CF2117D 学习笔记

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题意

给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(\{a_n\}\)，你可以对这个数组进行以下操作使它所有元素全部为 \(0\)：
对于这个数组可以进行两种操作：

1. 对于数组中所有的元素 \(a_i\)，将 \(a_i\) 减去 \(i\)；
2. 对于数组中所有的元素 \(a_i\)，将 \(a_i\) 减去 \(n-i+1\)。

如果经过若干次操作后可以使整个数组变为 \(0\)，则输出 yes，否则输出 no。

分析

这里给出一个 猎奇 清奇的做法：
设进行第一种操作的次数为 \(x\)，第二种操作的次数为 \(y\)（大家都是这么做的），则 \(\forall 1 \le i \le n\)，

\[a_i = x \cdot i + y \cdot (n - i + 1) \]

稍微整理得

\[a_i = (x - y)i + y(n+1) \]

令

\[k = x - y \]

则

\[a_i = ki+y(n+1) \]

所以数列 \(a_n\) 必须是关于 \(i\) 的一个等差数列，公差为 \(k\)，令公差 \(d=k\)，则

\[a_1=k\cdot1+y(n+1)=d+y(n+1) \]

故

\[y = \frac{a_1-d}{n+1} \]

由于 \(x\) 和 \(y\) 都是非负整数，则必须满足下列条件：

• \(n+1 \mid a_1-d\)
• \(a_1-d \ge 0\)
• \(x=d+y \ge 0\)
• 数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列

才能使整个数组变为 \(0\)，按照这个思路判断即可。
代码我就不放了。