采样系统理论
控制系统中，所有输入量（输入量、输出量、反馈量、偏差量）都是时间t的连续系统，称为 连续控制系统.
随着数字计算机（e.g. MCU，DSP）发展，采用数字计算机的控制系统越来越多.
如下图，是一个经典的单回路闭环控制系统方框图：
r(t)系统输入量，c(t)系统输出量，A/D模拟-数字转换器（将连续信号转化为数字信号），因为多数情况被控对象是时间的连续环节，因此需要D/A数字-模拟转换器将数字信号转换为连续信号，从而对实现被控对象的控制. 通常，称这类即有离散信号，又有连续信号的系统，为 采样控制系统.
采样系统与离散系统区别：被控对象是连续信号部件；
采样系统与连续系统区别：输入、输出信号是数字信号；
总体上，采样系统的分析、设计是按离散系统的方法来处理，因此常归结为离散系统.
采样过程与采样定理
采样过程
将连续信号转换成离散信号的过程，称为采样过程 —— 一个信号的调制过程.
如下图，载波p(t)是一个周期T、宽度\(\tau (\tau < T)\)、幅值\(\dfrac{1}{\tau}\)的脉冲序列，如下图(b). 调制后，得到的采样信号是一个周期T、宽度\(\tau\)、幅值∝采样瞬时值的脉冲序列，如下图(c).
采样信号：
\[\begin{align}
f_{\tau}^{*}(t) &= p(t)\cdot f(t) \tag{1}
\end{align}
\]
实现该采样过程的装置称为采样开关，可用图(d)所示的符号表示.
载波信号 \(p(t)\) 是周期函数（满足狄利克雷条件），故可以展成如下傅里叶级数：
\[\begin{align}
p(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n e^{jn\omega_s t} \tag{2}
\end{align}
\]
其中，\(\omega_s=2π/T\) 基波角频率，即采样角频率，傅里叶系数 \(C_n\) 由下式给出
\[\begin{align}
C_n &= \frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)e^{-jn\omega_s t}dt
= \frac{1}{T}\cdot \frac{\sin\left(n\omega_s \tau/2\right)}{n\omega_s \tau/2} e^{-jn\omega_s \tau/2} \tag{3}
\end{align}
\]
等式(3)证明：
载波p(t)（矩形脉冲串）一个周期内定义：
\[p(t) =\begin{cases}
\frac{1}{\tau}, &0 \le t\le \tau\\
0, &\tau < t\le T
\end{cases}
\]
代入(3)，可得，
\[\begin{aligned}
C_n &= \frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)e^{-jn\omega_s t}dt \\
&= \frac{1}{T}\int_0^\tau \frac{1}{\tau} e^{-jn\omega_st}dt \\
&= \frac{1}{T}\cdot \frac{1}{\tau} \left[ \frac{1}{-jn\omega_s}e^{-jn\omega_s t} \right]_0^\tau\\
&= \frac{1}{T}\cdot \frac{1}{\tau} \cdot \dfrac{1-e^{-jn\omega_s \tau}}{jn\omega_s}
\end{aligned}
\]
需要用到一个恒等式：
\[1-e^{-jx} = 2je^{-jx/2}sin(\frac{x}{2}) \tag{3-1}
\]
先证明这个恒等式(3-1). 由欧拉公式\(e^{jθ}=cos θ + jsin θ\)，知，
\[sin θ = \frac{e^{jθ} - e^{-jθ}}{2j}
\]
令\(θ = \frac{x}{2}\)，
\[sin (\frac{x}{2}) = \frac{e^{j\frac{x}{2}} - e^{-j\frac{x}{2}}}{2j}
\]
∴(3-1)等式右边：
\[\begin{aligned}
右边 &= 2je^{-jx/2} \frac{e^{j\frac{x}{2}} - e^{-j\frac{x}{2}}}{2j} \\
&= e^{-jx/2}(e^{j\frac{x}{2}} - e^{-j\frac{x}{2}}) \\
&= e^{-jx/2}e^{j\frac{x}{2}} - e^{-jx/2}e^{-j\frac{x}{2}} \\
&= e^0 - e^{-jx} \\
&= 1 - e^{-jx} = 左边
\end{aligned}
\]
于是，
\[\begin{aligned}
C_n &= \dfrac{1}{T}\cdot \frac{1}{\tau} \cdot \dfrac{2je^{je^{-jn\omega_s\tau /2}}sin(n\omega_s\tau/2)}{jn\omega_s} \\
&= \dfrac{1}{T}\cdot \dfrac{sin(n\omega_s \tau / 2)}{n\omega_s \tau /2}\cdot e^{-jn\omega_s\tau /2} \\
\end{aligned}
\]
故(3)得证.
