题解：P5313 [Ynoi2011] WBLT

更差的阅读体验

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@ForgetOIDuck 让我来做这道题，说这题难写难调还卡常。但是除了 bitset 的部分有点细节以外，其他并不是特别难写；然后拍了若干组只找出一个糖错；最后也没有非常严重地被卡常。

总之是非常小清新的一道题，为出题人点赞！！111

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假定序列长度，询问次数，值域同阶。

假设我们手里已经有了区间中出现的数字集合 \(S\)，要如何求出最长的 \(\bmod \space b\) 同余的前缀？

我们可以将 \(S\) 中元素按照值域分组。具体地，\(S_k\) 表示 \(S\) 中属于 \([kb, (k+1) b)\) 的数字构成的子集。那么答案就是最大的 \(k\) 使得 \(S_0 \cap S_1 \cap S_2 \cdots \cap S_{k-1}\) 非空的 \(k\)。

我们没有什么很好的结构来维护集合，因此考虑 bitset。接下来考虑怎么由 \(S\) 分出 \(S_0, S_1, \cdots\)。这个过程可以在 \(O\left(\frac{|S|}{\min(w, b)}\right)\) 的时间内实现。

那么我们使用一个普通莫队动态维护这个 \(S\)。具体地，我们再多维护一个每个数字出现次数的桶，每插入一个数字 \(x\) 的时候，如果这个数字未出现过，就将其插入到 \(S\) 中；每删除一个数字 \(x\) 的时候，如果删掉它之后区间中不存在数字 \(x\) 了，那么就将 \(x\) 从 \(S\) 中删除。

由于 bitset 的 set(x) 操作和 reset(x) 操作都可以做到 \(O(1)\)，因此莫队部分可以在 \(O(n \sqrt n)\) 的时间内解决。到这里我们做到了 \(O\left(n \sqrt n + \sum\frac{n}{\min(w, b)}\right)\)。

这并不好，当 \(b\) 很小的时候就接近 \(O(n^2)\)。我们对 \(b\) 进行阈值分治，如果 \(b > w\) 那么我们就跑刚才的过程，这没问题，是 \(O\left(n \sqrt n + \frac{n^2}{w} \right)\) 的。对于 \(b \le w\) 的情况，我们把询问挂在 \(b\) 上，然后对于所有 \(b\) 相同的询问分别跑一次莫队。具体地，我们维护 \(b\) 个 bitset，对于一个数字 \(x\)，它会被储存在第 \(x \bmod b\) 的第 \(x / b\) 个位置。查询的时候，我们枚举余数 \(i\)，那么余数为 \(i\) 时的答案就相当于是对第 \(i\) 个 bitset 中的元素求 mex。我们知道对一个大小为 \(k\) 的 bitset 求 mex 可以做到 \(O\left(\frac{k}{w} \right)\) 的复杂度。我们需要遍历 \(b\) 个 bitset，每个 bitset 的大小是 \(\frac{n}{b}\)，因此对每一个询问，查询的时间可以做到 \(O\left(b \times \frac{n}{bw}\right) = O\left(\frac{n}{w}\right)\)。

接下来分析跑 \(w\) 次莫队的复杂度，很多题解在这个地方的分析有误。假设 \(b=i\) 的询问有 \(c_i\) 组，那么跑 \(w\) 次莫队的时间应该是 \(O\left(\sum_{i \le w} n \sqrt {c_i}\right)\)。容易发现该式在 \(c_1 = c_2 \cdots = c_w = \frac{n}{w}\) 的时候取 max。此时的复杂度是 \(O\left(wn \sqrt {\frac{n}{w}}\right) = O(n \sqrt{wn})\)。

