滑动膜态存在；
2）满足可达性条件，在滑模面 $s(x, t) = 0$ 以外的运动点都将在有限时间内到达滑模面，即 $s \dot{s} < 0$；
3）保证滑模运动的稳定性；
4）达到控制系统的动态品质要求；

前3点是滑模控制的3个基本问题，只有满足了这3点的控制才被称为滑模控制.

关于s的几个概念：

$s$：滑模变量，当前状态点距离滑模面的偏差值，相当于误差距离（可正可负）；
$s = 0$：目标平面，即滑模面本身；
$|s|$：当前系统状态点到滑模面 $s = 0$ 的距离（s的绝对值）.

如下图，直线是规定的滑模面，滑模面控制系统的运动由两部分组成（曲线ABC）：
1）AB，趋近阶段（到达滑模面之前）；
2）BC，滑模滑动阶段（贴合滑模面之后），在滑模面附近，并沿着滑模面$s(x,t)=0$运动.

趋近阶段，必须满足滑动模态的可达性条件 $s \dot{s} < 0$，才能实现系统的状态空间变量由任意未知的初始状态在有限时间内到达滑模面. 因此，可涉及各种趋近律函数来保证该阶段品质.

常用趋近律：

1）等速趋近律

\[\dot{s} = -\varepsilon \operatorname{sgn}(s), \quad \varepsilon > 0 \tag{4} \]

其中，$ε>0$ 是等速趋近律的趋近速度常数，人为设定的参数；$\operatorname{sgn}(s)$ 是符号函数

\[\operatorname{sgn}(s) = \begin{cases} 1, & s > 0 \\ 0, & s = 0 \\ -1, & s < 0 \end{cases} \]

s变化规律：

当 s > 0：$\operatorname{sgn}(s) = 1, \dot{s} = -\varepsilon$，滑模函数s以固定速率 $\varepsilon$ 减小；
当 s < 0：$\operatorname{sgn}(s) = -1, \dot{s} = +\varepsilon$，滑模函数s以固定速率 $\varepsilon$ 增大；

2）指数趋近律

\[\dot{s} = -\varepsilon \operatorname{sgn}(s) - qs, \quad \varepsilon, q > 0 \tag{5} \]

其中，$\varepsilon, q$ 都是人为设定的常数；
$-\varepsilon \operatorname{sgn}(s)$：等速趋近项，$-qs$ 指数收敛项.

s变化规律：

快速趋近阶段：当系统状态远离滑模面（即$|s|$ 较大）时，系统离滑模面 $s=0$ 很远，指数项 $- qs$ 起主导作用. 其绝对值随 $|s|$ 增大而增大，从而提供一个较大的“拉力”，使系统状态以较快的速度向滑模面 $s=0$ 靠近. 保证了系统在大误差或大扰动下能迅速响应.
精细调节阶段：当系统状态接近滑模面（即$|s|$ 较小）时，等速项 $-\varepsilon \operatorname{sgn}(s)$ 起主要作用. 该项提供一个恒定的、方向指向滑模面的“推力”，确保系统即使在 $s$ 很小时也能持续向零点移动，避免了单纯指数趋近可能导致的渐近收敛（即无限接近但永不真正到达）问题，从而保证系统在有限时间内到达滑模面

s 的变化，是从快速收敛到精细调节的过程，最终目标是使系统在有限时间内稳定地到达并保持在滑模面上，实现理想的滑动模态控制.

3）幂次趋近律

\[\dot{s} = -q |s|^a \operatorname{sgn}(s), \quad q > 0,\ 1 > a > 0 \tag{6} \]

其中，$|s|$ 代表当前状态到滑模面的距离.

s变化规律：

当s>0：$\operatorname{sgn}(s)=1$，此时$\dot{s}=-q|s|^a=-qs^a < 0$，$s$随着时间逐渐减小，向着0的方向变化，趋近速度正比于距离$|s|$的a次幂；
当s<0：$\operatorname{sgn}(s)=-1$，此时$\dot{s}=q|s|^a>0$，$s$随着时间逐渐增大，向着0的方向变化，趋近速度正比于距离$|s|$的a次幂；
当s=0：$\dot{s}=0$，系统处于平衡点（滑模面上）.

