SDE | EM method 均方收敛阶的计算问题

2026-06-14 19:59:54 星期日

本节讨论EM method的均方收敛阶问题.

对于EM格式，我们之前没有借助其他定理，直接计算出它的均方收敛阶是1/2，但在具体的情形中，阶可能会提高.

方程介绍

我们主要讨论两种类型的方程：乘性噪声和加性噪声.

• 加性噪声对应方程：$$dX_t = f(X_t) dt + \sigma dB_t$$或者$$dX_t = f(X_t) dt + \sigma(t) dB_t$$总之\(\sigma\)和\(X_t\)没关系.
• 乘性噪声对应方程：$$dX_t = f(X_t) dt + \sigma(X_t) dB_t$$

EM method 均方收敛阶计算

1. 加性噪声
   SDE:

\[dX_t = f(X_t) dt + \sigma dB_t \]

数值格式:

\[\overline{X}_{n+1} = \overline{X}_n + f(\overline{X}_n)\Delta t + \sigma\Delta_{n+1} B \]

一步逼近:

\[\overline{X}^{t,x}(t+\Delta t) = x + f(x)\Delta t + \sigma(B(t+\Delta t)-B(t)) \]

\[X^{t,x}(t+\Delta t) - \overline{X}^{t,x}(t+\Delta t) = \int_{t}^{t+\Delta t} \big( f(X^{t,x}(s)) - f(x) \big) ds \]

计算 \(p_2\):

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\big| X^{t,x}(t+\Delta t) - \overline{X}^{t,x}(t+\Delta t) \big|^2 &= \mathbb{E}\left| \int_{t}^{t+\Delta t} \big( f(X^{t,x}(s)) - f(x) \big) ds \right|^2 \\ &\leq \Delta t \int_{t}^{t+\Delta t} \mathbb{E}\big| f(X^{t,x}(s)) - f(x) \big|^2 ds \quad \text{(Cauchy-Schwarz 与 Fubini)} \\ &\leq C \Delta t \int_{t}^{t+\Delta t} \mathbb{E}\big| X^{t,x}(s) - x \big|^2 ds \quad \text{(Lipschitz 条件)} \\ &\leq C (1+|x|^2) (\Delta t)^3 \quad \text{(由 } \mathbb{E}|X^{t,x}(s)-x|^2 \leq C(1+|x|^2)(s-t) \text{)} \end{aligned} \]

因此 \(p_2 = \frac{3}{2}\).

计算 \(p_1\):

\[\left| \mathbb{E}\big( X^{t,x}(t+\Delta t) - \overline{X}^{t,x}(t+\Delta t) \big) \right| = \left| \mathbb{E}\left( \int_{t}^{t+\Delta t} \big( f(X^{t,x}(s)) - f(x) \big) ds \right) \right| \]

对 \(f(X^{t,x}(s)) - f(x)\) 使用 Itô 公式:

\[f(X^{t,x}(s)) - f(x) = \int_{t}^{s} \left( f'(X^{t,x}(r)) f(X^{t,x}(r)) + \frac{\sigma^2}{2} f''(X^{t,x}(r)) \right) dr + \int_{t}^{s} \sigma f'(X^{t,x}(r)) dB_r \]

取期望：

\[\mathbb{E}\big( f(X^{t,x}(s)) - f(x) \big) = \mathbb{E}\left( \int_{t}^{s} \left( f'(X^{t,x}(r)) f(X^{t,x}(r)) + \frac{\sigma^2}{2} f''(X^{t,x}(r)) \right) dr \right) \]

代回原式：

\[\begin{aligned} LHS &= \left| \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{t}^{s} \mathbb{E}\left[ f'(X^{t,x}(r)) f(X^{t,x}(r)) + \frac{\sigma^2}{2} f''(X^{t,x}(r)) \right] dr ds \right| \\ &\leq \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{t}^{s} \mathbb{E}\left| f'(X^{t,x}(r)) f(X^{t,x}(r)) + \frac{\sigma^2}{2} f''(X^{t,x}(r)) \right| dr ds \\ &\leq C \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{t}^{s} \mathbb{E}\big( 1 + |X^{t,x}(r)|^2 \big) dr ds \\ &\leq C \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{t}^{s} \big( \mathbb{E}|1 + X^{t,x}(r)|^2 \big)^{1/2} dr ds \\ &\leq C (1 + |x|^2)^{1/2} (\Delta t)^2 \end{aligned} \]

因此 \(p_1 = 2\).

由基本均方收敛定理，此时EM格式的阶是1，比我们之前计算的结果提高了1/2.

2. 乘性噪声情形
   阶是1/2，没有提高.

\(\theta - EM method\) 均方收敛阶的计算

1. 加性噪声情形下， 阶为1
2. 乘性噪声情形下， 阶为1/2.