AT_xmascon18_d 学习笔记

这么水的题竟然没有题解。

步入正轨

题意

给定 \(n\) 个 \(k\) 面的骰子，首先，你需要在每个骰子的每个面上填写 \(0\) 到 \(10^9\) 之间的整数。然后，对手先选择一个骰子，接着你从剩下的骰子中选择一个。两人同时掷出所选骰子，点数大的一方获胜；如果点数相同，则对手获胜。双方都采取最优策略以最大化自己的胜率。

你需要给出一种填写骰子的方案，使得在你的填写之后，当双方都最优操作时，你的胜率尽可能大。

设你填写的 \(n\) 个骰子为 \(D_1, D_2, \dots, D_n\)，对手先选择骰子 \(D_i\)，你选择了骰子 \(D_j\) 来和对手对抗，你的胜率为 \(P(D_j > D_i)\)，而对手会选择 \(D_i\) 来最小化你的胜率，所以你的胜率为

\[\min\limits_{i} \max\limits_{j \ne i} P(D_j > D_i) \]

你的目标是设计这个骰子，使上式最大化。

考虑构造两种类型的骰子：

• 常数骰子：\(k\) 面均填同一个数字。
• 平衡骰子：一半填比常数小的数字，一半填比常数大的数字。

将这两种骰子交错排列，可以证明，在这种构造下，对于任意对手选择的骰子，你都可以选择一个相邻的骰子（常数与平衡相邻）使得你的胜率至少为 \(\dfrac{1}{2}\)（当 \(k\) 为偶数时恰好为 \(\dfrac{1}{2}\)，当 \(k\) 为奇数时接近 \(\dfrac{1}{2}\)）。对手为了最小化你的胜率，会选择那个使你最大胜率最小的骰子，而这个最小值至少为 \(\dfrac{1}{2}\)。因此，你的最终胜率至少为 \(\dfrac{1}{2}\)。

按照上面的思路编写代码即可。