SDE | wiener积分

2026-06-02 17:17:10 星期二
今天讨论wiener积分
设 \(f \in L^2[a,b]\) 是一个确定的函数，给定布朗运动 \(B(t)\)，我们希望给出 \(\int_a^b f(t) dB(t)\) 的一个合理的定义.

Step 1. 设 \(f \in L^2[a,b]\) 是一个简单函数，

\[f(t) = \sum_{i=1}^n a_i I_{[t_{i-1}, t_i)}, \]

定义

\[I(f) = \sum_{i=1}^n a_i (B(t_i) - B(t_{i-1})). \]

请注意，我们构造的“积分”是一个随机变量，而且是 \(L^2\) 可积的。

练习. \(I(af + bg) = aI(f) + bI(g)\) .

引理. \(I(f)\) 是一个 Gauss 随机变量，期望为 \(0\)，方差为 \(\int_a^b [f(t)]^2 dt\).

证明. 由定义 \(I(f) = \sum_{i=1}^n a_i (B(t_i) - B(t_{i-1}))\)，注意 \(B(t_i) - B(t_{i-1})\) 是 Gauss 随机变量，所以 \(I(f)\) 是一个 Gauss 随机变量。直接取期望，由布朗运动的定义，可得期望为 \(0\). 下面计算

\[\mathbb{E}[I(f)]^2 = \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{i=1}^n a_i (B(t_i) - B(t_{i-1})) \right)^2 \right] \stackrel{\text{独立增量性，交叉项为 }0}{=} \sum_{i=1}^n a_i^2 (t_i - t_{i-1}) = \int_a^b [f(t)]^2 dt. \]

Step 2. 自然的想法是利用简单函数的积分进行逼近. 为此我们先做一些铺垫：

在 \(L^2(\Omega)\) 中定义内积 \(\langle X, Y \rangle_{L^2(\Omega)} = \mathbb{E}(XY)\).

另外，在 \(L^2[a,b]\) 中，我们取一列简单函数 \(f_n\)，使得 \(f_n \xrightarrow{L^2[a,b]} f\).

那么利用 Step 1 中的定义，我们考察 \(\{ I(f_n) \}_n\)，这是一个随机变量族，且 \(I(f_n) \in L^2(\Omega)\)。我们可以通过简单的估计得到：

\[\mathbb{E}(|I(f_n) - I(f_m)|^2) = \mathbb{E}(|I(f_n - f_m)|^2) = \int_a^b |f_n - f_m|^2 dx \le 2 \int_a^b |f_n - f|^2 dx + 2 \int_a^b |f - f_m|^2 dx \to 0. \]

所以 \(\{ I(f_n) \}_n\) 是 \(L^2(\Omega)\) 中的 Cauchy 列。由于 \(L^2(\Omega)\) 完备，所以必定存在一个随机变量（我们先记为 \(I(f)\)）使得

\[I(f) = \lim_n I(f_n). \]

最后一个问题，这是否是良定义的？直接验证可以发现确实是一个合理的定义。

定义. 上面定义的 \(I(f)\) 称为是 \(f \in L^2[a,b]\) 的 Wiener 积分，形式写出来是

\[ I(f) = \int_a^b f(t) dB(t). \]

定理. 对于 \(f \in L^2[a,b]\)，\(I(f)\) 是 Gauss 随机变量，期望为 \(0\)，方差为 \(\int_a^b [f(t)]^2 dt\).

我们把 \(I\) 看为一个算子，那么

\[I: L^2[a,b] \to L^2(\Omega), \quad f \mapsto I(f) \]

是一个等距保内积的线性算子.

1. 保内积：

   \[\mathbb{E}((I(f)+I(g))^2) = \mathbb{E}[(I(f))^2] + \mathbb{E}[(I(g))^2] + 2\mathbb{E}(I(f)I(g)), \]

   另一方面，又可以写成

   \[\mathbb{E}((I(f)+I(g))^2) = \mathbb{E}[(I(f+g))^2] = \int_a^b (f+g)^2 dt = \int_a^b f^2 + \int_a^b g^2 + 2\int_a^b fg, \]

   所以得到Itô 等距公式

   \[\mathbb{E}(I(f)I(g)) = \int_a^b fg. ⭐ \]

