题解：CF1517F Reunion

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这也太难了，根本不会啊。

首先把贡献为 \(-1\) 的改成 \(0\)，为 \(n\) 的改成 \(n-1\)，这样就不用特判。然后乘上 \(2^n\)，转为求方案数。

我们假设点集 \(S\) 的价值为 \(f(S)\)。那么我们要求的是

\[\sum _S f(S) = \sum_{r = 0}^{n - 1}r \sum_S [f(S)=r] \]

我们觉得 \(\ge\) 比恰好等于好做。所以差分，拆贡献变成

\[\sum_{r = 0}^{n - 1} \sum_S [f(S) \ge r] \]

接下来假设有空的是白点，没空的是黑点。那么存在一个点半径为 \(r\)，也就是存在一个点 \(u\)，离它最近的黑点和他的距离 \(> r\)。我们对每个 \(r\) 计算这个东西的方案数。

我们假设 \(f_{u, i}\) 表示 \(u\) 子树内，到 \(u\) 最近的黑点到 \(u\) 的距离为 \(i\) 的方案数。

假设一个点已经满足了子树内的限制，也就是这个点的子树内，离它最近的黑点到它的距离已经超过 \(r\) 了，那么我们称这个点是好的。显然只有好的点才能成为最后可能的聚会的中心。所以我们还要对每个好的点看看它在上面，也就是子树外面，能不能满足到黑点的距离 \(>r\) 的限制。

所以我们假设 \(g_{u, i}\) 表示 \(u\) 子树，最深的好点到 \(u\) 的距离 \(= i\) 的方案数量。我们之所以关心最深的，是因为最深的限制最松，如果最深的都无法达到距离 \(> r\) 的限制，那么别的点更不可能达到了。

首先有初始值 \(f_{u, 0} = g_{u, 0} = 1\)，如果 \(u\) 被选中为黑点就是赋值给 \(f_{u, 0}\)，如果 \(u\) 是白点那么 \(u\) 就是好的，因此赋值给 \(g_{u, 0}\)。

那么考虑转移，下文中 \(v\) 是 \(u\) 的儿子。

1. 合并 \(f_{u, i}, f_{v, j}\)：这是简单的，只要分别枚举两个子树内最浅的黑点到 \(u\) 的距离 \(i, j\)，合并后的距离是 \(\min(i, j+1)\)。

\[f_{u, \min(i, j+1)} \leftarrow f_{u, i} \cdot f_{v, j} \]

2. 合并 \(g_{u, i}, g_{v, j}\)：同理，枚举两个子树内最深的好点的深度。

\[g_{u, \max(i, j+1)} \leftarrow g_{u, i} \cdot g_{v, j} \]

3. 合并 \(f_{u, i}, g_{v, j}\)。如果 \(j+1+i \le r\)，说明 \(g\) 子树内的好点全部被 \(u\) 子树内的黑点击落了，所以转移到 \(f_{u, i}\)，否则 \(v\) 子树的好点不变，转移到 \(g_{u, j+1}\)。

\[f_{u, i} \leftarrow [j + i + 1 \le r]f_{u, i} \cdot g_{v, j} \]

\[g_{u, j+1} \leftarrow [j + i + 1 > r]f_{u, i} \cdot g_{v, j} \]

4. 合并 \(g_{u, i}, f_{v, j}\)。同 3，如果 \(j+1+i \le r\)，说明 \(u\) 子树内的好点全部被 \(v\) 子树内的黑点击落了，所以转移到 \(f_{v, j+1}\)，否则转移到 \(g_{u, i}\)。

\[f_{u, j+1} \leftarrow [j + i + 1 \le r]g_{u, i}\cdot f_{v, j} \]

\[g_{u, i} \leftarrow [j + i + 1 > r]g_{u, i}\cdot f_{v, j} \]

我们首先枚举 \(r\)，然后跑这个 dp。发现 \(f_{u, i}\) 和 \(g_{u, i}\) 的 \(i\) 都是 \(O(\operatorname{size}_u)\) 级别的，所以可以做到树上背包的复杂度，单个 \(r\) 可以 \(O(n^2)\)。

最后记得除以 \(2^n\)。

那么这道题就做完了，复杂度 \(O(n^3)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define N 306
#define MOD 998244353
using namespace std;
inline void add(int &x,int y) {x+=y,x-=x>=MOD?MOD:0;}
int n,ans,sz[N],f[N][N],g[N][N],tf[N],tg[N];
vector<int> G[N];
void dfs(int u,int fa,int r)
{
	f[u][0]=g[u][0]=sz[u]=1;
	for(int v:G[u])if(v!=fa)
	{
		dfs(v,u,r);
		for(int i=0;i<=sz[u];i++)
			for(int j=0;j<=sz[v];j++)
		{
			add(tf[min(i,j+1)],1ll*f[u][i]*f[v][j]%MOD);
			add(tg[max(i,j+1)],1ll*g[u][i]*g[v][j]%MOD);
			if(i+j+1>r)
			{
				add(tg[i],1ll*g[u][i]*f[v][j]%MOD);
				add(tg[j+1],1ll*f[u][i]*g[v][j]%MOD);
			} else {
				add(tf[i],1ll*f[u][i]*g[v][j]%MOD);
				add(tf[j+1],1ll*g[u][i]*f[v][j]%MOD);
			}
		}
		for(int i=0;i<=sz[u]+sz[v];i++)
			f[u][i]=tf[i],tf[i]=0,g[u][i]=tg[i],tg[i]=0;
		sz[u]+=sz[v];
	}
}
int solve(int r)
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(g,0,sizeof(g));
	dfs(1,0,r); int ret=0;
	for(int i=0;i<n;i++)add(ret,g[1][i]);
	return ret;
}
main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,u,v;i<n;i++)
		scanf("%d%d",&u,&v),G[u].push_back(v),G[v].push_back(u);
	for(int i=1;i<n;i++)add(ans,solve(i));
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=499122177ll*ans%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}