随机过程 | 一般马氏过程

2026-08-20 21:50:03 星期四
回学校了，刚回所啥也不熟悉，下周会议，九月考试...

3.1.1 马氏过程对应的半群

1 半群性质 强连续中心

Proposition 3.1.1

1. \(P_{s,t}\) 为压缩算子.
2. \(P_{s,t}\) 为正算子：\(\forall f \geq 0\)，\(P_{s,t}f \geq 0\).
3. \(P_{s,s} = \mathrm{Id}\).
4. 半群性质：\(P_{r,t}P_{s,r} = P_{s,t}\).

Proof.

1. 已证.
2. \(P_{s,t}f(x) = \int_S f(y) P(s,x,t,dy) \geq 0\).
3. \(P_{s,s}f(x) = \int_S f(y) P(s,x,s,dy) = \int_S f(y) \delta_x(dy) = f(x)\).
4. 需要 CK 方程：
   \[P(s,x,t,A) = \int_S P(r,y,t,A) P(s,x,r,dy). \]
   于是
   \[\begin{aligned} (P_{r,t}P_{s,r}f)(x) &= P_{r,t}(P_{s,r}f)(x) \\ &= \int_S (P_{s,r}f)(y) P(r,x,t,dy) \\ &= \int_S \left( \int_S f(z) P(s,y,r,dz) \right) P(r,x,t,dy) \\ &= \int_S f(z) \int_S P(s,y,r,dz) P(r,x,t,dy) \\ &= \int_S f(z) P(s,x,t,dz) \\ &= P_{s,t}f(x). \end{aligned} \]

下面都考虑时齐的情况：

\[P(s,x,t,A) = P(0,x,t-s,A) \triangleq P_{t-s}(x,A), \]

\[P_t f(x) = P_0 f(x) = \int_S f(y) P(0,x,t,dy) \triangleq \int_S f(y) P_t(x,dy). \]

Definition 3.1.2（强连续中心）

\[\mathcal{B}_0 = \left\{ f \in \mathcal{B}_b \mid \|P_t f - f\| \to 0 \text{ as } t \to 0 \right\}. \]

若 \(\mathcal{B}_0 = \mathcal{B}_b\)，则称 \(\{P_t\}_{t \ge 0}\) 为 \(C_0\) 半群.

Proposition 3.1.3

1. \(\mathcal{B}_0\) 为 \(\mathcal{B}_b\) 的闭子空间.
2. \(P_t \mathcal{B}_0 \subset \mathcal{B}_0\)，即 \(\mathcal{B}_0\) 为不变子空间.
3. \(\forall f \in \mathcal{B}_0\)，\(t \mapsto P_t f\) 是连续的.
4. \(\{P_t\}_{t \ge 0}\) 是 \(C_0\) 半群.

Proof.

1. 任取一列 \(\{f_n\}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{B}_0\)，若 \(\|f_n - f\| \to 0\) 收敛于 \(f\). 下证 \(f \in \mathcal{B}_0\)：

   \[\|P_t f - f\| \le \|P_t f - P_t f_n\| + \|P_t f_n - f_n\| + \|f_n - f\| \]
   \[\le \|P_t\| \|f_n - f\| + \|P_t f_n - f_n\| + \|f_n - f\| \le 2\|f_n - f\| + \|P_t f_n - f_n\| \to 0 \quad (\text{as } n \to \infty). \]

   \(\therefore f \in \mathcal{B}_0\).

2. \(\forall f \in \mathcal{B}_0\)，\(\forall s > 0\)：

   \[\|P_s(P_t f) - P_t f\| = \|P_t(P_s f) - P_t f\| \le \|P_s f - f\| \to 0 \quad (s \to 0). \]

3. 取 \(t_n \to t\)，

   \[\|P_{t_n} f - P_t f\| = \|P_t(P_{t_n-t} f - f)\| \le \|P_{t_n-t} f - f\| \to 0. \]

4. 由前 3 条性质即得.

Definition 3.1.4（无穷小生成元）
令

\[D(L) = \left\{ f \in \mathcal{B}_0 \mid \lim_{t \to 0} \frac{P_t f - f}{t} \text{ 在 } (\mathcal{B}_0, \|\cdot\|) \text{ 中存在} \right\}. \]

若 \(f \in D(L)\)，则

\[Lf = \lim_{t \to 0} \frac{P_t f - f}{t}, \]

\(L\) 称为无穷小生成元.

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Proposition 3.1.5

1. \(D(L)\) 在 \(\mathcal{B}_b\) 中稠密，且 \(L(D(L)) \subset \mathcal{B}_b\).
2. \(P_t(D(L)) = D(L)\)，\(\forall t \geq 0\).
3. \(\forall f \in D(L)\)，\(P_t f\) 关于 \(t\) 可微，且
   \[\frac{d}{dt} P_t f = L P_t f = P_t L f. \]

Proof.

1. 我们先证 \(L(D(L)) \subset \mathcal{B}_b\)：\(\forall f \in D(L)\)，由 \(D(L)\) 定义，

   \[Lf = \lim_{t \to 0} \frac{P_t f - f}{t} \]

   在 \((\mathcal{B}_b, \|\cdot\|)\) 中存在. 而每一个 \(\frac{P_t f - f}{t} \in \mathcal{B}_b\). 由 Proposition 3.1.3 (1) 可知，极限 \(Lf \in \mathcal{B}_b\). 所以 \(L(D(L)) \subset \mathcal{B}_b\).

