Lyndon 分解 学习笔记

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Lyndon Word 与 Lyndon 分解

\(\text{Lyndon}\) 串：称一个字符串 \(s\) 为 \(\text{Lyndon}\) 串，当且仅当 \(s\) 的字典序严格小于 \(s\) 的所有真后缀。这个定义同样可以描述为，\(s\) 的字典序严格小于 \(s\) 不同于其本身的所有循环同构串。

\(\text{Lyndon}\) 分解：将一个字符串 \(s\) 分解为若干个 \(\text{Lyndon}\) 串 \(s = w_1 w_2 \cdots w_k\)，且满足 \(w_1 \sim w_k\) 在字典序上单调不增。

可以证明，一个字符串的 \(\text{Lyndon}\) 分解存在且唯一。

首先，将一个字符串分解为若干个 \(\text{Lyndon}\) 串（不考虑字典序不增）的方案显然存在，此时直接令每个字符均为一个 \(\text{Lyndon}\) 串即可。

接下来考虑证明，若 \(u, v\) 是 \(\text{Lyndon}\) 串且满足字典序 \(u < v\)，则 \(uv\) 也是 \(\text{Lyndon}\) 串。则等价于证明 \(uv\) 是 \(uv\) 的非平凡循环同构字符串中，字典序的严格最小者。

若一个循环同构串的开头位于 \(uv\) 中 \(u\) 的部分，则该循环同构串存在一个前缀为 \(u\) 的后缀。由于 \(u\) 的字典序 \(< u\) 的任一后缀，因此 \(uv\) 的字典序严格小于该循环同构串。

否则若循环同构穿的开头位于 \(v\) 的部分，由于 \(v\) 的任一后缀字典序 \(> v\) 的字典序，因此只需要考虑循环同构串形如 \(vu\) 的情况。

当 \(u\) 不是 \(v\) 的前缀，则 \(v\) 和 \(u\) 在前 \(\min\{|u|, |v|\}\) 个字符内已有不同字符，因此此时一定满足 \(uv < vu\)。否则若 \(u\) 是 \(v\) 的前缀，假设 \(v < uv\)，则 \(v[|u|+1: |v|] < v\)，与 \(v\) 任一后缀字典序均 \(> v\) 矛盾。

因此可以每次合并两个相邻的字典序递增的 \(\text{Lyndon}\) 串直到不能操作，即可得到一组 \(\text{Lyndon}\) 分解。

Duval 算法

近似 \(\text{Lyndon}\) 串：称一个字符串 \(s\) 是近似 \(\text{Lyndon}\) 串，当且仅当可以将 \(s\) 写成 \(s = www\cdots w\overline{w}\)，其中 \(w\) 是一个 \(\text{Lyndon}\) 串，\(\overline{w}\) 是 \(w\) 的一个前缀。

\(\text{Duval}\) 算法的过程是：将我们需要求解 \(\text{Lyndon}\) 的字符串 \(s\) 分为三个部分 \(s = s_1 s_2 s_3\)，其中 \(s_1\) 的 \(\text{Lyndon}\) 已经求得，\(s_2\) 是一个近似 \(\text{Lyndon}\) 串，\(s_3\) 是我们未处理的部分，通过不断扩展 \(s_1\) 直到整个字符串的 \(\text{Lyndon}\) 分解被求得。

我们可以在算法的过程中动态维护 \(s_2\) 在 \(s\) 中的位置。我们维护指针 \(i\) 表示 \(s_2\) 首字符的位置，\(j\) 表示 \(s_3\) 首字符的位置，\(k\) 表示若将 \(j\) 收入 \(s_2\) 中，它在 \(s_2\) 中上一个循环节的对应位置。接下来考虑处理字符 \(s[j]\)。

• 若 \(s[j] = s[k]\)，则直接将 \(j\) 收入 \(s_2\)，令 \(j \leftarrow j+1, k \leftarrow k+1\) 即可。
• 若 \(s[j] > s[k]\)，则 \(s_2 s[k]\) 成为了一个 \(\text{Lyndon}\) 串。注意由于此时并不知道会不会有其他字典序更大的 \(\text{Lyndon}\) 串并入，因此无法直接将此时的 \(\boldsymbol {s_2}\) 作为 \(\text{Lyndon}\) 分解的一部分加入 \(\boldsymbol{s_1}\)，而是只能将其作为近似 \(\text{Lyndon}\) 串的一个循环节。 此时 \(j \leftarrow j+1, k \leftarrow i\)，表示加入 \(s[j]\) 后 \(s_2\) 变成了一个仅循环一次的近似 \(\text{Lyndon}\) 串。
• 若 \(s[j] < s[k]\)，则若加入 \(s[k]\) 则 \(s_2\) 不再满足近似 \(\text{Lyndon}\) 的性质。此时应该将 \(s_2\) 中的 \(\text{Lyndon}\) 串循环节逐个加入 \(s_1\)，因为此时后面不可能有字典序更大的 \(\text{Lyndon}\) 串拼接。那么由于一个循环节的长度为 \(j - k\)，因此我们每次将 \(s[i: i + j - k - 1]\) 加入 \(\text{Lyndon}\) 分解中，并令 \(i \leftarrow i+j-k\) 即可。

注意到一个字符最多进行 \(3\) 次指针移动的操作，因此时间复杂度为 \(O(n)\)。

实现

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define N 5000006
using namespace std;
int n,ans;
char s[N];
main()
{
  scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
  for(int i=1;i<=n;)
  {
    int j=i+1,k=i;
    for(;j<=n&&s[k]<=s[j];j++)k=(s[k]<s[j]?i:k+1);
    while(i<=k)ans^=i+j-k-1,i+=j-k;
  }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}

Reference

• 题解 P6127 【【模板】Lyndon 分解】- 洛谷专栏 by @wucstdio。
• Lyndon 分解 - OI Wiki。