LCT总结——概念篇+洛谷P3690[模板]Link Cut Tree(动态树)(LCT,Splay)

为了优化体验(其实是强迫症),蒟蒻把总结拆成了两篇,方便不同学习阶段的Dalao们切换。

LCT总结——应用篇戳这里

概念、性质简述

首先介绍一下链剖分的概念(感谢laofu的讲课)
链剖分,是指一类对树的边进行轻重划分的操作,这样做的目的是为了减少某些链上的修改、查询等操作的复杂度。
目前总共有三类:重链剖分,实链剖分和并不常见的长链剖分

重链剖分

实际上我们经常讲的树剖,就是重链剖分的常用称呼。
对于每个点,选择最大的子树,将这条连边划分为重边,而连向其他子树的边划分为轻边。
若干重边连接在一起构成重链,用树状数组或线段树等静态数据结构维护。
至于有怎样优秀的性质等等,不在本总结的讨论范畴了(其实是因为本蒟蒻连树剖都不会)

实链剖分

同样将某一个儿子的连边划分为实边,而连向其他子树的边划分为虚边。
区别在于虚实是可以动态变化的,因此要使用更高级、更灵活的Splay来维护每一条由若干实边连接而成的实链。
基于性质更加优秀的实链剖分,LCT(Link-Cut Tree)应运而生。
LCT维护的对象其实是一个森林。
在实链剖分的基础下,LCT资磁更多的操作

  • 查询、修改链上的信息(最值,总和等)
  • 随意指定原树的根(即换根)
  • 动态连边、删边
  • 合并两棵树、分离一棵树(跟上面不是一毛一样吗
  • 动态维护连通性
  • 更多意想不到的操作(可以往下滑一滑)

想学Splay的话,推荐巨佬yyb的博客


LCT的主要性质如下:

  1. 每一个Splay维护的是一条从上到下按在原树中深度严格递增的路径,且中序遍历Splay得到的每个点的深度序列严格递增。
    是不是有点抽象哈
    比如有一棵树,根节点为\(1\)(深度1),有两个儿子\(2,3\)(深度2),那么Splay有\(3\)种构成方式:
    \(\{1-2\},\{3\}\)
    \(\{1-3\},\{2\}\)
    \(\{1\},\{2\},\{3\}\)(每个集合表示一个Splay)
    而不能把\(1,2,3\)同放在一个Splay中(存在深度相同的点)

  2. 每个节点包含且仅包含于一个Splay中

  3. 边分为实边和虚边,实边包含在Splay中,而虚边总是由一棵Splay指向另一个节点(指向该Splay中中序遍历最靠前的点在原树中的父亲)。
    因为性质2,当某点在原树中有多个儿子时,只能向其中一个儿子拉一条实链(只认一个儿子),而其它儿子是不能在这个Splay中的。
    那么为了保持树的形状,我们要让到其它儿子的边变为虚边,由对应儿子所属的Splay的根节点的父亲指向该点,而从该点并不能直接访问该儿子(认父不认子)。

各种操作

\(access(x)\)

LCT核心操作,也是最难理解的操作。其它所有的操作都是在此基础上完成的。
因为性质3,我们不能总是保证两个点之间的路径是直接连通的(在一个Splay上)。
access即定义为打通根节点到指定节点的实链,使得一条中序遍历以根开始、以指定点结束的Splay出现。
蒟蒻深知没图的痛苦qwq
所以还是来几张图吧。
下面的图片参考YangZhe的论文
有一棵树,假设一开始实边和虚边是这样划分的(虚线为虚边)

那么所构成的LCT可能会长这样(绿框中为一个Splay,可能不会长这样,但只要满足中序遍历按深度递增(性质1)就对结果无影响)

现在我们要\(access(N)\),把\(A-N\)的路径拉起来变成一条Splay。
因为性质2,该路径上其它链都要给这条链让路,也就是把每个点到该路径以外的实边变虚。
所以我们希望虚实边重新划分成这样。

然后怎么实现呢?
我们要一步步往上拉。
首先把\(splay(N)\),使之成为当前Splay中的根。
为了满足性质2,原来\(N-O\)的重边要变轻。
因为按深度\(O\)\(N\)的下面,在Splay中\(O\)\(N\)的右子树中,所以直接单方面将\(N\)的右儿子置为\(0\)(认父不认子)
然后就变成了这样——