   下面证明 \(D(L)\) 在 \(\mathcal{B}_b\) 中稠密：稠密的定义是，\(\forall f \in \mathcal{B}_b\)，我们都可以找到 \(D(L)\) 中的一个序列去逼近 \(f\). 下面我们构造这样的序列：
   定义

   \[\frac{1}{h} \int_0^h P_s f \, ds, \quad h > 0. \]

   (1)

   \[\left\| \frac{1}{h} \int_0^h P_s f \, ds - f \right\| = \left\| \frac{1}{h} \int_0^h (P_s f - f) \, ds \right\| \leq \frac{1}{h} \int_0^h \|P_s f - f\| \, ds \to 0 \]

   （因为 \(f \in \mathcal{B}_b\)）.

   (2) \(\displaystyle \frac{1}{h} \int_0^h P_s f \, ds \in D(L)\).
   更简单地，我们证明 \(\displaystyle \int_0^h P_s f \, ds \in D(L)\)，按定义，记

   \[f_h = \int_0^h P_s f \, ds. \]

   证明 \(\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{P_t f_h - f_h}{t}\) 存在.

   \[\begin{aligned} \frac{P_t f_h - f_h}{t} &= \frac{1}{t} \left[ P_t \left( \int_0^h P_s f \, ds \right) - \int_0^h P_s f \, ds \right] \\ &= \frac{1}{t} \left( \int_0^h P_{t+s} f \, ds - \int_0^h P_s f \, ds \right) \\ &= \frac{1}{t} \left( \int_t^{t+h} P_u f \, du - \int_0^h P_s f \, ds \right) \\ &= \frac{1}{t} \left( \int_h^{t+h} P_u f \, du - \int_0^t P_s f \, ds \right) \\ &= \frac{1}{h} \left( \frac{1}{t} \int_h^{t+h} P_u f \, du - \frac{1}{t} \int_0^t P_s f \, ds \right). \end{aligned} \]

   令 \(t \to 0\)，

   \[\begin{aligned} \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \int_h^{t+h} P_u f \, du &= \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \int_0^t P_{u+h} f \, du \\ &= \lim_{t \to 0} P_h \left( \frac{1}{t} \int_0^t P_u f \, du \right) \\ &= P_h \left( \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \int_0^t P_u f \, du \right) \\ &= P_h f. \end{aligned} \]
   \[\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \int_0^t P_s f \, ds = f. \]

   综上，

   \[\lim_{t \to 0} \frac{P_t f_h - f_h}{t} = \frac{1}{h} (P_h f - f) \in \mathcal{B}_b. \]

   \(\therefore \displaystyle \frac{1}{h} \int_0^h P_s f \, ds \in D(L)\).

   综上，\(D(L)\) 在 \(\mathcal{B}_b\) 中稠密.

2. 任取 \(f \in D(L)\)，\(t > 0\). 考虑 \(P_t f\) 是否属于 \(D(L)\)?

   \[\frac{P_h(P_t f) - P_t f}{h} = P_t \left( \frac{P_h f - f}{h} \right). \]
   \[\left\| \frac{P_h(P_t f) - P_t f}{h} \right\| = \left\| P_t \left( \frac{P_h f - f}{h} \right) \right\| \leq \left\| \frac{P_h f - f}{h} \right\|. \]

   由于 \(f \in D(L)\)，所以

   \[Lf = \lim_{h \to 0} \frac{P_h f - f}{h} \]

   在 \((\mathcal{B}_b, \|\cdot\|)\) 中存在.

   \[\left\| P_t \left( \frac{P_h f - f}{h} \right) - P_t L f \right\| \leq \left\| \frac{P_h f - f}{h} - L f \right\| \to 0 \quad (h \to 0). \]

   \(\therefore P_t f \in D(L)\). 即 \(P_t(D(L)) \subset D(L)\)，而且 \(L(P_t f) = P_t(L f)\).

3. 要证 \(P_t f\) 关于 \(t\) 可微，即证明左右导数存在且相等.

   (1) 右导数：

   \[\lim_{h \to 0+} \frac{P_{t+h} f - P_t f}{h} = \lim_{h \to 0+} \frac{P_h(P_t f) - P_t f}{h} = L(P_t f) = P_t(L f). \]

   (2) 左导数：
   考虑 \(0 < h < t\).

   \[\begin{aligned} \frac{P_t f - P_{t-h} f}{h} - P_t L f &= P_{t-h} \left( \frac{P_h f - f}{h} - P_h L f \right) \\ &= P_{t-h} \left( \frac{P_h f - f}{h} - L f \right) + \left( P_{t-h}(L f) - P_t(L f) \right). \end{aligned} \]

   那么

   \[\left\| \frac{P_t f - P_{t-h} f}{h} \right\| \leq \left\| \frac{P_h f - f}{h} - L f \right\| + \left\| P_{t-h}(L f) - P_t(L f) \right\|. \]

   令 \(h \to 0+\)，由于 \(Lf = \lim_{h \to 0+} \frac{P_h f - f}{h}\)，故 RHS 中第一项趋于 0.
   又由于 Proposition 3.1.3，\(P_{t-h}(L f) \to P_t(L f)\)，第二项也趋于 0.
   所以左导数存在且等于 \(P_t(L f)\).

   综上，\(\displaystyle \frac{d}{dt} P_t f = L P_t f = P_t L f\).

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2 预解算子族