则采样信号 \(f_{\tau}^{*}(t)\) 可以表示为
\[\begin{align}
f_{\tau}^{*}(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n f(t)e^{jn\omega_s t} \tag{4}
\end{align}
\]
如果连续信号\(f(t)\)的傅里叶变换（Fourier）为\(F(j\omega)\)，那么采样信号 \(f_\tau^*(t)\) 的傅里叶变换为
\[\begin{align}
F_{\tau}^{*}(j\omega) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n F(j\omega + jn\omega_s) \tag{5}
\end{align}
\]
连续信号\(f(t)\)与离散信号 \(f_\tau^*(t)\) 频谱曲线如下图. \(F_{\tau}^{*}(j\omega)\)中对应 n=0 的部分，称为 \(F_{\tau}^{*}(j\omega)\) 的主分量，其余称为 \(F_{\tau}^{*}(j\omega)\) 的补分量.
注：\(F(j\omega)\)是连续信号\(f(t)\)的频谱，\(F_\tau^*(j\omega)\)是采样信号\(f_\tau^*(t)\)的频谱.
频谱 \(F(j\omega), F_\tau^*(j\omega)\) 如下图所示：
主分量与\(F(j\omega)\)关系：主分量与连续信号的频谱 \(F(j\omega)\) 只差一个常数因子\(\frac{1}{T}\)，即
\[主分量=\frac{1}{T}\cdot F(j\omega)
\]
证明：
令 n = 0, 由(3)
\[C_0=\frac{1}{T} \int_0^Tp(t)dt = \frac{1}{T}\int_0^\tau \frac{1}{\tau}dt = \frac{1}{T}\cdot \frac{1}{\tau}\cdot \tau = \frac{1}{T}
\]
将 n = 0 代入频谱公式(5)：
\[主分量 = C_0F(j\omega + j0\omega_s) = C_0F(j\omega) = \frac{1}{T}F(j\omega)
\]
连续信号的频谱 \(F_(j\omega)\)，采样信号的主分量是 \(\frac{1}{T} F_(\omega)\).
所以，主分量 = 原始频谱 × (1/T)
香农（Shannon）采样定理：
如果采样频率 \(\omega_s\) 满足条件：
\[\omega_s \ge 2\omega_{max}\tag{6}
\]
其中，\(\omega_{max}\) 连续信号频谱的上限频率，则经采样得到的脉冲序列可以无失真的恢复为原连续信号.
说明：如果采样频率\(\omega_s\)越高（采样周期T越短），\(F_\tau^*(j\omega)\) 中主分量与补分量的重叠就越少
当 \(\omega_s \ge 2\omega_{max}\) 时，主分量与补分量不再重叠，此时，如果存在一个理想低通滤波器（如下图），就能将采样信号完全恢复成原连续信号.
理想采样过程
引入理想采样开关，简化采样过程.
当脉冲序列的宽度 \(\tau\) 相对于采样周期 T 很小，且 < 连续信号f(t)的最小时间常数时，载波信号p(t)可近似成理想脉冲序列（\(\tau \to 0\)）：
\[\delta_T(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT) \tag{7}
\]
\(δ\) 是单位冲激函数，\(δ(t−kT)\) 表示这个尖峰只存在于 \(t=kT\) 这个瞬间，其他时间均为0.
设当 t < 0时，\(f(t) = 0\)，那么采样过程数学描述：
\[f^*(t) = f(t) \cdot \delta_T(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} f(t) \cdot \delta(t - kT) \tag{8}
\]
采样过程如下图：
\(\delta_T(t)\) 可展开成傅里叶级数：
\[\delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n e^{jn\omega_s t} \tag{9}
\]
其中，
\[C_n = \frac{1}{T} \tag{10}
\]
由(8)，知
\[f^*(t) = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(t) e^{jn\omega_s t} \tag{11}
\]
由(5)，知
\[F^*(j\omega) = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F(j\omega + jn\omega_s) \tag{12}
\]
连续信号、理想采样信号的频谱：
根据香农定理，当采样频率满足条件时，可用理想低通滤波器恢复被采样信号.
