MindSpore尝鲜之爱因斯坦求和

技术背景

在前面的博客中，我们介绍过关于numpy中的张量网络的一些应用，同时利用相关的张量网络操作，我们可以实现一些分子动力学模拟中的约束算法，如LINCS等。在最新的nightly版本的MindSpore中也支持了爱因斯坦求和的算子，这是在张量网络中非常核心的一个操作，本文就简单介绍一下MindSpore中使用爱因斯坦求和的方法。

安装最新版的MindSpore

Einsum是在1.6之后的版本才支持的，MindSpore的Master分支就是官网上面的Nightly版本，我们可以安装这个已经实现了爱因斯坦求和算子的版本。

安装指令如下：

python3 -m pip install mindspore-cuda11-dev -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple --upgrade

简单示例

我们可以先将张量缩并，理解成是一个普通的矩阵乘积即可，只是相乘的矩阵维度大小略有区别。可以先看一个简单的案例，再解析其中的原理：

Python 3.9.0 (default, Nov 15 2020, 14:28:56) 
[GCC 7.3.0] :: Anaconda, Inc. on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import os
>>> os.environ['GLOG_v'] = '4' # 设定日志等级，防止屏幕上出现大量的MindSpore告警信息
>>> from mindspore import Tensor, ops
>>> a = Tensor([[1.,2.],[3.,4.]])
>>> b = Tensor([1.,1.])
>>> ein_0 = ops.Einsum('ij,j->i') # 对第二个维度进行缩并
>>> print (ein_0((a,b)))
[3. 7.]
>>> ein_1 = ops.Einsum('ij,i->j') # 对第一个维度进行缩并
>>> print (ein_1((a,b)))
[4. 6.]

原理解析

我们日常所见的矩阵，可以采用张量这样的“章鱼图”表示方法来标记，每一个张量都是一个“章鱼”的头，而矩阵的每一个维度代表一条“章鱼腿”，比如一个维度为\((2,2,2)\)的矩阵，就可以用一只“三条腿的章鱼”来表示。而学习张量网络的时候经常可以看到的如下这张图，就分别用于表示一维、二维和三维的矩阵：

这些是张量的基本概念，而如果我们把“章鱼腿”都连接起来，就表示规定了这个张量的运算方向，张量只能跟相互连接的张量进行缩并（矩阵运算）操作。比如上一个章节中的案例，就可以用这样的一个张量图来表示：

可以看到，这两个矩阵运算之后得到的结果，是一个“单腿”的张量，对应于矩阵运算的维度变化就是：\((2,2)\times(2,)->(2,)\)。如果我们把这个运算推广开来，建立一个带有复杂链接信息的张量拓扑图，那么就得到了一个张量网络。在一个大型的张量网络中，我们不仅可以通过高性能的GPU来加速张量缩并的运算，还有路径搜索和图分解等算法可以进一步加速张量网络缩并，得到我们想要的结果。

我们可以再细化的讲解一下上一个章节中的案例，当我们使用ij,j->i这个路径时，得到的结果的第一个元素为\(a[0]\cdot b=3\)，得到的第二个元素为\(a[1]\cdot b=7\)。当我们使用ij,i->j这个路径时，得到的结果的第一个元素为\(a[:,0]\cdot b=4\)，得到的第二个元素为：\(a[:,1]\cdot b=4\)。从这个过程可以发现，对于二维的张量，其实取不同的“腿”，就是取行和取列运算的区别而已。对于更加高维的张量，我们很难用行、列这样的指标来衡量和理解，但是我们还是可以通过python的这种矩阵运算来理解。更多的参考示例，可以阅读MindSpore的官方文档（参考链接2）。