SDE | 随机积分 (1)

2026-06-03 16:24:40 星期三
上一节wiener积分，我们关注的是确定的函数 \(f\), 与\(\omega\) 没有关系，现在我们考虑函数\(f(t, \omega)\), 如何定义积分\(\int_a^b f(t,\omega) dB(t,\omega)\)，并且使得\(M(t) = \int_a^t f(s, \omega) \, dB(s, \omega)\)关于 \(\{ \mathcal{F}_t \}_{t \in [a,b]}\) 是鞅.

Theorem 1. 给定剖分 \(\Delta_n\)，在 \(L^2(\Omega)\) 意义下，

\[\lim_{\|\Delta_n\| \to 0} \sum_{i=1}^n \big( B(t_i) - B(t_{i-1}) \big)^2 = b - a. \]

\(\parallel\Delta_{n}\parallel=\max_{1\leq i\leq n}(t_{i}-t_{i-1})\).

证明：

\[\Phi_{n}=\sum_{i=1}^{n}[(B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2}-(t_{i}-t_{i-1})] \]

记 \((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2}-(t_{i}-t_{i-1})=X_i\).

Aim: \(E\Phi_n^2 \xrightarrow{n\to\infty} 0\).

\[E\Phi_n^2 = E\big( \sum_i X_i \big)^2 = \sum_{i,j} E(X_i X_j)=\sum_i E(X_i^2). \]

最后一个等号是由于 Brownian motion 的独立增量性，当 \(i \neq j\) 时 \(E(X_i X_j) = E(X_i) E(X_j) = 0\).

\[\begin{aligned} E ( X _ { i } ^ { 2 } ) &= E \left( \big( B ( t _ { i } ) - B ( t _ { i - 1 } ) \big) ^ { 4 } - 2 ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) \big( B ( t _ { i } ) - B ( t _ { i - 1 } ) \big) ^ { 2 } + ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) ^ { 2 } \right) \\ &= 3 ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) ^ { 2 } - 2 ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) ^ { 2 } + ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) ^ { 2 } \\ &= 2 ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) ^ { 2 }. \end{aligned} \]

因此

\[E \Phi_n^2 = \sum_{i=1}^n 2 ( t_i - t_{i-1} )^2 \le 2 \| \Delta_n \| (b - a) \to 0. \]

给定剖分后，我们自然有一个问题，取点不同会产生不同的近似，哪一个是符合我们设想的近似？
作一个剖分 \(\Delta_n = \{a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\}\)

\[R_n = \sum_{i=1}^n B(t_i) \left(B(t_i) - B(t_{i-1})\right),\qquad L_n = \sum_{i=1}^n B(t_{i-1}) \left(B(t_i) - B(t_{i-1})\right) \]

\[R_n + L_n = B(b)^2 - B(a)^2,\qquad R_n - L_n = \sum_{i=1}^n \left(B(t_i) - B(t_{i-1})\right)^2 \]

\[R_n = \frac{1}{2} \left( B(b)^2 - B(a)^2 \right) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left( B(t_i) - B(t_{i-1}) \right)^2 \]

\[L_n = \frac{1}{2} \left( B(b)^2 - B(a)^2 \right) - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left( B(t_i) - B(t_{i-1}) \right)^2 \]

\[\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} R_n = \frac{1}{2} \left( (B(b)^2 - B(a)^2) + (b - a) \right) = \int_a^b B(t) dB(t) \]

\[\lim_{n \rightarrow \infty} L_n = \frac{1}{2} \left( (B(b)^2 - B(a)^2) - (b - a) \right) = \int_a^b B(t) dB(t) \]

\[a = 0,\quad b = t \]

\[\Rightarrow R(t) = \frac{1}{2} \left( B(t)^2 + t \right) = \int_0^t B(s) dB(s),\quad E(R(t)) \text{ 不恒为常数, 不可能为鞅!} \]

\[L(t) = \frac{1}{2} \left( B(t)^2 - t \right) = \int_0^t B(s) dB(s) \]

