Mermin-Peres game

2026-10-30 09:40:32 星期五
写一点给自己的科普，太难理解物理了.

我们可以通过一个简单的游戏来展示量子纠缠和经典复合系统的本质区别. 下面的游戏称为是quantum pseudotelepathy games之一，仅需要基本的量子理论假设.

游戏规定

两名玩家AB, 还有一名裁判C, 两名玩家被隔离在不同的房间，不得通信，当然他们俩在比赛前随便约定什么都可以. 玩家需要在九宫格里面填数字\(1, -1\), 而且裁判会告诉A填第几行，告诉B填第几列，并且要求A所填的三个数字之积必须是1， B所填的数字之积必须是-1. 填完后玩家把填写结果交给裁判，裁判看的是公共位置上的数字，如果两名玩家“心有灵犀”地填的一样，那么玩家获胜，否则失败.

策略

既然比赛开始了就不能通信了，那玩家两人在比赛开始前串通一气是最好的，玩家干脆在开始前写好一张3*3的公共表格，把上面的数字背下来就行了，在比赛的时候直接默写.

但我们的比赛还有一条规定：要求A所填的三个数字之积必须是1， B所填的数字之积必须是-1. 我们稍加计算就会发现这样的表格根本不存在：设这个公共表格的全部 \(9\) 个元素之积为 \(P = \prod_{i=1}^3 \prod_{j=1}^3 a_{ij}\).

1. 按行乘（Alice 的规则：每行之积为 \(+1\)）：$$P = \prod_{i=1}^3 \left( a_{i1} a_{i2} a_{i3} \right) = (+1) \times (+1) \times (+1) = +1.$$
2. 按列乘（Bob 的规则：每列之积为 \(-1\)）：$$P = \prod_{j=1}^3 \left( a_{1j} a_{2j} a_{3j} \right) = (-1) \times (-1) \times (-1) = -1.$$

这是矛盾的. 实数的乘法满足交换律结合律，P不可能又是1又是-1. 任何经典的表格最多满足8个格子，至少有一个格子，两名玩家会填反. 如果裁判恰好选定了那个格子，那么玩家就输了，所以经典最大胜率只有\(\dfrac{8}{9}\).

Bell态

既然经典的背诵策略不行，我们考虑一个看似麻烦但永远可以赢的策略. 这个想法有点长. 我们先考虑一个粒子，我们用一个2维的复Hlibert空间\(\mathcal{H}\)去描述它的状态，这个粒子有两种基本状态：自旋向上的 \(|\uparrow\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) 和自旋向下的 \(|\downarrow\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 如果手里有两个这样的粒子，想要描述它们的联合状态，就需要用张量积空间$\mathcal{H} \otimes \mathcal{H} $去描述, 有 \(4\) 个标准基底：

\[|\uparrow\uparrow\rangle, \quad |\uparrow\downarrow\rangle, \quad |\downarrow\uparrow\rangle, \quad |\downarrow\downarrow\rangle. \]

现在玩家手里有一对粒子，这对粒子的联合状态用向量

\[|\Psi\rangle_{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\uparrow\rangle + |\downarrow\downarrow\rangle\right) \in \mathcal{H} \otimes \mathcal{H} \]

表示，这个态称为是Bell态.

量子版本的策略

但两名玩家为了这个游戏，需要两对粒子，我们给它们编号：第一对叫 \(A_1B_1\)，第二对叫 \(A_2B_2\)）。

游戏开始前，实验室里制备好了两对独立的 Bell 态：

• 第 1 对光子的状态：

\[|\Psi\rangle_{A_1B_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\uparrow\rangle_{A_1B_1} + |\downarrow\downarrow\rangle_{A_1B_1}\right). \]

• 第 2 对光子的状态：

\[|\Psi\rangle_{A_2B_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\uparrow\rangle_{A_2B_2} + |\downarrow\downarrow\rangle_{A_2B_2}\right). \]

然后把这两对光子做一个张量积，形成了整个游戏里他们共享的量子态 \(|\Psi\rangle\)：

\[|\Psi\rangle = |\Psi\rangle_{A_1B_1} \otimes |\Psi\rangle_{A_2B_2} = \frac{1}{2}\Big(|\uparrow\uparrow\rangle_{A_1B_1} + |\downarrow\downarrow\rangle_{A_1B_1}\Big) \otimes \Big(|\uparrow\uparrow\rangle_{A_2B_2} + |\downarrow\downarrow\rangle_{A_2B_2}\Big). \]

在游戏开始之前，Alice 抱走了粒子 \(A_1\) 和粒子 \(A_2\)（所以 Alice 的手里拿着两个粒子，属于系统 \(A = A_1A_2\)）；Bob 抱走了粒子 \(B_1\) 和粒子 \(B_2\)（所以 Bob 的手里也拿着两个粒子，属于系统 \(B = B_1B_2\)）.

