和差化积公式
和差化积公式
公式一 $$\sin a +\sin b$$
一个简单的结论
\[\sin(A+B)+sin(A-B)
\]
\[= 2\sin A \cos B
\]
通过展开我们可以很容易的得到这个结论,利用这个结论可以推出下面的公式
\[\sin a +\sin b
\]
\[= \sin(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2})+\sin(\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2})
\]
\[=2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}
\]
如何区分正负号?
\[2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}
\]
\(\frac{a+b}{2}\)和\(\frac{a-b}{2}\) 容易混淆,如何和\(\sin\)和\(\cos\)匹配是需要关注的问题.
注意到在交换\(a\)和\(b\)后$$\sin a +\cos b$$不变,$$2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} $$也应不变,
若
\[2\sin \frac{a-b}{2} \cos \frac{a+b}{2}
\]
则在交换\(a\)和\(b\)后符号会发生变化
所以\(\frac{a+b}{2}\)和\(\frac{a-b}{2}\) 分别和\(\sin\)和\(\cos\)匹配
公式二 $$\sin a -\sin b$$
\[\sin a -\sin b
\]
只需将上面公式中的\(b\)替换为\(-b\)即可,
\[2\sin \frac{a-b}{2} \cos \frac{a+b}{2}
\]
公式三 $$\cos a +\cos b $$
\[= 2\cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}
\]
公式四 $$\cos a -\cos b $$
\[= -2\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}
\]
积化和差公式
对于这种公式我们主要给出验证的思路
公式一 $$2 \sin a \cos b$$
\[=\sin(a+b)+\sin(a-b)
\]
从和差化积公式中我们可以看出展开的式子里函数名必须相同（sin和sin，cos和cos）
对于这个公式，难记的地方是\(sin(a-b)\)中\(a\)和\(b\)的位置关系.
注意到，\(2 \sin a \cos b\) 中 \(a\) 取\(-a\)时等式后面会变号,而 \(b\)取\(-b\)时不变号,由此可以验证.
公式二 $$ 2 \cos a \sin b$$
\[=\sin(a+b)-\sin(a-b)
\]
和公式一没有任何区别,只是\(a\)和\(b\)的位子换了意思,但是展开式里的符号变成了减号(也是位置变换导致的).
这个公式主要突出这个减号的重要性,作差求和的时候可能会用到.
公式三 $$2 \cos a \cos b$$
\[=\cos(a+b)+\cos(a-b)
\]
这个公式是最简单的,很容易记住.
公式四 $$2 \sin a \sin b$$
\[=-(\cos(a+b)-\cos(a-b))
\]
\(a\)和\(b\)也是对称的.