\[\begin{aligned} E\left( L(t) \mid \mathcal{F}_s \right) &= E\left( \frac{1}{2} \left( B(t)^2 - t \right) \mid \mathcal{F}_s \right) \\ &= E\left( \frac{1}{2} B(t)^2 \mid \mathcal{F}_s \right) - \frac{1}{2} t \\ &= \frac{1}{2} E\left( (B(t) - B(s) + B(s))^2 \mid \mathcal{F}_s \right) - \frac{t}{2} \\ &= \frac{1}{2} E\left[ (B(t) - B(s))^2 + 2B(s)(B(t) - B(s)) + B(s)^2 \mid \mathcal{F}_s \right] - \frac{t}{2} \\ &= \frac{1}{2} (t - s) + \frac{1}{2} B(s)^2 - \frac{t}{2} \\ &= \frac{1}{2} B(s)^2 - \frac{1}{2} s \\ &= L(s) \quad \text{a.s.} \end{aligned} \]

\(E(L(t))\) 是否有限？

\[E(L(t)) \leq \sqrt{E(L(t)^2)} = \frac{1}{2} \left( E\left( B(t)^4 - 2t B(t)^2 + t^2 \right) \right)^{1/2} = \frac{\sqrt{t}}{2} \cdot t < +\infty \]

Fix a Brown motion \(B(t)\) and a filtration \(\{F_t\}_{t \in [a,b]}\) satisfying

1. \(B(t)\) is \(F_t\)-measurable;
2. for \(a \leq s < t \leq b\), \(B(t)-B(s)\) is independent of \(F_s\).

\(L_{ad}^2([a,b] \times \Omega)\) is a space of stochastic process \(f(t)\) satisfying

1. \(f(t)\) is adapted to \(\{F_t\}_{t \in [a,b]}\);
2. \(\int_a^b E(|f(t)|^2) dt < +\infty\).

所有确定的函数都在这个空间，布朗运动也在.

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下面我们可以定义随机积分了.
定义 Stochastic Integral：

Step1. \(f(t)\) 是 \([a,b]\) 上的阶梯随机过程

\[f(t)=\sum_{i=1}^{n} X_{i-1} \chi_{[t_{i-1}, t_i)}(t), \quad t\in [a,b] \]

其中 \(X_{i-1} \in L^2(\Omega, \mathcal{F}_{t_{i-1}})\)，即：
① \(E|X_{i-1}|^2 < +\infty\)；
② \(X_{i-1}\) 是 \(\mathcal{F}_{t_{i-1}}\)-可测的。

\(f(t)=X_{i-1},\quad t\in [t_{i-1}, t_i)\)

\[\int_a^b E(f(t)^2) dt = \sum_{i=1}^{n} E(X_{i-1}^2)(t_i - t_{i-1}) < +\infty \]

\(\Rightarrow f \in L_{ad}^2([a,b]\times \Omega)\)。

定义

\[I(f) = \int_a^b f(t) dB(t) = \sum_{i=1}^{n} X_{i-1} \big( B(t_i) - B(t_{i-1}) \big) \]

计算

\[\begin{aligned} & E\big( X_{i-1} (B(t_i) - B(t_{i-1})) \big) \\ &= E\Big( E\big( X_{i-1} (B(t_i) - B(t_{i-1})) \mid \mathcal{F}_{t_{i-1}} \big) \Big) \\ &= E\Big( X_{i-1} \, E\big( B(t_i) - B(t_{i-1}) \mid \mathcal{F}_{t_{i-1}} \big) \Big) \\ &= E\big( X_{i-1} \, E(B(t_i) - B(t_{i-1})) \big) \quad \text{(由独立增量性)} \\ &= 0. \end{aligned} \]

这就证明了积分的期望是0，下面再计算方差：

\[E((I(f))^2) = E\left(\sum_{i,j} X_{i-1} X_{j-1} (B(t_i)-B(t_{i-1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))\right) \]