4）一般趋近律

\[\dot{s} = -\varepsilon \operatorname{sgn}(s) - f(s), \varepsilon > 0 \tag{7} \]

其中，$f(s)$ 是与被控变量有关的表达式.

s变化规律：

运动方向：不论$s$正还是负，$\dot{s}$方向始终与$s$相反，确保系统状态被“拉向”滑模面$s=0$.
趋近速度：由2部分组成
- 等速项$-\varepsilon \operatorname{sgn}(s)$：提供一个恒定、指向滑模面的“推力”，保证系统在任何位置都能持续靠近滑模面；
- 非线性项$ -f(s)$：通常设计为与$|s|$相关的函数（如$f(s) = k|s|^a \operatorname{sgn}(s)$），用于调节趋近速度. 当$|s|$较大时，该项可提供较大的趋近力，加快响应；当$|s|$较小时，该项减小，有助于抑制抖振.

在趋近运动阶段，由于系统误差不能被直接控制，而系统响应又会受到内部参数变化、外部扰动影响，因此，设计趋近律时，必须尽量缩短趋近运动阶段的时间.

$运动模态 = 趋近模态 + 滑动模态$

趋近模态，是滑膜控制系统在连续控制作用下的运行阶段，其运行轨迹位于滑模切面之外，或者有限次地穿越滑模切换面；
滑动模态，是控制系统在滑模切换面附近且沿着切换面向平衡点运动的阶段.

一般地，滑模控制只考虑能趋近滑模面并满足稳定性条件，并不能反映以何种方式趋近滑模面. 趋近律控制方法，可以保证趋近运动的动态品质.

以(8) 所示典型系统（状态方程）为例，对指数趋近律分析研究：

\[\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}u \tag{8} \]

说明：(8) 是线性定常连续状态空间系统（LTI）的标准状态空间表达式.

其中，

$\boldsymbol{x}$：n维状态向量（电机控制里一般是转速、电流、转子角度等状态）
$\dot{\boldsymbol{x}}$：状态向量的一阶导数
$\boldsymbol{A}$：$n\times n$ 系统状态矩阵，描述系统自身动态
$\boldsymbol{B}$：$n\times 1$ 输入矩阵，控制输入 $u$ 的耦合系数
$u$：单路控制输入（滑模控制器输出，如$i_q^*, u_q$）

问题：在PMSM应用中，系统状态变量指什么？

答：如果将PMSM的dq轴动态写成(8)所示状态方程：
对于转速环，状态 $\dot{\boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix}\omega\\ \int e dt\end{bmatrix}$，输入 $u=i_q^*$；
对于电流环，状态 $\dot{\boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix}i_d\\ i_q \end{bmatrix}$，输入 $u = \begin{bmatrix} u_d\\ u_q \end{bmatrix}$.

基于指数趋近律滑模面控制器设计步骤：

1）定义系统的滑模面函数

\[s = \boldsymbol{C}\boldsymbol{x} \tag{9} \]

其中，$\boldsymbol{C}$ 是滑模面增益矩阵（Switching Surface Gain Matrix），也称为反馈系数向量；$\boldsymbol{x}$ 是矩阵变量，通过一组值代表系统状态.

注：定义成线性，方便使用.

2）选择趋近律

选择不同趋近律，所得结果不同. 通常，我们对线性系统采用指数趋近律，参见(5)

\[\dot{s} = -\varepsilon \operatorname{sgn}(s) - qs , \varepsilon, q > 0 \]

3）滑模控制器设计

也就是对滑模面求导.

\[\dot{s} = \boldsymbol{C} \dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}u) = -\varepsilon \operatorname{sgn}(s) - qs , \varepsilon, q > 0\tag{10} \]

由(8)(10)，可求出控制器$u$：

\[\begin{aligned} u& = (\boldsymbol{C}\boldsymbol{B})^{-1}[\boldsymbol{C} \dot{\boldsymbol{x}} - \boldsymbol{C}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}] \\ &= (\boldsymbol{C}\boldsymbol{B})^{-1}[-\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} - \varepsilon \operatorname{sgn}(s) - qs] \tag{11} \end{aligned} \]

