LCT总结——应用篇(附题单)(LCT)

为了优化体验(其实是强迫症),蒟蒻把总结拆成了两篇,方便不同学习阶段的Dalao们切换。

LCT总结——概念篇戳这里

题单

灰常感谢XZY巨佬提供的强力资磁!(可参考XZY巨佬的博客总结
题单对于系统地学习一个知识点还是有好处的。
所以蒟蒻搜集了各处的LCT题目(其实作为近年新兴的知识点,现有的好题不是很多,有些题树剖也可做
大概按细化分类进行整理(类比下面的几个细化知识点,会有重复的列举)
同一类中的题目也大概按难度递增吧(太弱了,对每个题的难度定位或许有不准的地方,欢迎讨论!)

维护链信息(LCT上的平衡树操作)

动态维护连通性&双联通分量(可以说是并查集的升级,因为并查集只能连不能断)

维护边权(常用于维护生成树)

维护子树信息

维护树上染色联通块

特殊题型

操作升级!(模板以外的细化总结)

维护链信息(LCT上的平衡树操作)

思路与模板基本都很像了,就不展开讨论了

例题1

洛谷P1501 [国家集训队]Tree II(点击进入题目)
感觉难度评定也高了点吧
有了链上乘法和链上加法,那肯定是像线段树区间修改那样使用懒标记了。
放标记的做法来自[模板]线段树2
那里发题解的Dalao们都讲得挺好的,本蒟蒻参考一下。
蒟蒻的题解在这里

例题2

洛谷P3203 [HNOI2010]弹飞绵羊(点击进入题目)
略带一点思维,但是代码比模板还简单。。。。。。
在LCT模板基础上进行灵活运用,可以使代码和程序都做到高效。
蒟蒻的题解在这里

例题3

洛谷P4332 [SHOI2014]三叉神经树
没有那么裸了,仔细分析并利用好题目的性质
蒟蒻的题解在这里

动态维护连通性&双联通分量

维护连通性?findroot判一下就好啦!属于模板范畴
至于双连通分量,LCT好像只能资磁加边。。。。。。
LCT中的每个点其实代表的是一个双连通分量,维护每个点属于哪个双连通分量需要在外面弄一个并查集维护。
加边时,如果两点不连通就link;
如果连通就说明有环,把环缩成一个点,在并查集里也全部合并在一起
其中要注意很多细节,具体就看下下面例题2的代码吧

例题1

洛谷P3950 部落冲突(点击进入题目)
正解不是LCT。。。。。。
只是这里用LCT的思路非常简单甚至于无脑。。。。。。
蒟蒻题解

例题2

洛谷P2542 [AHOI2005]航线规划(点击进入题目)
基础的动态维护双连通分量,具体就看看题解吧
蒟蒻题解

维护链上的边权信息(生成树)

普通LCT维护点权,那对于边权呢?比如要获取一条路径上最长的边,等等。
这种维护的最经典的应用,大概就是动态维护一颗最小/大生成树了(需要获取边长度等信息)。
我起初有一种想法。
一棵树,除了根节点,每个节点有且仅有一条父边。
那么如果我们只要边的信息,可不可以就把LCT中的点的点权当成父边的边权呢?
在其它不少数据结构中好像是可以这样做的。
只不过LCT性质非常特殊。一旦换了根,原先边的父子关系就破坏了。所以并不能这样做。
那又如何是好呢?
我在网上看到有些博客介绍的方法,是把边置于LCT外,然后在LCT节点中维护父边和重子边的编号,需要更新信息时从外部获取,在access,link,cut时额外更改。
这样好像挺麻烦的,要维护那么多东西。
另一种更抽象的做法,也是我要分享的,就是两个字——拆边,把边视作为一个点,向该边的两个端点连两条边。
只需要维护边权的时候,边权存在LCT中代表边的点权里,因为不需要维护真正的点权,所以LCT中的代表点的点权可以设成空的(0),不会影响信息的正确性。于是就变成了维护点权。
当然了,原先我们的link和cut是对于两个点的,现在有点不一样了(因为两点之间又多了一个代表边的点)
update:发现之前描述的写法有问题,且并不能优化多少常数,在这里更正一下
写法就是link/cut两次,比如

    link(e[i].id,e[i].x);link(e[i].id,e[i].y);
    cut(e[i].id,e[i].x);cut(e[i].id,e[i].y);