我们接着把\(N\)所属Splay的虚边指向的\(I\)(在原树上是\(L\)的父亲)也转到它所属Splay的根,\(splay(I)\)
原来在\(I\)下方的重边\(I-K\)要变轻(同样是将右儿子去掉)。
这时候\(I-L\)就可以变重了。因为\(L\)肯定是在\(I\)下方的(刚才\(L\)所属Splay指向了\(I\)),所以I的右儿子置为\(N\),满足性质1。
然后就变成了这样——

\(I\)指向\(H\),接着\(splay(H)\)\(H\)的右儿子置为\(I\)

\(H\)指向\(A\),接着\(splay(A)\)\(A\)的右儿子置为\(H\)

\(A-N\)的路径已经在一个Splay中了,大功告成!
代码其实很简单。。。。。。循环处理,只有四步——

  1. 转到根;
  2. 换儿子;
  3. 更新信息;
  4. 当前操作点切换为轻边所指的父亲,转1
inline void access(int x){
    for(int y=0;x;y=x,x=f[x])
        splay(x),c[x][1]=y,pushup(x);//儿子变了,需要及时上传信息
}

\(makeroot(x)\)

只是把根到某个节点的路径拉起来并不能满足我们的需要。更多时候,我们要获取指定两个节点之间的路径信息。
然而一定会出现路径不能满足按深度严格递增的要求的情况。根据性质1,这样的路径不能在一个Splay中。
Then what can we do?
\(makeroot\)定义为换根,让指定点成为原树的根。
这时候就利用到\(access(x)\)和Splay的翻转操作。
\(access(x)\)\(x\)在Splay中一定是深度最大的点对吧。
\(splay(x)\)后,\(x\)在Splay中将没有右子树(性质1)。于是翻转整个Splay,使得所有点的深度都倒过来了,\(x\)没了左子树,反倒成了深度最小的点(根节点),达到了我们的目的。
代码

inline void pushr(int x){//Splay区间翻转操作
    swap(c[x][0],c[x][1]);
    r[x]^=1;//r为区间翻转懒标记数组
}
inline void makeroot(int x){
    access(x);splay(x);
    pushr(x);
}

关于pushdown和makeroot的一个相关的小问题详见下方update(关于pushdown的说明)

\(findroot(x)\)

\(x\)所在原树的树根,主要用来判断两点之间的连通性(findroot(x)==findroot(y)表明\(x,y\)在同一棵树中)
代码:

inline int findroot(R x){
    access(x); splay(x);
    while(c[x][0])pushdown(x),x=c[x][0];
//如要获得正确的原树树根,一定pushdown!详见下方update(关于findroot中pushdown的说明)
    splay(x);//保证复杂度
    return x;
}

同样利用性质1,不停找左儿子,因为其深度一定比当前点深度小。

\(split(x,y)\)

神奇的\(makeroot\)已经出现,我们终于可以访问指定的一条在原树中的链啦!
split(x,y)定义为拉出\(x-y\)的路径成为一个Splay(本蒟蒻以\(y\)作为该Splay的根)
代码

inline void split(int x,int y){
    makeroot(x);
    access(y);splay(y);
}

x成为了根,那么x到y的路径就可以用\(access(y)\)直接拉出来了,将y转到Splay根后,我们就可以直接通过访问\(y\)来获取该路径的有关信息

\(link(x,y)\)

连一条\(x-y\)的边(本蒟蒻使\(x\)的父亲指向\(y\),连一条轻边)
代码

inline bool link(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)==x)return 0;//两点已经在同一子树中,再连边不合法
    f[x]=y;
    return 1;
}

如果题目保证连边合法,代码就可以更简单

inline void link(int x,int y){
    makeroot(x);
    f[x]=y;
}

\(cut(x,y)\)

\(x-y\)的边断开。
如果题目保证断边合法,倒是很方便。
使\(x\)为根后,\(y\)的父亲一定指向\(x\),深度相差一定是\(1\)。当\(access(y),splay(y)\)以后,\(x\)一定是\(y\)的左儿子,直接双向断开连接

inline void cut(int x,int y){
    split(x,y);
    f[x]=c[y][0]=0;
    pushup(y);//少了个儿子,也要上传一下
}