传统滑模转速控制器设计

以表贴式PSMM（SPMSM）电机为例，设计滑模转速控制器：

1）建立d-q坐标系数学模型：

\[\begin{cases} u_d = R i_d + L_s \dfrac{di_d}{dt} - p_n \omega_m L_s i_q \\ u_q = R i_q + L_s \dfrac{di_q}{dt} + p_n \omega_m L_s i_d + p_n \omega_m \psi_f \\ J \dfrac{d\omega_m}{dt} = \dfrac{3}{2} p_n \psi_f i_q - T_L \end{cases} \tag{12} \]

其中，$L_s$ 为定子电感.

对SPMSM 采用 $i_d = 0$ 控制，(12)可变换为：

\[\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}i_q}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{L_s} (-R i_q - p_n \psi_f \omega_m + u_q) \\[10pt] \dfrac{\mathrm{d}\omega_m}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{J} \left( -T_L + \dfrac{3 p_n \psi_f}{2} i_q \right) \end{cases} \tag{13} \]

2）定义PMSM系统状态变量：

\[\begin{cases} x_1 = \omega_{\text{ref}} - \omega_m \\ x_2 = \dot{x}_1 = -\dot{\omega}_m \end{cases} \tag{14} \]

其中，$\omega_{\text{ref}}$ 电机参考转速，通常为常量；$\omega_m$ 实际转速.

对(14)两边求导，由(13)知，

\[\begin{cases} \dot{x}_1 = -\dot{\omega}_m = \dfrac{1}{J} \left( T_L - \dfrac{3 p_n \psi_f}{2} i_q \right) \\ \dot{x}_2 = -\ddot{\omega}_m = -\dfrac{3 p_n \psi_f}{2J} \dot{i_q} \end{cases} \tag{15} \]

定义参数 $u = \dot{i_q}, \quad D = \frac{3 p_n \psi_f}{2J}$，则 (15) 可变换为：

\[\begin{cases} \dot{x}_1 = \dfrac{T_L}{J} - D i_q = - Du\\ \dot{x}_2 = -Di_q = -Du \end{cases} \tag{16} \]

为什么$\dot{x}_1$求解过程消去了 $\frac{T_L}{J}$ 项?

因为负载转矩 $T_L$ 是机械运动引起的变化，而$i_q$ 是电气变化，对其求微分，$\frac{dT_L}{dt} \ll \frac{di_q}{dt}$，因此 $\frac{T_L}{J}$ 项对t求微分，可看作0，即$\frac{d}{dt}(\frac{T_L}{J}) = 0$

(16)写成矩阵形式：

\[\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -D \end{bmatrix} u \tag{16-2} \]

3）定义滑模面函数

\[s = cx_1 + x_2 \tag{17} \]

其中，$c > 0$ 为设计参数.

问题：为什么不是$s = c_1x_1 + c_2x_2$？

因为$x_2$的导数$\dot{x_2} = -\dfrac{3 p_n \psi_f}{2J} \dot{i_q}$ 与控制器有关，含有所需电气量参数，没有必要再增加一个$c_2$. 而定义为 $s = cx_1 + x_2$ 能方便控制器设计.

对(17) 求导，

\[\dot{s} = c\dot{x}_1 + \dot{x}_2 = cx_2 + \dot{x}_2 = cx_2 - Du \tag{18} \]

4）转速滑模控制器设计

我们采用指数趋近律（参见式(5)），能得到控制器表达式：

\[\begin{aligned} u &= \dfrac{1}{D}[cx_2 - \dot{s}] \\ &= \dfrac{1}{D}[cx_2 + \varepsilon sgn(s) + qs] \tag{19} = \dot{i_q} \end{aligned} \]

(19)两边对时间$t$求积分，可得q轴参考电流$i_q^*$，

\[i_q^* = \int_0^t \dot{i_q}d\tau = \frac{1}{D}\int_0^t [cx_2 + \varepsilon sgn(s) + qs] d\tau \tag{20} \]

各参数对转速响应特性分析

滑模面增益 C（误差权重系数）

决定系统对转速误差的敏感度. $s = C \cdot e + \dot{e}$，C越大，误差在滑模变量s中权重越高，系统“拉回”目标值能力越强.

