弹簧的弹力为什么沿着弹簧？

问题背景

虽然这个问题听起来有点奇怪，弹簧的弹力不就应该沿着弹簧吗？——是的，没错。大家中学阶段都学过的，胡克定律，\(F=k(x-x_0)\)，并且这个作用力，在拉伸状态是向内收的，挤压状态，作用力是向外的。还有弹性势能\(E=\frac{1}{2}k(x-x_0)^2\)。是的，这些都没错，但是有没有人想过为什么？这个问题，其实还得从一个简单的微分说起。

关于谐振势的微分

我们都知道力是能量对空间坐标的一个导数，例如如下形式：

\[\textbf{F}=-\frac{d E}{d \textbf{r}} \]

那么对于一个简单的谐振子体系：

我们分析其中一个物体的受力时，有：

\[\textbf{F}_A=-\frac{\partial E}{\partial \textbf{r}_A},\textbf{F}_B=-\frac{\partial E}{\partial \textbf{r}_B} \]

那么这里比较通用的一个势能表达式为：

\[E=\frac{1}{2}k\left[\sqrt{\left(\textbf{r}_A-\textbf{r}_B\right)^2}-r_0\right]^2 \]

可以假定一个向量\(\textbf{q}=\textbf{r}_A-\textbf{r}_B\)，原式可以变换为：

\[E=\frac{1}{2}k\left[\sqrt{q_x^2+q_y^2+q_z^2}-r_0\right]^2 \]

那么就有：

\[\frac{\partial E}{\partial q_x}=k(|\textbf{q}|-r_0)\cdot\frac{1}{2}|\textbf{q}|^{-1}\cdot 2q_x=\left[k(|\textbf{q}|-r_0)\right]\frac{q_x}{|\textbf{q}|} \]

类似的还有：

\[\frac{\partial E}{\partial q_y}=\left[k(|\textbf{q}|-r_0)\right]\frac{q_y}{|\textbf{q}|}\\ \frac{\partial E}{\partial q_z}=\left[k(|\textbf{q}|-r_0)\right]\frac{q_z}{|\textbf{q}|} \]

那么其实，对于整个向量\(\textbf{q}\)的求导来说就是：

\[\frac{d E}{d \textbf{q}}=\left[k(|\textbf{q}|-r_0)\right]\frac{\textbf{q}}{|\textbf{q}|} \]

该式子的前面一项是标量，表示作用力的大小，也就是胡克定律中的计算公式，后边这一项\(\frac{\textbf{q}}{|\textbf{q}|}\)表示A和B之间的单位向量。那么就可以分别去计算两个物体的作用力：

\[\textbf{F}_A=-\frac{\partial E}{\partial \textbf{R}_A}=-\frac{d E}{d \textbf{q}}\frac{\partial \textbf{q}}{\partial \textbf{R}_A} \]

后边这个雅克比矩阵其实就是一个带正负号的单位矩阵，所以简化就是：

\[\textbf{F}_A=-\frac{d E}{d \textbf{q}}=-\left[k(|\textbf{q}|-r_0)\right]\frac{\textbf{q}}{|\textbf{q}|}\\ \textbf{F}_B=\frac{d E}{d \textbf{q}}=\left[k(|\textbf{q}|-r_0)\right]\frac{\textbf{q}}{|\textbf{q}|} \]

此时再论证一下两个作用力的方向性问题。当\(|\textbf{q}|>r_0\)时，\(\textbf{F}_A\)是沿着\(-\textbf{q}\)的方向，\(\textbf{F}_B\)是沿着\(\textbf{q}\)的方向，也就是两个力都向内收。同样的，也可以论证在\(|\textbf{q}|<r_0\)时，两个作用力是沿着弹簧方向向外拉的。

总结概要

本文通过一个简单的微分计算，说明了为什么弹簧对两头的作用力方向总是沿着弹簧方向的。虽然是一个固有的认知，但其实也可以通过简单的计算来进行论证。

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