2. 等距：\(L^2(\Omega)\) 中的距离定义为 \(\sqrt{\mathbb{E}[(I(f)-I(g))^2]}\)，

   \[\mathbb{E}[(I(f)-I(g))^2] = \mathbb{E}[|I(f)-I(g)|^2] = \int_a^b |f-g|^2 dt = \|f-g\|_{L^2[a,b]}^2. \]

如果我们取 \(L^2[a,b]\) 中正交的两个函数 \(f,g\)，即 \(\langle f,g \rangle_{L^2[a,b]} = \int_a^b fg = 0\)，那么取 \(X = (I(f), I(g))^T\)，有

\[\begin{aligned} \phi_X(\lambda) &= \mathbb{E}(e^{i \lambda \cdot X}) \\ &= \mathbb{E}(e^{i (\lambda_1 I(f) + \lambda_2 I(g))}) \\ &= e^{-\frac{1}{2} \|\lambda_1 f + \lambda_2 g\|^2} \\ &= e^{-\frac{1}{2} \langle \lambda_1 f + \lambda_2 g, \, \lambda_1 f + \lambda_2 g \rangle} \\ &= e^{-\frac{1}{2} \left( \lambda_1^2 \langle f,f \rangle + 2\lambda_1\lambda_2 \langle f,g \rangle + \lambda_2^2 \langle g,g \rangle \right)} \\ &= e^{-\frac{1}{2} \left( \lambda_1^2 \|f\|^2 + \lambda_2^2 \|g\|^2 \right)} \\ &= e^{-\frac{1}{2} \lambda_1^2 \|f\|^2} \cdot e^{-\frac{1}{2} \lambda_2^2 \|g\|^2} \\ &= \phi_{I(f)}(\lambda_1) \cdot \phi_{I(g)}(\lambda_2). \end{aligned} \]

即\(I(f)\)与\(I(g)\)独立.

下面我们看一个非常简单的例子来熟悉一下：\(\int_0^1 s dB(s)\) 是一个 Gauss 随机变量，期望为 \(0\)，方差为

\[\operatorname{Var}\left( \int_0^1 s dB(s) \right) = \mathbb{E}\left( \int_0^1 s dB(s) \right)^2 - \left( \mathbb{E}\left( \int_0^1 s dB(s) \right) \right)^2 = \int_0^1 s^2 ds = \frac{1}{3}. \]

考虑 \(I = \int_0^1 B(s) ds\), 首先这并不是一个wiener积分，

\[\begin{aligned} I &= \int_0^1 B(s) ds \\ &= sB(s)\big|_0^1 - \int_0^1 s dB(s) \\ &= B(1) - \int_0^1 s dB(s) \\ &= \int_0^1 dB(s) - \int_0^1 s dB(s) \\ &= \int_0^1 (1-s) dB(s) \end{aligned} \]

转化为了 Wiener 积分形式，是 Gauss 随机变量，\(I \sim N(0, 1/3)\).

定理 设 \(f \in L^2[a,b]\)，\(\mathcal{F}_t = \sigma(B(s), 0 \le s \le t)\)，定义 \(M_t = \int_a^t f(s) dB(s)\)，\(t \in [a,b]\)，则 \(\{M_t\}\) 关于 \(\{\mathcal{F}_t\}\) 是一个鞅.

证明

1. \(E|M(t)| < +\infty\)：

   \[E|M(t)| \le \sqrt{E[M(t)^2]} = \sqrt{\int_a^t f(s)^2 ds} \le \|f\|_{L^2[a,b]} < +\infty. \]

2. \(E(M(t) \mid \mathcal{F}_s) = E\left( \int_a^s f(u) dB(u) + \int_s^t f(u) dB(u) \mid \mathcal{F}_s \right) = M(s) + E\left( \int_s^t f(u) dB(u) \mid \mathcal{F}_s \right)\).

   下面证明 \(E\left( \int_s^t f(u) dB(u) \mid \mathcal{F}_s \right) = 0\) a.s.

   (i) 设 \(f\) 是简单函数，\(f(t) = \sum_{i=1}^n a_i I_{[t_{i-1}, t_i)}\)，\(t_0 = s\)，\(t_n = t\)，

   \[\int_s^t f(u) dB(u) = \sum_i a_i (B(t_i) - B(t_{i-1})). \]

   由于每一项 \(B(t_i) - B(t_{i-1})\) 服从期望为 \(0\) 的正态分布，且与 \(\mathcal{F}_s\) 独立，所以条件期望为 \(0\).