例题一

洛谷P4180 [BJWC2010]次小生成树
其实这道题用LCT不是正解,不过是可做的(update:我后来又写了LCT),放在这里一下吧。
用LCT维护最小生成树,再去枚举非树边尝试替换树边,更新最优答案。
TPLY巨佬也用LCT做的(某问题导致常数巨大?),他的题解在这里
蒟蒻题解在这里

例题二

洛谷P2387 [NOI2014]魔法森林
我太弱啦!这种双关键字的维护我是真的没有思路,边看着题解边打出来的。orz XZY&XZZ两位巨佬,题解点赞!
不过作为LCT维护边权的好题目还是值得分享。
蒟蒻题解在这里

维护虚子树信息总和与原树信息总和

有时候,我们需要的并不是维护链的信息,而是子树的信息。要知道,LCT是长于维护链的信息,而弱于维护子树信息(这方面不得不承认树剖的用处了,还要赶紧学)。然而动态的连边和断边,又不得不要求我们使用LCT来维护。

其实,我们还是不会束手无策的。

维护子树信息总和的一些常见题型,无非就是询问整棵(原树中的)子树的总大小、权值总和、最值之类的东西。
我们已经可以通过辅助树Splay来获知Splay中的实子树(也就是原树中的一条链)的信息总和。
既然原树的边只有实与虚,子树也只有实与虚,那么如果要想维护好原树的信息总和,我们是不是首先要知道虚子树的信息总和?
注:以下设虚子树信息总和用数组si表示,原树信息总和用s表示。此处si[x]只包含x所有虚子树(通过轻边指向x)的信息总和,而s[x]实际上是在LCT中的所有儿子的信息总和(包括辅助树Splay中相对的左右儿子的总和与被轻边所指的绝对的虚子树的总和)。
那么如果我们确定了si[x]的值,是不是就知道了s[x]的值了?实加虚嘛!
这就是pushup,代码

inline void pushup(int x){
    s[x]=s[c[x][0]]+s[c[x][1]]+si[x]+1;//大小总和,注意别漏了+1,自己也要算上
    //或者
    s[x]=s[c[x][0]]+s[c[x][1]]+si[x]+v[x];//权值总和,自己同样也要算上
}

先不对这种方法是怎样来的这个问题追本溯源,那我们就可以直接考虑si如何维护了。
还是直接假设我们已经提前维护好了si吧。
很显然,si的变化取决于虚实边的变化,所以现在我们只考虑LCT中的每个操作会对虚实边产生怎样的影响。