计算时，不妨设 \(i<j\)，这意味着 \(t_{i-1} < t_i \le t_{j-1} < t_j\)，从而 \(X_{i-1}, X_{j-1}\) 以及前一个增量均对 \(\mathcal{F}_{t_{j-1}}\) 可测：

\[\begin{aligned} E\left[X_{i-1} X_{j-1} (B(t_i)-B(t_{i-1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))\right] &= E\left[E\left[X_{i-1} X_{j-1} (B(t_i)-B(t_{i-1}))(B(t_j)-B(t_{j-1})) \mid \mathcal{F}_{t_{j-1}}\right]\right] \\ &= E\left\{X_{i-1} X_{j-1} (B(t_i)-B(t_{i-1})) E\left[(B(t_j)-B(t_{j-1})) \mid \mathcal{F}_{t_{j-1}}\right]\right\} \\ &= 0 \end{aligned} \]

\(i=j\)时，

\[\begin{aligned} E(X_{i-1}^2 (B(t_i)-B(t_{i-1}))^2) &= E\left[E\left(X_{i-1}^2 (B(t_i)-B(t_{i-1}))^2 \mid \mathcal{F}_{t_{i-1}}\right)\right] \\ &= E\left[X_{i-1}^2 E\left((B(t_i)-B(t_{i-1}))^2 \mid \mathcal{F}_{t_{i-1}}\right)\right] \\ &= (E X_{i-1}^2) \cdot (t_i - t_{i-1}) \end{aligned} \]

综上，\(E(I(f)^2) = \int_a^b E(f(t)^2) dt\). 伊藤等距公式⭐非常重要

练习：证明 \(I(af+bg)=aI(f)+bI(g), f,g\)都是阶梯随机过程.

Step 2. > 设 \(f \in L_{ad}^2([a,b] \times \Omega)\)，则存在一列阶梯随机过程 \(\{f_n\}_{n \geq 1} \subset L_{ad}^2([a,b] \times \Omega)\)，使得

\[\lim_{n \to \infty} \int_a^b E(|f_n(t) - f(t)|^2) dt = 0. \]

这一部分直接承认是对的就可以，证明略去.

由上式极限为 \(0\)，由定义：\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists N\)，\(\forall n,m > N\)，

\[\int_a^b E(|f_n(t) - f(t)|^2) dt < \frac{\varepsilon}{4}. \]

\[\begin{aligned} E\left((I(f_n) - I(f_m))^2\right) &= E\left( \int_a^b |f_n(t) - f_m(t)|^2 dt \right) \quad \text{(由 Itô 等距)} \\ &= \int_a^b E(|f_n(t) - f_m(t)|^2) dt \\ &\leq 2 \left( \int_a^b E(|f_n(t) - f(t)|^2) dt + \int_a^b E(|f_m(t) - f(t)|^2) dt \right) \\ &< 2 \left( \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} \right) = \varepsilon. \end{aligned} \]

\[I(f) = \lim_{n \to \infty} I(f_n) \quad \text{in } L^2(\Omega). \]

定义 上述定义的\(I(f)\) 是 \(f\) 的 Itô 积分，记为 \(\int_a^b f(u) dB(u)\)，它是良定义的。事实上，若 \(\{g_m\}\) 是另一列阶梯随机过程满足

\[\lim_{m \to \infty} \int_a^b E(|g_m(t) - f(t)|^2) dt = 0, \]

则

\[\begin{aligned} E\left((I(f_n) - I(g_m))^2\right) &= E\left(I(f_n - g_m)^2\right) \\ &= \int_a^b E(|f_n(t) - g_m(t)|^2) dt \\ &\leq 2 \left( \int_a^b E(|f_n(t) - f(t)|^2) dt + \int_a^b E(|g_m(t) - f(t)|^2) dt \right) \\ &< 2 \left( \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} \right) = \varepsilon. \end{aligned} \]

因此 \(\{I(f_n)\}\) 与 \(\{I(g_m)\}\) 在 \(L^2(\Omega)\) 中收敛到同一极限，故 Itô 积分是良定义的。

性质：

1. \(I\) 是线性的.
2. 区间可加.
3. \(Y_t = \int_a^t f(s) dB(s)\) 是 \(\mathcal{F}_t\) 可测的.
4. \(E(I(f)) = 0\), \(E(I(f)^2) = \int_a^b E(|f(t)|^2) dt\).
5. \(E(I(f)I(g)) = \int_a^b E(fg) dt\).
6. \(Y_t = \int_a^t f(s) dB(s)\) 关于 \(\mathcal{F}_t\) 是一个鞅.
7. \(Y_t = \int_a^t f(s) dB(s)\) 的几乎所有路径都是连续的.