   (ii) 一般情形：\(f \in L^2[a,b]\)，存在一列简单函数 \(f_n \to f\) 于 \(L^2[a,b]\)，

   \[\begin{aligned} &E\left( \left| E\left( \int_s^t f_n(u) dB(u) \mid \mathcal{F}_s \right) - E\left( \int_s^t f(u) dB(u) \mid \mathcal{F}_s \right) \right|^2 \right) \\ &= E\left( \left| E\left( \int_s^t (f_n(u)-f(u)) dB(u) \mid \mathcal{F}_s \right) \right|^2 \right) \\ &\stackrel{\text{Jensen 不等式}}{\le} E\left( E\left( \left| \int_s^t (f_n(u)-f(u)) dB(u) \right|^2 \mid \mathcal{F}_s \right) \right) \\ &= E\left( \left| \int_s^t (f_n(u)-f(u)) dB(u) \right|^2 \right) \\ &= \int_s^t |f_n-f|^2 du \le \int_a^b |f_n-f|^2 du \to 0. \end{aligned} \]

   所以 \(E\left( \int_s^t f(u) dB(u) \mid \mathcal{F}_s \right) = 0\) a.s.

综上，\(\{M_t\}\) 关于 \(\mathcal{F}_t\) 是一个鞅.

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Let \(\{\phi_n\}_{n\geq 1}\) be an orthonormal basis of \(L^2[a,b]\), \(f\in L^2[a,b]\), \(f=\sum_{n=1}^\infty \langle f, \phi_n\rangle \phi_n\), \(\langle f, \phi_n\rangle = \int_a^b f(t)\phi_n(t)dt\).

Parseval identity \(\|f\|^2 = \sum_{n=1}^\infty \langle f, \phi_n\rangle^2\)

\(\int_a^b f(t)d B(t) = \sum_{n=1}^\infty \langle f, \phi_n\rangle \int_a^b \phi_n dB(t)\) 是否成立？若成立，那是在什么意义下收敛？

\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\left(\int_a^b f(t)dB(t)-\sum_{n=1}^N \langle f, \phi_n\rangle \int_a^b \phi_n dB(t)\right)^2 \\ &= \mathbb{E}\left(\int_a^b f(t)dB(t)\right)^2 - 2\mathbb{E}\left(\left(\int_a^b f(t)dB(t)\right)\left(\sum_{n=1}^N \langle f, \phi_n\rangle \int_a^b \phi_n dB(t)\right)\right) \\ &\quad + \mathbb{E}\left(\sum_{n=1}^N \langle f, \phi_n\rangle \int_a^b \phi_n dB(t)\right)^2 \\ &= \int_a^b f(t)^2 dt - 2\sum_{n=1}^N \langle f, \phi_n\rangle^2 + \sum_{n=1}^N \langle f, \phi_n\rangle^2 \\ &= \int_a^b f(t)^2 dt - \sum_{n=1}^N \langle f, \phi_n\rangle^2 \\ &= \|f\|^2 - \sum_{n=1}^N \langle f, \phi_n\rangle^2 \\ &\to 0 \quad (N\to +\infty) \end{aligned} \]

所以\(\int_a^b f(t)d B(t) = \sum_{n=1}^\infty \langle f, \phi_n\rangle \int_a^b \phi_n dB(t)\)成立，在\(L^2(\Omega)\)中收敛.

\(\{\phi_n\}_{n\geqslant 1}\) 是标准正交基，\(f = \sum_n \langle f, \phi_n \rangle \phi_n\)，

\[\int_a^b f(t) dB(t) = \sum_n \langle f, \phi_n \rangle \int_a^b \phi_n(t) dB(t). \]

注意 \(\int_a^b \phi_n(t) dB(t)\) 服从标准正态分布，我们记 \(\int_a^b \phi_n(t) dB(t) = X_n\).

令 \(a=0\)，\(b=1\)，\(f(t) = I_{[0,t]}\)，代入上式可得

\[B(t) = \sum_n \left( \int_0^t \phi_n(s) ds \right) X_n. \]

至此，我们将布朗运动写成了级数形式.