信号的恢复与零阶保持器
信号的恢复：将采样信号恢复为连续信号的过程. 能实现这一过程的装置，称为保持器.
数学上，保持器作用：根据被采样函数 f(t) 在各个采样时刻的瞬时值，求出采样时刻之间的函数值.
已知f(t)在kT时刻的函数值以及各阶导数，那么当\(kT < t < (k+1)T\)时，f(t)可展开成泰勒级数：
\[\begin{aligned}
f(t) &= f(kT) + f'(t) \bigg|_{t = kT} \cdot (t - kT) + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(t) \bigg|_{t = kT} \cdot (t - kT)^n + \cdots \\
&= f(kT) + f'(kT) \cdot (t - kT) + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(kT) \cdot (t - kT)^n + \cdots
\end{aligned}
\tag{13}
\]
当采样周期足够小时，可得到各阶导数近似值：
\[f'(kT) \approx \frac{f(kT) - f(kT - T)}{T} \tag{14}
\]
\[f'(t) \bigg|_{t = kT} \approx \frac{f(kT) - 2f(kT - T) + f(kT - 2T)}{T^2} \tag{15}
\]
理论上，计算n阶导数近似值需要已知n+1个采样时刻瞬时值；
工程上，考虑实时性要求，通常只取常数项，即 零阶保持器（ZOH，zero order hold）：
\[f(t) = f(kT), kT < t < (k+1)T \tag{16}
\]
如上图，信号采样与保持过程，理想采样开关的输出见式(8)，拉式变换：
\[F^*(s) = \sum_{k=0}^{+\infty}f(t)e^{-st} =\sum_{k=0}^{+\infty}f(kT)e^{-kTs} \tag{17}
\]
零阶保持器输出：
\[f_h(t) = \sum_{k=0}^{+\infty}f(kT)[1(t-kT) - 1(t-kT-T)] \tag{18}
\]
其中，\(1(t)\) 是单位阶跃函数（\(t=0\)时跳变），\(1(t−kT)\) 是延时阶跃函数（\(t=kT\)时跳变），\(1(t-kT-T)\) 是\(t=(k+1)T\) 时跳变的延时阶跃函数.
当 \(t\in [kT, (k+1)T)\)时，\([1(t-kT) - 1(t-kT-T)] = 1\)；
其他时候，\([1(t-kT) - 1(t-kT-T)] = 0\).
于是，中括号就像一个只在 \([kT,(k+1)T)\) 区间内点亮、其他时间熄灭的矩形脉冲
式(18)描述整个连续时间波形，成了无数个\([kT,(k+1)T)\) 这样的区间相加而成的矩形脉冲.
对(18)两边做拉式变换：
\[\begin{aligned}
F_h(s) &= \sum_{k=0}^{+\infty}\int_{kT}^{(k+1)T} f(kT)e^{-st}dt \\
&= \sum_{k=0}^{+\infty} f(kT) \frac{1}{-s} \bigg[ e^{-st} \bigg]_{kT}^{(k+1)T} \\
&= \sum_{k=0}^{+\infty} f(kT) \frac{e^{-kTs} - e^{-(k+1)Ts}}{s} \\
&= \bigg( \frac{1-e^{-Ts}}{s} \bigg) \sum_{k=0}^{+\infty} f(kT) e^{-kTs}
\end{aligned} \tag{19}
\]
所以，零阶保持器传递函数：
\[G_h(s) = \frac{F_h(s)}{F^*(t)} = \frac{1-e^{-Ts}}{s} \tag{20}
\]
而复变量\(s=j\omega\)，代入(20)，可得零阶保持器的频率特性：
\[\begin{aligned}
G_h(j\omega) &= \frac{1-e^{-j\omega T}}{j\omega} \\
&\xlongequal{式(3-1)} \frac{2je^{-j\omega T/2} sin(\omega T/2)}{j\omega} \\
&= T \frac{sin(\omega T/2)}{\omega T/2} e^{-j\omega T/2} \\
&= T \frac{sin(\pi \omega / \omega_s)}{\pi \omega / \omega_s} e^{-\pi \omega / \omega_s}
\end{aligned} \tag{21}
\]
其中，\(\omega\) 是输入信号的角频率，\(\omega_s=2π/T\) 是采样角频率（基波角频率）.
注意：书上最后e的指数可能有问题.