证明：

1. 略去

2. 加个新的分点进去就可以了

3. 先考虑阶梯随机过程，\(f(s) = \sum_{i=1}^n X_{i-1} \chi_{[t_{i-1}, t_i)}(s), a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = t\). \(I(f) = \sum_{i=1}^n X_{i-1} \big( B(t_i) - B(t_{i-1}) \big)\)关于\(\mathcal{F}_t\) 可测.
   再考虑\(Y_t = \int_a^t f(s) dB(s)\) 是 \(\mathcal{F}_t\)，存在\(I(f_n) \xrightarrow{n\to\infty} Y_t \quad (\text{in } L^2(\Omega))\), 这蕴含着依概率收敛，再由riesz定理，可以得到一个几乎必然收敛的子列 $ {f_{n_{k}} } $, 使得 \(\lim_{k \to \infty} I(f_{n_k}) = Y_t \quad (P\text{-a.s.})\) . 所以\(Y_t = \int_a^t f(s) dB(s)\) 是 \(\mathcal{F}_t\) 可测的.

4. 由于存在阶梯随机过程\(I(f_n) \xrightarrow{L^2} I(f)\), 那么有\(E(I(f)^2) = \lim_{n \to \infty} E(I(f_n)^2)\); 再根据我们前面对阶梯随机过程情形的证明，有$$\lim_{n \to \infty}E(I(f_n)^2) = \lim_{n \to \infty}\int_a^b E(f_n(t)^2) dt = \int_a^b E(f(t)^2) dt$$

5. 与wiener积分那一节里面的一样，直接算就行了

6. (1). 证明 \(E|Y_t| < +\infty\)：

   \[\begin{aligned} E | Y _ { t } | &= \int _ {\Omega} | Y _ { t } | dP \\ &\leqslant \sqrt { \int _ { \Omega } Y _ { t } ^ { 2 } dP } \quad \text{（由 Cauchy-Schwarz 不等式）} \\ &= \sqrt { E | Y _ { t } | ^ { 2 } } \\ &= \sqrt { E \left( \int _ { a } ^ { t } f ( s ) dB ( s ) \right) ^ { 2 } } \\ &= \sqrt { \int _ { a } ^ { t } E | f ( s ) | ^ { 2 } ds } \quad \text{（由 Itô 等距公式）} \\ &\leqslant \sqrt { \int _ { a } ^ { b } E | f ( s ) | ^ { 2 } ds } < + \infty \quad \text { 因为 } f \in L _ { ad } ^ { 2 } ( [ a , b ] \times \Omega ) . \end{aligned} \]

   (2). 证明 \(E(Y_t \mid \mathcal{F}_s) = Y_s \quad a.s. \text{ 对所有 } s \leqslant t\)：