而且两人还一起背了张3* 3的公共表格，这次表格里面填的不是数字了，而且4*4的矩阵

\[\begin{bmatrix} X_{11} & X_{12} & X_{13} \\ X_{21} & X_{22} & X_{23} \\ X_{31} & X_{32} & X_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_0 \otimes \sigma_z & \sigma_z \otimes \sigma_0 & \sigma_z \otimes \sigma_z \\ \sigma_x \otimes \sigma_0 & \sigma_0 \otimes \sigma_x & \sigma_x \otimes \sigma_x \\ -\sigma_x \otimes \sigma_z & -\sigma_z \otimes \sigma_x & \sigma_y \otimes \sigma_y \end{bmatrix} \]

这些矩阵的性质非常的简单，都是自伴算子，而且\(X_{ij}^2 =I_4\). 特征值是\(\pm 1\)

分完之后，Alice 带着她的粒子 \(A_1A_2\) 进了房间 \(A\)；Bob 带着他的粒子 \(B_1B_2\) 进了房间 \(B\), 两人从此断绝一切通信.

A的操作

现在裁判要求A去填写第一行，A 怎么做呢？她手里有一对粒子，这对粒子的状态是：

\[S_A = \operatorname{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|) = \frac{I_4}{4}. \]

处于最大混合态，请注意观察算子表格的第一行，只涉及 \(I, \sigma_z\)。我们算算 \(\sigma_z\) 的特征向量是

\[\sigma_z|\uparrow\rangle = +|\uparrow\rangle, \qquad \sigma_z|\downarrow\rangle = -|\downarrow\rangle. \]

而 \(\sigma_0 = I\) 的特征向量是任意向量，所以第一行三个算子的共同特征向量就是计算基

\[|e_1\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle, \quad |e_2\rangle = |\uparrow\downarrow\rangle, \quad |e_3\rangle = |\downarrow\uparrow\rangle, \quad |e_4\rangle = |\downarrow\downarrow\rangle. \]

现在A手里还有一组测量算子\(M =\{|e_k\rangle\langle e_k| \}_{k=1}^4\). A拿着这个测量仪去测状态\(S_A\), 会随机地得到一个指标\(k\), 得到\(k\)的概率是：

\[p(k) = \operatorname{tr}(S_A M_k)=\dfrac{1}{4}. \]

比方说，A的测量结果是1，然后A就去算\(X_{1j}|e_1\rangle\)分别等于多少，因为\(|e_1\rangle\)都是这些算子的特征向量（简单算一算就知道），所以结果肯定就是\(|e_1\rangle\)的倍数. 我们算出来发现：

\[X_{11}|e_1\rangle = +|e_1\rangle, \quad X_{12}|e_1\rangle = +|e_1\rangle, \quad X_{13}|e_1\rangle = +|e_1\rangle. \]

那么A就把（1，1，1）抄在第一行就行了.

B的操作

下面看 B 的操作：裁判要求 B 去写第一列，那么 B 就需要先找一组测量算子，怎么找呢？回到那张算子表，我们看第一列都是什么算子：

\[X_{11} = \sigma_0 \otimes \sigma_z, \quad X_{21} = \sigma_x \otimes \sigma_0, \quad X_{31} = -\sigma_x \otimes \sigma_z. \]

发现第一列其实只涉及 \(I, \sigma_x, \sigma_z\). 单位算子不必管，我们去算剩下两个算子的特征向量就好了. \(\sigma_z\) 在第二个粒子上，特征向量是

\[\sigma_z|\uparrow\rangle = +|\uparrow\rangle, \qquad \sigma_z|\downarrow\rangle = -|\downarrow\rangle; \]

\(\sigma_x\) 在第一个粒子上，特征向量是

\[|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle\big), \qquad |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\rangle - |\downarrow\rangle\big), \]