幅频特性（幅度-频率特性）：
\[|G_h(j\omega)| = T\cdot \bigg| \frac{sin(\pi \omega / \omega_s)}{\pi \omega / \omega_s} \bigg| \tag{22}
\]
相频特性（相位-频率特性）：
\[\angle G_h(j\omega) = -\frac{\pi\omega}{\omega_s} + \angle \sin(\pi\omega/\omega_s) \tag{23}
\]
其中，
\[\angle \sin(\pi \omega / \omega_s) =
\begin{cases}
0, & 2n\omega_s < \omega < (2n+1)\omega_s \\
\pi, & (2n+1)\omega_s < \omega < (2n+2)\omega_s
\end{cases}
\quad (n=0,1,2,\dots) \tag{24}
\]
零阶保持器的频率特性，如下图：
零阶保持器 是低通滤波器，但不是理想低通滤波器；
零阶保持器除了允许信号的主频普分量（\(\omega_s~2\omega_s\)）通过，还允许部分高频分量通过，因此，由零阶保持器恢复的连续信号\(f_h(t)\)与原连续信号\(f(t)\)不完全相同.
z变换与z反变换
拉式变换分析连续系统，z变换分析采样系统. z变换可看着拉式变换的一种变形.
z变换是什么
连续信号\(f(t)\) 经采样后，得到的脉冲序列
\[f^*(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} f(kT) \cdot \delta(t - kT) \tag{25}
\]
其中，\(\delta(t - kT)\) 延时单位冲激函数.
注意：\(f^*(t)\) 是时间t连续的采样信号，\(f(kT)\)是离散的采样序列.
拉式变换后，
\[F^*(s) = \sum_{k=0}^{+\infty} f(kT) e^{-kTs} \tag{26}
\]
因为\(F^*(s)\)表达式含有\(e^{-kTs}\)，并非s的有理函数，所有引入一个新的复变量
\[z=e^{Ts} \tag{27}
\]
代入(26)，可得
z变换定义式：
\[F^*(s)\bigg |_{s=(1/T)ln z} = F(z) = \sum_{k=0}^{+\infty} f(kT)z^{-k} \tag{28}
\]
称\(F(z)\)为\(f^*(t)\)的z变换，记作\(Z[f^*(t)] = F(z)\) 或者 \(Z[f(kT)] = F(z)\)
展开(28)，
\[F(z) = f(0)z^0 + f(T)z^{-1} + f(2T)z^{-2} + \cdots + f(kT)z^{-k} + \cdots \tag{29}
\]
这是关于\(F(z)\)的复变量\(z^{-1}\)的幂级数（罗伦级数），其一般项\(f(kT)z^{-k}\)中复变量\(z^{-1}\)的幂次，表示采样时刻（0,T,...,kT,...），系数表示该采样时刻的瞬时值，可将\(z^{-1}\)理解为单位延迟因子.
e.g. \(z^{-k}\) 表示延迟k个T单位采样时刻.
例1：求单位脉冲信号的z变换.
解：
单位脉冲信号（单位采样序列）定义：
\[\delta(k) = \begin{cases}
1, k=0\\
0, 其他
\end{cases}
\]
其中，\(k=0,1,2,3,...\)
对于离散序列\(f(k)\)，z变换：
\[F(z) = Z[f(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}f(k)z^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty}\delta (k)z^{-k}
\]
∵ k=0时，\(\delta (k) = 1\)；k≠0时，\(\delta (k) = 0\)
∴
\[F(z) = \delta (0)z^0 + 0 = 1
\]
例2：求单位阶跃信号的z变换.
解：离散单位阶跃信号定义：
\[1(k) = \begin{cases}
1, &k\ge 0\\
0, &k<0
\end{cases}
\]
其中，\(k=0,1,2,3,...\)
对于离散序列\(f(k) = 1(k)\)，z变换为
\[\begin{aligned}
F(z) &= Z[1(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}1(k)\cdot z^{-k} \\
&= \sum_{k=0}^{\infty}1\cdot z^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty}z^{-k} \\
&= z^0 + z^{-1} + z^{-2} + z^{-3} + \dots \\
&= \lim_{n\to \infty} \frac{1-z^{-n}}{1-z^{-1}} = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1}
\end{aligned}
\]
注意：\(|z| > 1\)时，上述级数\(\sum_{k=0}^{\infty}z^{-k}\)收敛.