至此，问题在 \(O\left(n \sqrt{wn} + \frac{n^2}{w}\right)\) 的时间内得到解决。

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由于需要支持将 \(S\) 按照值域划分成若干个子集，因此需要手写 bitset。代码中的 split(l,r) 函数是将原 bitset 的 \([l,r]\) 区间取出来，放到一个新的 bitset 里面的函数。我自认为实现得非常清晰，详见代码。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define N 100006
using namespace std;
using u64=unsigned long long;
u64 all1[65];
struct Bitset {
	int sz,len; vector<u64> b;
	Bitset(int n=0):sz(n) {len=(sz>>6)+1,b.resize(len+5); for(int i=0;i<=len;i++)b[i]=0;}
	inline void set(int i) {b[i>>6]|=1ull<<(i&63);}
	inline void reset(int i) {b[i>>6]&=~(1ull<<(i&63));}
	inline void set() {for(int i=0;i<=len;i++)b[i]=~0ull;}
	inline void reset() {for(int i=0;i<=len;i++)b[i]=0ull;}
	inline bool any() {for(int i=0;i<=len;i++)if(b[i])return 1; return 0;}
	inline void operator &=(Bitset x) {for(int i=0;i<=len&&i<=x.len;i++)b[i]&=x.b[i];}
	inline int mex() {for(int i=0;i<=len;i++)if(~b[i])return (i<<6)|__builtin_ctzll(~b[i]);}
	inline Bitset split(int l,int r)
	{
		int now=0; Bitset res(r-l+1);
		for(int i=l,c=0;i<=r;i+=64,c++)
		{
			int lb=i,rb=min(i+63,r);
			if(!((lb^rb)>>6))
			{
				int bel=lb>>6; lb&=63,rb&=63;
				res.b[c]=(b[bel]<<(63-rb))>>(lb+63-rb);
			} else {
				int bel1=lb>>6,bel2=rb>>6; lb&=63,rb&=63;
				res.b[c]=((b[bel1]>>lb)&all1[63-lb])|((b[bel2]&all1[rb])<<(64-lb));
			}
		}
		return res;
	}
	inline int query(int k)
	{
		Bitset now(k); now.set();
		int ret=0;
		for(int l=0,r;l<=sz;l=r+1,ret++)
		{
			r=l+k-1,now&=split(l,r);
			if(!now.any())break;
		}
		return ret;
	}
};
struct Ask {int l,r,b,id;};
int n,q,Block,a[N],bel[N],ans[N],buc[N];
Bitset bt1(N+N+64),bt2[70];
vector<Ask> ask[70];
inline void add_big(int x) {if(!buc[x]++)bt1.set(x);}
inline void del_big(int x) {if(!--buc[x])bt1.reset(x);}
inline void add_small(int x,int b) {if(!buc[x]++)bt2[x%b].set(x/b);}
inline void del_small(int x,int b) {if(!--buc[x])bt2[x%b].reset(x/b);}
void solve_big()
{
	if(!ask[0].size())return;
	Block=max<int>(1,n/sqrt((int)ask[0].size()));
	for(int i=1;i<=n;i++)bel[i]=(i-1)/Block+1;
	sort(ask[0].begin(),ask[0].end(),[](Ask x,Ask y) {
		if(bel[x.l]!=bel[y.l])return bel[x.l]<bel[y.l];
		return bel[x.l]&1?x.r<y.r:x.r>y.r;
	});
	int lb=1,rb=0;
	for(auto _:ask[0])
	{
		int l=_.l,r=_.r,b=_.b,id=_.id;
		for(;lb>l;add_big(a[--lb]));
		for(;rb<r;add_big(a[++rb]));
		for(;lb<l;del_big(a[lb++]));
		for(;rb>r;del_big(a[rb--]));
		ans[id]=bt1.query(b);
	}
}
void solve_small(int b)
{
	if(!ask[b].size())return;
	Block=max<int>(1,n/sqrt((int)ask[b].size()));
	for(int i=1;i<=n;i++)bel[i]=(i-1)/Block+1;
	for(int i=0;i<N;i++)buc[i]=0;
	for(int i=0;i<b;i++)bt2[i]=Bitset(N/b+1);
	sort(ask[b].begin(),ask[b].end(),[](Ask x,Ask y) {
		if(bel[x.l]!=bel[y.l])return bel[x.l]<bel[y.l];
		return bel[x.l]&1?x.r<y.r:x.r>y.r;
	});
	int lb=1,rb=0;
	for(auto _:ask[b])
	{
		int l=_.l,r=_.r,id=_.id;
		for(;lb>l;add_small(a[--lb],b));
		for(;rb<r;add_small(a[++rb],b));
		for(;lb<l;del_small(a[lb++],b));
		for(;rb>r;del_small(a[rb--],b));
		for(int i=0;i<b;i++)ans[id]=max(ans[id],bt2[i].mex());
	}
}
main()
{
	scanf("%d",&n),all1[0]=1;
	for(int i=1;i<64;i++)all1[i]=all1[i-1]*2+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1,l,r,b;i<=q;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&l,&r,&b);
		if(b>64)ask[0].push_back({l,r,b,i});
		else ask[b].push_back({l,r,b,i});
	}
	solve_big();
	for(int i=1;i<=64;i++)solve_small(i);
	for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}