ds小寄

DS

当个表格放在这里，表示 \(ds\) 的使用范围，有更好的做法就来吊打我吧

下文不区分 \(n,m\)

Problem

区间加，单点查

差分之后转为下面的情况

单点加，区间和

\(bit\) 做到小常数 \(\log\)

单点加的基本都可以用 \(bit\)，不过需要倍增，比如全局 \(rank\) 也是可以做的

区间除法/开根

显然，\(O(\log V)\) 次操作后就变成常数了（开根是 \(O(\log\log V)\) 次），势能分析发现暴力是 \(O(n\log V)\) 的，如果有可能是势能增大的操作需要谨慎使用

区间加线段，单点问一次函数最值

就是李超树，可以 \(O(n+m\log n)\)

单点插入

平衡树即可，一个 \(\log\)

动态维护凸包

用平衡树维护斜率，做到一个 \(\log\)

按 dfs 序遍历树数颜色

用线段树合并做到 \(O(n\log n)\)（启发式合并也是可以的，也都不难写）

区间众数

\(O(n\sqrt n)\) 预处理，\(O(\sqrt n)\) 在线询问

可以偷懒写 \(O(n^\frac{2}{3}m)\) 的

区间逆序对/本质不同逆序对

可以在线的和上面一个复杂度，不过要是可以离线就用莫队吧

区间第 K 大

主席树即可做到 \(O(n\log n+m\log n)\)

单点修，区间第 K 大

树套树做到 \(O(m\log^2n)\) 或者分块做到 \(O(m\sqrt n)\)，因为常数的限制，两者运行表现差不多

单点插，单点修，区间第 K 大

树套树这里要三个 \(\log\)，分块还是 \(O(\sqrt n)\) 的

区间所有子区间

一般都可以莫队，那么是 \(O(m\sqrt n)\) 的

如果关于 \(\min\) 或 \(\max\)，可以考虑笛卡尔树，有时有更快的做法

LCA&LA&RMQ

纯纯的四毛子，\(O(n+m)\)，不过运行速度上和 \(O(n\log n+m)\) 的差不太多（RMQ甚至慢一点）

区间翻转/循环平移

可以定期重构，这样是 \(O(n\sqrt n)\) 的

如果用 \(splay\) 或者 \(treap\) 就可以做到 \(m\log n\)

区间取最大值/历史最大值

名字挺多的算法，反正就是势能分析做到一个 \(\log\)

（区间）最大子段和

维护左边的最大前缀和，右边的最大前缀和，区间的答案，线段树即可做到 \(O(n+m\log n)\)

区间加，区间最大子段和

分块可以做到 \(O(n\sqrt n+m\sqrt n)\)

区间 chkmax，区间最大子段和

线段树维护，记录一下最大前缀变长的临界点，势能分析发现不会变短，然后还是 \(O(n\log n+m\log n)\)

K 维数点

用 cdq 做到 \(O(n\log^{k-1} n)\)，或者 KDT 做到 \(O(n^\frac{2k-1}{k})\)，\(k\) 很大的时候两者其实差不多

区间复制

用可持久化平衡树倍增的维护，可以做到 \(O(m\log n)\)

维护生成树

可以直接 LCT 的话就是 \(O(m\log n)\) 的

动态图连通性

用 AAA 树可以做到 \(O(m\log^2m)\)

动态最小生成树

据说可以 Top Cluster 分块做，具体我也不太会

区间加有线性递推式的数列，区间和

直接维护转移矩阵，线段树即可，\(O(nk^3+mk\log n)\)

多项式函数全局最值，区间修改

首先要只知道 \(n\) 个多项式相交的段数基本是 \(O(n)\) 的，更严格的界要去看 Davenport-Schinzel 序列，这就很吃数学了，和本文没有什么关系

用 KTT 暴力维护，不带修是 \(O(n\log^2 n +m)\) 的

如果修改只有一次函数，那么可以做到 \(O(n\log n+m\log^2n+q\log n)\)

如果修改还有二次函数，那么可以做到 \(O(n\log^2n+m\log^3n+q\log n)\)

用这个可以做到区间加，区间最大子段和的 \(O(n\log^3n+m\log^3n+q\log n)\) 的做法

Trick

线段树的空间

\(r-l= O(\log n)\) 时可以直接暴力展开，最后复杂度不变，空间少 \(20\%\sim30\%\)

分块的端点

这个存下来，用的时候直接访问可以省下除法

分散层叠

不太会用，qwq