下表是一些常见连续信号f(t)（或者离散采样信号f(k)）的z变换：
| 序号 |
$ F(s) $ |
$ f(t) $ 或 $ f(k) $ |
$ F(z) $ |
| 1 |
$ 1 $ |
$ \delta(t) $ |
$ 1 $ |
| 2 |
$ e^{-kTs} $ |
$ \delta(t - kT) $ |
$ z^{-k} $ |
| 3 |
$ \frac{1}{s} $ |
$ 1(t) $ |
$ \frac{z}{z-1} $ |
| 4 |
$ \frac{1}{s^2} $ |
$ t $ |
$ \frac{Tz}{(z-1)^2} $ |
| 5 |
$ \frac{1}{s^3} $ |
$ t^2 $ |
$ \frac{T^2 z(z+1)}{(z-1)^3} $ |
| 6 |
$ \frac{1}{1 - e^{-Ts}} $ |
$ \sum_{k=0}^{\infty} \delta(t - kT) $ |
$ \frac{z}{z-1} $ |
| 7 |
$ \frac{1}{s+a} $ |
$ e^{-at} $ |
$ \frac{z}{z - e^{-aT}} $ |
| 8 |
$ \frac{1}{(s+a)^2} $ |
$ t e^{-at} $ |
\(\frac{Tze^{-aT}}{(z - e^{-aT})^2}\) |
| 9 |
$ \frac{a}{s(s+a)} $ |
$ 1 - e^{-at} $ |
$ \frac{(1 - e^{-aT})z}{(z-1)(z - e^{-aT})} $ |
| 10 |
$ \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} $ |
$ \sin \omega t $ |
$ \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} $ |
| 11 |
$ \frac{s}{s^2 + \omega^2} $ |
$ \cos \omega t $ |
$ \frac{z(z - \cos(\omega T))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} $ |
| 12 |
— |
$ a^k $ |
$ \frac{z}{z - a} $ |
z变换基本定理
线性定理
如果\(f_1^*(t),f_2^*(t)\)的z变换为\(F_1(z),F_2(z)\)，那么
\[Z[a_1 f_1^*(t) + a_2 f_2^*(t)] = a_1 F_1(z) + a_2 F_2(z) \tag{30}
\]
其中，$ a_1,a_2 )为任意实数.
证明：
设\(g^*(t) = a_1f_1^*(t) + a_2f_2^*(t)\)
由\(f_1^*(t),f_2^*(t)\) 定义知，
\[f_1^*(t) = \sum_{k=0}^{\infty}f_1(kT)\cdot \delta(t-kT)\\
f_2^*(t) = \sum_{k=0}^{\infty}f_2(kT)\cdot \delta(t-kT)\\
\]
则，
\[\begin{aligned}
g^*(t) &= a_1f_1^*(t) + a_2f_2^*(t)\\
&= a_1 \sum_{k=0}^{\infty}f_1(kT)\cdot \delta(t-kT) + a_2 \sum_{k=0}^{\infty}f_2(kT)\cdot \delta(t-kT) \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} [a_1f_1(kT) + a_2f_2(kT)]\cdot \delta(t-kT) \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} g(kT)\cdot \delta(t-kT) \\
\therefore
g(kT) &= a_1f_1(kT) + a_2f_2(kT)
\end{aligned}
\]
由Z变换定义，对采样函数\(f^*(t)\)，
\[Z[f^*(t)] = \sum_{k=0}^{\infty} f(kT)\cdot z^{-k}
\]
那么，
\[\begin{aligned}
Z[g^*(t)] &= \sum_{k=0}^{\infty} g(kT)\cdot z^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty} [a_1f_1(kT) + a_2f_2(kT)] \cdot z^{-k} \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} [a_1f_1(kT)]z^{-k} + \sum_{k=0}^{\infty} [a_2f_2(kT)]z^{-k} \\
&= a_1F_1(z) + a_2F_2(z)
\end{aligned}
\]
实数位移定理
如果\(f^*(t)\)的z变换为\(F(z)\)，则
延迟定理：
\[Z[f^*(t - nT)] = z^{-n} F(z) \tag{31}
\]
超前定理：
