[题解] P10950 太鼓达人

P10950 太鼓达人

本题有搜索+判重+剪枝的做法，除了复杂度很玄学之外都比较简单，这里提供一种欧拉路解法。

首先，由一个子串转移到下一个子串，只需要在末尾加一位，然后把最高位删掉即可。

于是考虑图论建模，点用二进制表示每个长度为 \(k\) 的子串，边表示子串间的转移关系。

我们想让 \(m\) 最大，就必须经过所有点，点数是 \(2^k\)，因此第一问的答案就是 \(2^k\)。

然而，再往下做，我们发现这是个哈密顿回路，标准NP-Complete问题，那就相当于上面的所有过程全白费了，我们还是得爆搜。

只能转换思路。我们不妨把每个点上的数去掉最后一位，变成 \(k-1\) 位，然后把去掉的最后一位放到边上，这样，每一个子串都可以表示成“点+出边”的形式。现在我们只需要走完所有的边即可。

如下图：

这就成了欧拉路了，不难发现欧拉路一定存在，于是直接跑板子，输出欧拉路的边上的数，结束。

真的结束了吗？

好像并没有，题目要求我们的构造方案要字典序最小，这涉及到起点的选择，如果从一个错误的起点开始跑，就会找到正确答案的循环同构串，不满足要求。

最简单粗暴的方法，就是随便跑出一个序列，然后按P13270 【模板】最小表示法的方法跑出最小表示串输出，但这样太麻烦了，不好用。

首先这个图一定有欧拉路，并且一定得是欧拉回路，那么我们从起点走一个圈又回到起点，不难发现起点状态会出现在最终输出串的末尾 \(k-1\) 位。

为了让字典序最小，我们得把1更多的放到后面，也就是拿1最多的当起点。

于是这个题真的结束了......吗？

还没有。注意位运算操作的优先级问题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int del[(1<<12)];
int st[(1<<12)], buf[20];
int k,ans,tot;

void Dfs(int u){
	for(int i=del[u]; i<=1; i=del[u]){
		del[u]++;
		int v=((u<<1)|i) & ~(1<<(k-1));
		Dfs(v);
		st[++tot]=i;
	}
}
signed main(){
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
	cin>>k;
	cout<<(1<<k)<<" ";
	Dfs((1<<(k-1))-1);
	while(tot>0){
		cout<<st[tot];
		tot--;
	}
	return 0;
}

这次真的结束了