数学基础

符号规定

\[\Delta s_k=s_{k+1}-s_k \]

求和

我们都知道不定积分

\[\int fdx=F+C \]

类似地可以定义不定求和

\[\sum a_i\delta i=A+C \]

比如

\[\sum i=n^{\bar2}+C \]

\(C\) 取决于首项

如果我们可以求解出 \(A\),那么这个数列的求和是容易做到的

Gosper算法提供了有限和无限和式的求法

设需要求和的数列为 \(\{t_n\}\) 使用它的前提是

\[\frac{t_{k+1}}{t_k}=\frac {f(k)}{g(k)} \]

其中 \(f(k),g(k)\) 都是关于 \(k\) 的多项式

有限形式

我们整理为

\[\frac {t_{k+1}}{t_k}=\frac{p_{k+1}q_k}{p_kr_{k+1}} \]

满足 \(p_k,q_k,r_k\) 都是多项式，并且不存在

\[q_x=\prod(x+x_i)\\ r_y=\prod(y+y_i)\\ x_i-y_j\in N^* \]

设

\[t_k=T_{k+1}-T_k \]

Gosper算法告诉我们，下面的形式是优秀的

\[T_k=\frac{r_ks_kt_k}{p_k} \]

我们的任务只是求出这样的 \(s_k\) 或证明其不存在（那么这个数列的和式就没有有限的通项）

联立求解

\[\begin{cases} \frac {t_{k+1}}{t_k}=\frac{p_{k+1}\ q_k}{p_kr_{k+1}}\\ T_k=\frac{r_k\ s_k\ t_k}{p_k}\\ t_k=T_{k+1}-T_k \end{cases} \]

解得

\[p_k=q_ks_{k+1}-r_ks_k \]

只需求出多项式 \(s_k\) 即可（实际上，可以证明 \(s_k\) 一定是多项式）

首先我们要确定 \(s_k\) 的次数，分类讨论之后我们可以知道

\[\begin{cases} deg(q_k-r_k)=\operatorname{max}\{deg(q_k),deg(r_k\}\qquad deg(s_k)=deg(p_k)-\operatorname{max}\{deg(q_k),deg(r_k\}\\ otherwise\qquad deg(s_k)=deg(p_k)-deg(q_k)+1 \end{cases} \]

待定系数即可解出答案

举一个大家都会的例子

求 \(\sum \frac{1}{i(i+1)}\)

显然

\[\frac{1}{i(i+1)}=\frac 1i-\frac{1}{i+1} \]

设

\[t_k=\frac {1}{k(k+1)} \]

则

\[\frac {t_{k+1}}{t_k}=\frac{k}{k+2} \]

以 \(p_k=1\) 开始，如果结果不合法，再从 \(q,r\) 中提出连续一段的下降幂

然后这个例子太简单了，直接合法了，于是我们有

\[p_k=1\\ q_k=k\\ r_k=k+1\text{#注意我们的分母处是}r_{k+1} \]

显然 \(deg(s_k)=0\)

待定系数设 \(s_k=a\)

于是

\[1=ks_{k+1}-(k+1)s_k \]

解得 \(a=-1\)

于是

\[\begin{align*} T_k&=\frac{r_ks_kt_k}{p_k}\\ &=-\frac 1k \end{align*} \]

检验一下

\[t_k=\frac{1}{k(k+1)}=T_{k+1}-T_k=-\frac{1}{k+1}+\frac 1k \]

我们用纯粹机械的做法求出了分式裂项