\[Z[f^*(t + nT)] = z^n \left[ F(z) - \sum_{k=0}^{n-1} f(kT) z^{-k} \right] \tag{32}
\]
证明：
证明(31)
\[\begin{aligned}
Z[f^*(t - nT)] &= \sum_{k=0}^{\infty} f(kT-nT)z^{-k} \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} z^{-n}f(kT-nT)z^{-(k-n)} \\
&= z^{-n}\sum_{j=-n}^{\infty} f(jT)z^{-j}
\end{aligned}
\]
∵ j < 0时，\(e(jT) = 0\) （可实现物理系统，输入信号都是从t=0开始作用）
∴
\[Z[f^*(t - nT)] = z^{-n} \sum_{j=0}^{\infty} f(jT)z^{-j} = z^{-n}F(z)
\]
证明(32)
\[\begin{aligned}
Z[f^*(t + nT)] &= \sum_{k=0}^{\infty} f(kT + nT)z^{-k} \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} z^{n}f((k+n)T)z^{-(k+n)} \\
&\xlongequal{令j=k+n} z^{n} \sum_{j=n}^{\infty} f(jT)z^{-j}
\end{aligned}
\]
\[F(z) = \sum_{j=0}^{\infty} f(jT)z^{-j} = \sum_{j=0}^{n-1}f(jT)z^{-j} + \sum_{j=n}^{\infty}f(jT)z^{-j} \\
\therefore \sum_{j=n}^{\infty}f(jT)z^{-j} = F(z) - \sum_{j=0}^{n-1}f(jT)z^{-j}
\]
因此，
\[Z[f^*(t + nT)] = z^n \bigg[ F(z) - \sum_{j=0}^{n-1}f(jT)z^{-j} \bigg]
\]
复位移定理
已知 f(kT) 的 z 变换函数为 F(z)，则
\[Z\left[f(kT)\mathrm{e}^{\mp akT}\right]=F\left(z\cdot\mathrm{e}^{\pm aT}\right) \tag{33}
\]
证明：
\[\begin{aligned}
Z\left[f(kT)\mathrm{e}^{\mp akT}\right]&=\sum_{k=0}^{+\infty} f(kT)\cdot\mathrm{e}^{\mp akT}\cdot z^{-k} \\
&=\sum_{k=0}^{+\infty} f(kT)\cdot\left(z\mathrm{e}^{\pm aT}\right)^{-k} \\
&=F\left(z\cdot\mathrm{e}^{\pm aT}\right)
\end{aligned}
\]
z反变换
z反变换是z变换的逆运算. 目的是由象函数F(z)求出采样脉冲序列\(f^*(t)\)（或\(f(nT)\)），记作：
\[Z^{-1}[F(z)] = f^*(t) \tag{35}
\]
注：z反变换只能求出采样信号\(f^*(t)\)，不能求出连续信号\(f(t)\).
三种方法求z反变换：
1. 部分分式法
如果象函数\(F(z)\)是复变量z的有理分式，且$ \frac{F(z)}{z} $ 的极点 $ z_i = e^{-a_iT}, i=1,2,3,...,m$ 互异（互不相同），则 $ \frac{F(z)}{z} $ 可展开为如下形式：
\[\frac{F(z)}{z} = \frac{K_1}{z - e^{-a_1 T}} + \frac{K_2}{z - e^{-a_2 T}} + \cdots + \frac{K_m}{z - e^{-a_m T}} \tag{36}
\]
两边同时乘以z，再取z反变换，得：
\[Z^{-1}[F(z)] = Z^{-1}\left[\frac{K_1 z}{z - e^{-a_1 T}}\right] + Z^{-1}\left[\frac{K_2 z}{z - e^{-a_2 T}}\right] + \cdots + Z^{-1}\left[\frac{K_m z}{z - e^{-a_m T}}\right] \tag{37}
\]
和
\[f(nT) = K_1 e^{-a_1 nT} + K_2 e^{-a_2 nT} + \cdots + K_m e^{-a_m nT} \tag{38}
\]
证明：
证明(36).
因为$ \frac{F(z)}{z} $ 有m个不同极点$ z_i = e^{-a_iT} )，所以可以展开为：
\[\frac{F(z)}{z} = \sum_{i=1}^m \frac{K_i}{z - e^{-a_iT}}
\]
注意：通分后，分母就会出现 $ (z-z1)(z-z_2)\dots(z-z_m) $ 的形式.
证明(37).
上式两边同时乘以z，再取z反变换，
\[Z^{-1}[F(z)] = \sum_{i=1}^m Z^{-1}\bigg[ \frac{zK_i}{z - e^{-a_iT}} \bigg]
\]
证明(38).