如果C过大，那么启动误差大，控制器输出转矩大，可能引发超调；
如果C过小，那么抗扰动能力弱，负载突变时转速跌落大、恢复慢.

趋近律增益 q（非线性切换项系数）

驱动系统状态快速到达滑模面. q 越大，趋近速度越快，但抖振越严重.

如果q 过大，导致高频抖振（波形毛刺），并可能加剧启动超调；
如果q 过小，趋近速度慢，动态响应差.

切换项增益 miu（线性/等速项系数）

提供持续的“拉力”，帮助系统克服摩擦、维持稳态精度，对抖振抑制有辅助作用.

如果miu 过小，稳态精度差，易受扰动影响；
如果miu 过大，可能引入额外抖振，但对启动超调影响较小.

改进滑膜控制器设计

传统滑模控制器设计

参见式(5)(20)

\[\dot{s} = -\varepsilon \operatorname{sgn}(s) - qs, \quad \varepsilon, q > 0 \\ i_q^* = \frac{1}{D}\int_0^t [cx_2 + \varepsilon sgn(s) + qs] d\tau \]

传统指数趋近律，通过调整趋近律参数 $\varepsilon,q$，既可以保证滑动模态到达过程的动态品质，又能减弱控制信号的高频抖振问题，但较大的$\varepsilon$ 值会导致抖振现象.

改进型指数趋近律

提出一种改进型指数趋近律方法：

\[\dot{s} = -\varepsilon |X|^\alpha sgn(s) - qs, \quad \alpha > 1 \tag{22} \]

其中，$X$ 为系统的状态变量，$|X|$ 代表状态变量到滑模面的距离，且满足 $\lim\limits_{t\to \infty}|X| = 0$

可以看出，该趋近律包含2种运动状态：

1）当系统的状态变量距离滑模面较远时，即$|X|$数值较大，此时，$-\varepsilon|X|^\alpha, -qs$共同作用趋近滑模面，提高了趋近速度；
2）当距离滑模面较近时，$-\varepsilon|X|^\alpha$ 起主导作用，且当系统进入稳定过程中，在滑模控制器的作用下，系统的状态变量进入滑模面并向原点运动，此时将不断减小，最终稳定在原点. 从而使得系统状态进入滑模切换面的冲击速率较小，抑制了抖振现象.

于是，改进型滑模控制器设计表达式：

\[i_q^* = \frac{1}{D}\int_0^t [cx_2 + \varepsilon |X|^\alpha sgn(s) + qs] d\tau, \quad \alpha > 1 \tag{22} \]

自行设计滑模控制器时，需要满足2点：
1）稳定性；
2）快速趋于稳定.

参数对转速影响特性

幂次指数 alpha（趋近律形状参数）

决定趋近律的非线性程度.

$\alpha = 1$ 传统指数趋近律；
$0 < \alpha < 1$ 为终端滑模，收敛更快但易奇异（输出无穷大，需要避免）.
$\alpha > 1$ 近滑模面趋近速度急剧加快，主打有限时间快速收敛，但极易出现数值奇异、仿真崩溃.

其中，
$\alpha \to 1$ 趋近律接近传统等速趋近律，响应快、抖振大；
$\alpha \to 0$ 靠近滑模面时趋近速度急剧降低，抖振极小，但大误差下收敛极慢.

仿真模型

参数：极对数$Pn = 4$，定子电感：$Ld = 4.987 mH, Lq = 5.513 mH$，定子电阻$R = 0.9585 Ω$，磁链$flux = 0.1827Wb$，转动惯量$J=0.0006329 kg\cdot m^2$，阻尼系数$B=0003035 N\cdot m\cdot s$.
仿真条件：直流母线电压$Vdc = 600V$，PWM开关频率$Tf=f_{pwm} = 10kHz$（周期$Ts=1/Tf$），仿真时间 1s. 解算器 ode3(Bogacki-Shampine)，固定步长 Ts / 100.