那如果不一定存在该边呢?
充分利用好Splay和LCT的各种基本性质吧!
正确姿势——先判一下连通性(注意\(findroot(y)\)以后\(x\)成了根),再看看\(x,y\)是否有父子关系,还要看\(y\)是否有左儿子。
因为\(access(y)\)以后,假如y与x在同一Splay中而没有直接连边,那么这条路径上就一定会有其它点,在中序遍历序列中的位置会介于\(x\)\(y\)之间。
那么可能\(y\)的父亲就不是\(x\)了。
也可能\(y\)的父亲还是\(x\),那么其它的点就在\(y\)的左子树中

只有三个条件都满足,才可以断掉。

inline bool cut(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x||f[y]!=x||c[y][0])return 0;
    f[y]=c[x][1]=0;//x在findroot(y)后被转到了根
    pushup(x);
    return 1;
}

如果维护了\(size\),还可以换一种判断

inline bool cut(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x||sz[x]>2)return 0;
    f[y]=c[x][1]=0;
    pushup(x);
    return 1;
}

解释一下,如果他们有直接连边的话,\(access(y)\)以后,为了满足性质1,该Splay只会剩下\(x,y\)两个点了。
反过来说,如果有其它的点,\(size\)不就大于\(2\)了么?


其实,还有一些LCT中的Splay的操作,跟我们以往学习的纯Splay的某些操作细节不甚相同。
包括\(splay(x),rotate(x),nroot(x)\)(看到许多版本LCT写的是\(isroot(x)\),但我觉得反过来会方便些)
这些区别之处详见下面的模板题注释。

update(关于findroot中pushdown的说明)

蒟蒻真的一时没注意这个问题。。。。。。Splay根本没学好
找根的时候,当然不能保证Splay中到根的路径上的翻转标记全放掉。
所以最好把pushdown写上。
Candy巨佬的总结对pushdown问题有详细的分析
只不过蒟蒻后来经常习惯这样判连通性(我也不知道怎么养成的

makeroot(x);
if(findroot(y)==x)//后续省略

这样好像没出过问题,那应该可以证明是没问题的(makeroot保证了x在LCT的顶端,access(y)+splay(y)以后,假如x,y在一个Splay里,那x到y的路径一定全部放完了标记)
导致很久没有发现错误。。。。。。
另外提一下,假如LCT题目在维护连通性的情况中只可能出现合并而不会出现分离的话,其实可以用并查集哦!(实践证明findroot很慢)
这样的例子有不少,比如下面“维护链上的边权信息”部分的两道题都是的。
甚至听到Julao们说有少量题目还专门卡这个常数。。。。。。XZY巨佬的博客就提到了

update(关于pushdown的说明)

我pushdown和makeroot有时候会这样写,常数小一点

void pushdown(int x){
    if(r[x]){
        r[x]=0;
        int t=c[x][0];
        r[c[x][0]=c[x][1]]^=1;
        r[c[x][1]=t]^=1;
    }
}
void makeroot(int x){
    access(x);splay(x);
    r[x]^=1;
}

这种写法等于说当x有懒标记时,x的左右儿子还是反的
那么如果findroot里实在要写pushdown,那么这种pushdown就会出现问题(参考评论区@ zjp_shadow巨佬的指正)
再次update,蒟蒻发现这种问题还是可以避免的,若用这种pushdown,findroot这样写就好啦

inline int findroot(int x){
    access(x);splay(x);
    pushdown(x);
    while(lc)pushdown(x=lc);
    splay(x);
    return x;
}

当题目中维护的信息与左右儿子顺序有关的时候,pushdown如果用这种不严谨写法会是错的(比如[NOI2005]维护数列(这是Splay题)和洛谷P3613 睡觉困难综合征)
再次update,夏丶沐瑾巨佬指出这种问题也是可以避免的,把pushup这样写就好啦

inline void pushup(int x){
    pushdown(lc);pushdown(rc);//加上两个
    //......
}

所以此总结以及下面模板里的pushdown,常数大了一点点,却是更稳妥、严谨的写法

//pushr同上方makeroot部分
void pushdown(int x){
    if(r[x]){
        if(c[x][0])pushr(c[x][0]);//copy自模板,然后发现if可以不写
        if(c[x][1])pushr(c[x][1]);
        r[x]=0;
    }
}
void makeroot(int x){
    access(x);splay(x);
    pushr(x);//可以看到两种写法造成makeroot都是不一样的
}