查表可知（参见 自动控制：采样系统理论中常见连续信号f(t)的z变换小节），
\[Z^{-1}\bigg [ \frac{z}{z-a} \bigg] = a^{n}
\]
令 $ a = e^{-a_iT} )，有，
\[Z^{-1}\bigg [ \frac{z}{z-a} \bigg] = Z^{-1}\bigg [ \frac{z}{z-e^{-a_iT}} \bigg] = a^n = e^{-a_inT}
\]
代入(37)，可得，
\[Z^{-1}[F(z)] = f(nT) = \sum_{i=1}^{m} K_i e^{-a_inT}
\]
实际如何应用？看下面例子.
例：已知z变换
\[F(z) = \frac{z}{(z-1)(z-e^{-T})}
\]
求其反变换.
解：因为F(z)有2个不同极点，所以可设F(z) 展开式
\[\frac{F(z)}{z} = \frac{K_1}{z-1} + \frac{K_2}{z-e^{-T}}
\]
我们可以还原F(z)表达式，然后分别求出\(K_1,K_2\)，但我们这里讲另一种快捷方法：
\[K_1 = \lim_{z\to 1 } \bigg( \frac{z-1}{z} F(z) \bigg) = \lim_{z\to 1 }\frac{1}{z-e^{-T}} = \frac{1}{1-e^{-T}}\\
K_2 = \lim_{z\to e^{-T}} \bigg( \frac{z-e^{-T}}{z} F(z) \bigg) = \lim_{z\to e^{-T}} \frac{1}{z-1} = -\frac{1}{1-e^{-T}}
\]
所以，
\[F(z) = \frac{1}{1-e^{-T}}\bigg( \frac{1}{z-1} + \frac{1}{z-e^{-T}} \bigg)
\]
查表知，
\[f(nT) = \frac{1}{1-e^{-T}}(1-e^{-nT})
\]
注意：这是离散采样信号，不是连续信号，t = nT.
所以，
\[f^*(t) = \frac{1}{1-e^{-T}}\sum_{k=0}^{\infty} (1-e^{kT}) \delta (t - kT)
\]
2. 长除法
如果 \(z\) 变换函数 \(F(z)\) 是复变量 \(z\) 的有理函数，则可将 \(F(z)\) 展成 \(z^{-1}\) 的无穷级数，即
\[F(z)=f_0 + f_1 z^{-1} + \dots + f_k z^{-k} + \dots \tag{39}
\]
对比式\((8-29)\)可知
\[f(kT)=f_k,\ k=0,1,2,\dots \tag{40}
\]
即
\[f^*(t)=\sum_{k=0}^{+\infty} f_k \delta(t-kT) \tag{41}
\]
长除法本质上就是不断提取 \(z^{-1}\) 的幂次。每一步我们都是:
1）看当前余数中最低的 \(z^{-k}\) 项；
2）把它作为商的下一项；
3）用这一项乘分母，从余数中减去；
4）产生新的、更高次的余数项.
比较适合求连续函数f(t)的有限个瞬时值f(kT)，但很难求出一般表达式.
例：已知 \(z\) 变换函数为
\[F(z)=\frac{z}{(z-2)(z-3)}
\]
求其 \(z\) 反变换.
解：由
\[F(z)=\frac{z}{z^2-5z+6}=\frac{z^{-1}}{1-5z^{-1}+6z^{-2}}
\]
运用长除法如下所示，
z⁻¹ + 5z⁻² + 19z⁻³ + 65z⁻⁴ + …
┌────────────────────────────────────────────────────
1−5z⁻¹+6z⁻²│ z⁻¹
−(z⁻¹ − 5z⁻² + 6z⁻³)
───────────────────────
5z⁻² − 6z⁻³
−(5z⁻² − 25z⁻³ + 30z⁻⁴)
───────────────────────
19z⁻³ − 30z⁻⁴
−(19z⁻³ − 95z⁻⁴ + 114z⁻⁵)
─────────────────────────
65z⁻⁴ − 114z⁻⁵
最终得到，
\[F(z)=z^{-1}+5z^{-2}+19z^{-3}+65z^{-4}+\cdots
\]
由此得
\[f(0)=0,\ f(T)=1,\ f(2T)=5,\ f(3T)=19,\ f(4T)=65,\cdots
\]
于是，脉冲序列可以写成
\[f^*(t)=\delta(t-T)+5\delta(t-2T)+19\delta(t-3T)+65\delta(t-4T)+\cdots
\]
参考
[2] 程鹏. 自动控制原理[M].高等教育出版.2002.
浙公网安备 33010602011771号