   (i) 当 \(f(s)\) 为阶梯随机过程时：

   \[\begin{aligned} Y_{t} &= \int_{a}^{t}f(u)dB(u) = Y_{s} + \int_{s}^{t}f(u)dB(u) \\ E(Y_{t} \mid \mathcal{F}_{s}) &= Y_{s} + E\left( \int_{s}^{t}f(u)dB(u) \;\Big|\; \mathcal{F}_{s} \right) \\ &= Y_{s} + E\left( \sum_{j=1}^{m} X_{j-1} (B(t_{j}) - B(t_{j-1})) \;\Big|\; \mathcal{F}_{s} \right) \\ &= Y_{s} + \sum_{j=1}^{m} E\left( X_{j-1} (B(t_{j}) - B(t_{j-1})) \;\Big|\; \mathcal{F}_{s} \right) \\ &= Y_{s} + \sum_{j=1}^{m} E\left( E\left( X_{j-1} (B(t_{j}) - B(t_{j-1})) \;\Big|\; \mathcal{F}_{t_{j-1}} \right) \;\Big|\; \mathcal{F}_{s} \right) \quad \text{（由塔式性质，因 } \mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_{t_{j-1}} \text{）} \\ &= Y_{s} + \sum_{j=1}^{m} E\left( X_{j-1} E\left( B(t_{j}) - B(t_{j-1}) \;\Big|\; \mathcal{F}_{t_{j-1}} \right) \;\Big|\; \mathcal{F}_{s} \right) \quad \text{（由左端点可测性，} X_{j-1} \in \mathcal{F}_{t_{j-1}} \text{）} \\ &= Y_{s} + \sum_{j=1}^{m} E\left( X_{j-1} \cdot 0 \;\Big|\; \mathcal{F}_{s} \right) \quad \text{（由布朗运动独立增量性）} \\ &= Y_{s} \quad a.s. \end{aligned} \]

   (ii) 一般情况：
   由逼近定理，对任意 \(f \in L_{ad}^2([a,b] \times \Omega)\)，存在一列阶梯随机过程 \(\{f_n\}\) 满足：

   \[\lim_{n \to \infty} \int_a^b E(|f_n(u) - f(u)|^2) du = 0 \]

   记 \(Y_t^{(n)} = \int_a^t f_n(u) dB(u)\)。由 Itô 等距公式，在 \(L^2(\Omega)\) 意义下有 \(\lim_{n \to \infty} Y_t^{(n)} = Y_t\)。

   为了证明 \(E(Y_t \mid \mathcal{F}_s) = Y_s\)，我们考察：

   \[Y_t - Y_s = \big( Y_t - Y_t^{(n)} \big) + \big( Y_t^{(n)} - Y_s^{(n)} \big) + \big( Y_s^{(n)} - Y_s \big) \]

   两边同时取关于 \(\mathcal{F}_s\) 的条件期望：

   \[\begin{aligned} E(Y_t - Y_s \mid \mathcal{F}_s) &= E\left( Y_t - Y_t^{(n)} \;\Big|\; \mathcal{F}_s \right) + E\left( Y_t^{(n)} - Y_s^{(n)} \;\Big|\; \mathcal{F}_s \right) + E\left( Y_s^{(n)} - Y_s \;\Big|\; \mathcal{F}_s \right) \\ &= A + B + C \end{aligned} \]

   • 关于项 B：因为 \(f_n\) 是阶梯随机过程，由情况 (i) 已证的鞅性质可知：

     \[B = E\left( Y_t^{(n)} - Y_s^{(n)} \;\Big|\; \mathcal{F}_s \right) = 0 \quad a.s. \]

   • 关于项 A 的收敛性控制（利用条件 Jensen 不等式与 Itô 等距）：
     由于条件期望算子不改变 \(L^2\) 强收敛性，我们通过计算项 A 的 \(L^2(\Omega)\) 模长平方来进行迫敛控制：

     \[\begin{aligned} E\left[ \left( E\left( Y_t - Y_t^{(n)} \;\Big|\; \mathcal{F}_s \right) \right)^2 \right] &\leqslant E\left[ E\left( \left| Y_t - Y_t^{(n)} \right|^2 \;\Big|\; \mathcal{F}_s \right) \right] \quad \text{（由条件 Jensen 不等式）} \\ &= E\left| Y_t - Y_t^{(n)} \right|^2 \quad \text{（塔性质）} \\ &= \int_a^t E\left( |f(u) - f_n(u)|^2 \right) du \quad \text{（由 Itô 等距公式）} \\ &\leqslant \int_a^b E\left( |f(u) - f_n(u)|^2 \right) du \xrightarrow{n \to \infty} 0 \end{aligned} \]

     由此可知，当 \(n \to \infty\) 时，项 \(A = E\left( Y_t - Y_t^{(n)} \;\Big|\; \mathcal{F}_s \right) \xrightarrow{L^2(\Omega)} 0\)。