随机过程 | 马氏过程 2.3 连续时间马氏链

2026-08-16 21:01:26 星期日
其实四月份的时候写过一点点，不想改了，重写一份吧~

2.3 连续时间马氏链

基本假设：\(T=[0,+\infty)\)，\(X_t:(\Omega,\mathcal{F})\to(S,\mathcal{S})\)，\(S=\{i,j,k\cdots\}\)，\(\{X_t\}_{t\in T}\)为时齐的马氏链.
其转移矩阵满足： \(P(t)=\big(P_{ij}(t)\big)_{i,j\in S}\):

1. 非负 \(P_{ij}(t)\geq 0\).
2. 归一 \(\sum_{j\in S}P_{ij}(t)=1\).
3. CK方程 \(P(t+s)=P(t)P(s)\).
4. 标准 \(\lim_{t\downarrow 0}P(t)=I\).

Remark 2.3.1

1. \(\forall i\in S\)，\(\forall t>0\)，一定有 \(P_{ii}(t)>0\).
2. \(\forall t>0\)，
   \[P_{ij}(t) = \sum_{k \in S} P_{ik}(t) \delta_{kj} = \sum_{k \in S} \delta_{ik}P_{kj}(t). \]

Proof.

1. 由CK方程，\(P_{ii}(t)=\sum_{k}P_{ik}(\frac{t}{n})P_{ki}(\frac{t}{n})\geq \left[P_{ii}\left(\frac{t}{n}\right)\right]^2\). 所以有:

   \[P_{ii}(t)\geq \left[P_{ii}\left(\frac{t}{n}\right)\right]^n \xrightarrow[\text{由定义4}]{\text{取 } n \text{ 充分大}} >0 \]

   （取\(n>>1\)，使得 \(P_{ii}(\frac{t}{n})>\frac{1}{2}\)）.

2. \(\forall t>0\)，

   \[P_{ij}(t+h)=\sum_{k\in S}P_{ik}(t)P_{kj}(h)\xrightarrow[\text{DCT}]{h\downarrow 0}\sum_{k\in S}P_{ik}(t) \delta_{kj}. \]

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Definition 2.3.2 方阵 \(Q=(q_{ij})_{i,j\in S}\) 称为 \(Q\) 矩阵，若

1. \(q_{ii}=-q_i\leq 0\).
2. \(0\leq q_{ij}<\infty\) \(\quad i\neq j\).
3. \(\sum_{j\neq i}q_{ij}\leq q_i\) \(\quad \forall i\in S\).

Definition 2.3.3 \(Q\) 矩阵若满足 \(\sum_{j\neq i}q_{ij}=q_i\)，\(\forall i\in S\)，则称 \(Q\) 矩阵是保守的.

Definition 2.3.4 若 \(Q\) 矩阵给定，一个马氏链的转移矩阵为 \((P_{ij}(t))_{i,j\in S}\)，且 $ P'(0+)=Q$，则称 \(P(t)\) 对应的马氏链是 \(Q\) 过程.

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Proposition 2.3.5 设 \(S=\{1,2,\cdots,N\}\)，若 \(S\) 上的马氏链 \(P(t)\) 是标准的，则其 \(Q\) 矩阵一定保守，\(P'(t)=\big(P'_{ij}(t)\big)_{i,j\in S}=P(t)Q=QP(t)\)， 而且 \(P(t)=e^{Qt}\).

Proof.

1. 先证 \(Q\) 矩阵保守.

   由于 \(\sum_{j=1}^N P_{ij}(t)=1\)，那么

   \[0=\lim_{t\downarrow 0}\frac{\sum_{j=1}^N P_{ij}(t)-\sum_{j=1}^N \delta_{ij}}{t}=\lim_{t\downarrow 0}\sum_{j=1}^N \frac{P_{ij}-\delta_{ij}}{t}=\sum_{j=1}^N q_{ij}. \]

   \(\therefore \sum_{j\neq i}q_{ij}=-q_{ii}=q_i\)，\(Q\) 矩阵保守.

2. \(P'(t)=P(t)Q=Q P(t)\).
   我们从 \(P'(t)\) 的元素出发：

   \[\begin{aligned} P_{ij}'(t) &= \lim_{h\to 0} \frac{P_{ij}(t+h)-P_{ij}(t)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\sum_{k=1}^N P_{ik}(t)P_{kj}(h)-\sum_{k=1}^N P_{ik}(t)\delta_{kj}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \sum_{k=1}^N P_{ik}(t)\frac{P_{kj}(h)-\delta_{kj}}{h} \\ &= \sum_{k=1}^N P_{ik}(t)q_{kj} \end{aligned} \]

   即 \(P'(t)=P(t)Q\)，另一方面：

   \[\begin{aligned} P_{ij}'(t) &= \lim_{h\to 0} \frac{P_{ij}(t+h)-P_{ij}(t)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\sum_{k=1}^N P_{ik}(h)P_{kj}(t)-\sum_{k=1}^N \delta_{ik}P_{kj}(t)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \sum_{k=1}^N \left(\frac{P_{ik}(h)-\delta_{ik}}{h}\right)P_{kj}(t) \\ &= \sum_{k=1}^N q_{ik}P_{kj}(t) \end{aligned} \]

   所以 \(P'(t)= Q P(t)\).

3. \(P(t)=e^{tQ}\).

   \[\begin{aligned} P'(t)-Q P(t)&=0 \\ e^{-Qt}P'(t)-e^{-Qt}Q P(t)&=0 \\ \frac{d}{dt}\left(e^{-Qt}P(t)\right)&=0 \\ \Rightarrow e^{-Qt}P(t)&=C \end{aligned} \]

   而 \(P(0)=I\) \(\Rightarrow\) \(C=I\), \(\quad P(t)=e^{Qt}\).