这种写法等于说当x有懒标记时,x的左右儿子已经放到正确的位置了,只是儿子的儿子还是反的
那么这样就不会出问题啦
两种写法差别还确实有点大呢

模板

洛谷P3690 【模板】Link Cut Tree (动态树)(点击进入题目)
最基本的LCT操作都在这里,也没有更多额外的复杂操作了,确实很模板。

#include<bits/stdc++.h>
#define R register int
#define I inline void
#define G if(++ip==ie)if(fread(ip=buf,1,SZ,stdin))
#define lc c[x][0]
#define rc c[x][1]
using namespace std;
const int SZ=1<<19,N=3e5+9;
char buf[SZ],*ie=buf+SZ,*ip=ie-1;
inline int in(){
    G;while(*ip<'-')G;
    R x=*ip&15;G;
    while(*ip>'-'){x*=10;x+=*ip&15;G;}
    return x;
}
int f[N],c[N][2],v[N],s[N],st[N];
bool r[N];
inline bool nroot(R x){//判断节点是否为一个Splay的根(与普通Splay的区别1)
    return c[f[x]][0]==x||c[f[x]][1]==x;
}//原理很简单,如果连的是轻边,他的父亲的儿子里没有它
I pushup(R x){//上传信息
    s[x]=s[lc]^s[rc]^v[x];
}
I pushr(R x){R t=lc;lc=rc;rc=t;r[x]^=1;}//翻转操作
I pushdown(R x){//判断并释放懒标记
    if(r[x]){
        if(lc)pushr(lc);
        if(rc)pushr(rc);
        r[x]=0;
    }
}
I rotate(R x){//一次旋转
    R y=f[x],z=f[y],k=c[y][1]==x,w=c[x][!k];
    if(nroot(y))c[z][c[z][1]==y]=x;c[x][!k]=y;c[y][k]=w;//额外注意if(nroot(y))语句,此处不判断会引起致命错误(与普通Splay的区别2)
    if(w)f[w]=y;f[y]=x;f[x]=z;
    pushup(y);
}
I splay(R x){//只传了一个参数,因为所有操作的目标都是该Splay的根(与普通Splay的区别3)
    R y=x,z=0;
    st[++z]=y;//st为栈,暂存当前点到根的整条路径,pushdown时一定要从上往下放标记(与普通Splay的区别4)
    while(nroot(y))st[++z]=y=f[y];
    while(z)pushdown(st[z--]);
    while(nroot(x)){
        y=f[x];z=f[y];
        if(nroot(y))
            rotate((c[y][0]==x)^(c[z][0]==y)?x:y);
        rotate(x);
    }
    pushup(x);
}
/*当然了,其实利用函数堆栈也很方便,代替上面的手工栈,就像这样
I pushall(R x){
    if(nroot(x))pushall(f[x]);
    pushdown(x);
}*/
I access(R x){//访问
    for(R y=0;x;x=f[y=x])
        splay(x),rc=y,pushup(x);
}
I makeroot(R x){//换根
    access(x);splay(x);
    pushr(x);
}
int findroot(R x){//找根(在真实的树中的)
    access(x);splay(x);
    while(lc)pushdown(x),x=lc;
    splay(x);
    return x;
}
I split(R x,R y){//提取路径
    makeroot(x);
    access(y);splay(y);
}
I link(R x,R y){//连边
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x)f[x]=y;
}
I cut(R x,R y){//断边
    makeroot(x);
    if(findroot(y)==x&&f[y]==x&&!c[y][0]){
        f[y]=c[x][1]=0;
        pushup(x);
    }
}
int main()
{
    R n=in(),m=in();
    for(R i=1;i<=n;++i)v[i]=in();
    while(m--){
        R type=in(),x=in(),y=in();
        switch(type){
        case 0:split(x,y);printf("%d\n",s[y]);break;
        case 1:link(x,y);break;
        case 2:cut(x,y);break;
        case 3:splay(x);v[x]=y;//先把x转上去再改,不然会影响Splay信息的正确性
        }
    }
    return 0;
}
posted @ 2018-01-21 16:16 Flash_Hu 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