满足 \(\sigma_x|\pm\rangle = \pm|\pm\rangle\). 因此第一列三个算子的共同特征基是

\[|f_1\rangle = |+\rangle \otimes |\uparrow\rangle, \quad |f_2\rangle = |+\rangle \otimes |\downarrow\rangle, \quad |f_3\rangle = |-\rangle \otimes |\uparrow\rangle, \quad |f_4\rangle = |-\rangle \otimes |\downarrow\rangle. \]

那么接下来 B 也是需要进行测量的，看输出哪个指标 m,然后填对应的特征值.但前面 A 已经测量过了，
以 A 测得\(k=1\)为例，A 手里的两个粒子状态是自旋向上的，而他们在制备的时候，是制备的 Bell 态，也就是说，第1对粒子(\(A_1B_1\))是\(\frac1{\sqrt2}(|\uparrow\rangle_{A_1}|\uparrow\rangle_{B_1}+|\downarrow\rangle_{A_1}|\downarrow\rangle_{B_1})\),也就是说：在A测得\(A_1\)是个的条件下，\(B_1\)必定也是\(\uparrow\)。第 2 对粒子也是\(\frac1{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle_{A_2}|\uparrow\rangle_{B_2}+|\downarrow\rangle_{A_2}|\downarrow\rangle_{B_2})\),也就是说：在A测得\(A_2\)是个的条件下，\(B_{2}\)就必定也是\(\uparrow\).
B 手里的两颗粒子\(B_1B_2\)在这一瞬间在 A 测得\(k=1\)的条件下必然也处于两颗全朝上的状态：\(|\uparrow\uparrow\rangle_B\). 对应的量子态是$S_B = |\uparrow\uparrow\rangle_B\langle\uparrow\uparrow|_B. $

好的，那么我们继续去算 B 的测量仪器输出 \(m\) 的概率：

\[p(m) = \operatorname{tr}\big(S_B |f_m\rangle\langle f_m|\big) = \big|\langle f_m|\uparrow\uparrow\rangle_B\big|^2. \]

\[p(1) = \frac12, \quad p(2) = 0, \quad p(3) = \frac12, \quad p(4) = 0. \]

测量仪等概率地输出1或者3，我们就去看看输出1，然后怎么做，那我们把算子\(X_{i1}\)作用在\(f_1\)上，发现输出的结果是：

\[X_{11}|f_1\rangle = +|f_1\rangle, \quad X_{21}|f_1\rangle = +|f_1\rangle, \quad X_{31}|f_1\rangle = -|f_1\rangle. \]

B 把结果(1,1,-1)抄上去.

裁判拿到两人的结果，发现重合的那个格子（1，1），俩人都写的是1，玩家胜利.

结语

写到这其实不算完，毕竟只是挑了一个例子来写，但这个策略本身的设计是非常巧妙的，它借助了量子纠缠的特点，而且一开始的算子表格也是有心设计的. 这个表格保证了两人填写的结果一定符合规则. 笔者想写的是：为什么两人的交点填写的必然是同一个数字？这需要用到一个结论（需要证明，但快要周末嘛，我要休息了）：

\[\left(X_{ij}^A\otimes X_{ij}^B\right)|\Psi\rangle=+1\cdot|\Psi\rangle. \]

既然\((X_{ij}^A\otimes X_{ij}^B)|\Psi\rangle=|\Psi\rangle\),那么如果 A 抽中\(|e_k\rangle\) (对应特征值\(\lambda_j\))且B抽中\(|f_m\rangle\)
(对应特征值 \(\mu_i)\) ,我们来算他俩同时发生的概率\(\langle e_k,f_m\mid\Psi\rangle:\)

\[\langle e_k,f_m\mid\Psi\rangle=\langle e_k,f_m\mid(X_{ij}^A\otimes X_{ij}^B)\mid\Psi\rangle=\lambda_j\mu_i\langle e_k,f_m\mid\Psi\rangle \]

如果 A 填的数和 B 填的数不一样（即一个 \(+1\) 一个 \(-1\)，乘积 \(\lambda_j\mu_i = -1\)），上面这个式子就变成了：

\[\langle e_k, f_m \mid \Psi\rangle = -\langle e_k, f_m \mid \Psi\rangle \implies \langle e_k, f_m \mid \Psi\rangle = 0. \]

内积等于 \(0\)，就意味着所有“A 和 B 填的数不一样”的组合 \((k,m)\)，它们被同时抽中的联合概率 \(\left|\langle e_k, f_m \mid \Psi\rangle\right|^2\) 等于 \(0\).