  • splay(x):显然这一操作只会改变节点在辅助树Splay中的相对位置,并不会对树中的虚子树信息产生任何影响。过程中的pushup会正确地更新s。
  • access(x):这个时候,我们发现,循环中每一次splay(x)后,我们更改了x的右子树,也就是更改了虚实边,那么会对信息产生影响。
    这里的影响,无非就是得到了一个虚儿子,失去了一个虚儿子,总和没有改变。
    于是直接改就好啦,si加上原来右儿子的s,再减去新的右儿子的s。
    与原模板略有不同的代码
inline void access(int x){
    for(int y=0;x;x=f[y=x]){
        splay(x);
        si[x]+=s[c[x][1]];
        si[x]-=s[c[x][1]=y];
        pushup(x);
//如果pushup只是更新原树信息总和s的话,甚至这里可以不写,毕竟加一个减一个,和没变
    }
}
  • makeroot(x):并无影响。虽然树的形态翻转了,但是翻转的只是实链。
  • findroot(x):显然无影响(跳左儿子又没改变树的形态)
  • split(x,y):显然无影响(除了调用三个函数外什么都没干)
  • link(x,y):这就有影响了。y多了一个轻边指向儿子x,那么s[y],si[y]都加上s[x]。注意,多了一个子树,那么y在LCT中的祖先的s也都要加上s[x]的值,却没有得到更新。我们在加上s[x]前,需要额外地把y转到根(access(y)+splay(y)),y就没有祖先了,再加,就不会影响信息的正确性了。
    与原模板略有不同的代码
//保证连边合法
inline void link(int x,int y){
    split(x,y);//这里不是提取x-y的路径的意思,是makeroot+access+splay的偷懒写法
    si[f[x]=y]+=s[x];
    pushup(y);
}
//不保证
inline bool link(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)==x)return 0;//access+splay已完成
    si[f[x]=y]+=s[x];
    pushup(y);
    return 1;
}
  • cut(x,y):无影响,断掉的是一条重边,pushup(y)更新s[y]就好啦。

分析到此完毕。其实好像也就只改了一点点地方。。。。。。不过思路是很巧妙的,值得用心体会。

补充一句,如果要维护子树里的最值,一个套路是在每个节点开一个平衡树维护该节点所有虚子树的最值,以便进行查询和更改。

例题一

洛谷P4219 [BJOI2014]大融合(点击进入题目)
当学会了LCT维护子树信息和以后,这题就变得有些裸了。。。。。。
蒟蒻题解在这里

例题二

洛谷U19464 山村游历(Wander)(点击进入题目)
注:此题为WC模拟赛试题,版权归出题人Philipsweng所有。小蒟蒻觉得这题出得很不错,于是上传至洛谷个人题库,作为例题与大家分享。数据自测,如有问题欢迎反馈。
题目简述:
没有。。。。。。这是一个阅读题,简述的话就等于告诉你怎么做了
仔细读一下题目吧,这道题水平挺高的。
思路分析:
也有点复杂
然而分析完了以后,又变成裸的了。。。。。。
算了,还是单独建一篇随笔吧。
蒟蒻题解在这里

维护树上染色联通块

维护方法要视具体情况分析
可能可以开一个LCT然后把同色的点连起来,这样做思路很简单,但实现起来受局限
也可能有多少颜色就开多少个LCT,然后在对应颜色的LCT中连上
升级操作:修改点的颜色
需要转化模型,可参考下面例题2
再次升级操作:修改链为同一种颜色
Link-Cut-Memphis(雾
看一下发明者Memphis巨佬的博客
以上两种操作都是在ZJOI2018交流课上听到的Orz

例题一

洛谷P3703 [SDOI2017]树点涂色(点击进入题目)
维护连通块并不麻烦,只是思维难度超大。。。。。。
不会树剖,焉知非福?
蒟蒻的题解

例题二

洛谷SP16549 QTREE6 - Query on a tree VI(点击进入题目)
一直都把边化为子节点,这次来把点化为父边(雾
蒟蒻的题解

特殊题型

有一类题目是真的毒瘤,怪异到都几乎认不出它的真面目
似乎并不能把它们归为任何一类LCT题型或者任何一种套路
只好仔细分析题目,发现题目本身的特殊性,再转化为LCT模型解决
然而我什么都分析不出来啊QwQ

例题一

洛谷P3613 睡觉困难综合征
把起床困难综合症——一个按位贪心的题目,完美地套在了LCT中
蒟蒻题解

例题二

洛谷P3348 [ZJOI2016]大森林
新技能get:虚点
离线的转移思路也极为巧妙
蒟蒻题解

例题三

洛谷P4338 [ZJOI2018]历史
ZJOI唯一可做题TAT
不来一些大力结论,根本做不下去。。。。。。
蒟蒻题解

posted @ 2018-08-18 20:21 Flash_Hu 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