实变函数复习 | 可测函数 积分论的一些重要定理总结

2025-09-02 22:17:41 星期二
本文只有总结，没有证明，没有，要证明就自己看书吧

1. Egorov定理

Theorem (Egorov)
设 \(mE < \infty\)，\(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上 a.e. 收敛于一个 a.e. 有限的可测函数 \(f\)，则对于 \(\forall \delta > 0\)，存在 \(E_\delta \subset E\)，使得 \(f_n\) 在 \(E_\delta\) 上一致收敛于 \(f\)，且 \(m(E \setminus E_\delta) < \delta\)。

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2. Lusin定理

Theorem (Lusin)
设 \(f\) 在 \(E\) 上 a.e. 有限可测，则 \(\forall \delta > 0\)，存在闭子集 \(F_\delta \subset E\)，使得 \(f\) 在 \(F_\delta\) 上连续，且 \(m(E \setminus F_\delta) < \delta\)。

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3. 依测度收敛

Definition
设 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上的一列 a.e. 有限的可测函数，若存在 \(E\) 上 a.e. 有限的可测函数 \(f\)，满足：\(\forall \delta > 0\)，有

\[\lim_{n \to \infty} mE[\{x \in E \mid |f_n(x) - f(x)| \ge \delta\}] = 0, \]

则称 \(\{f_n\}\) 依测度收敛于 \(f\)。

Theorem (Riesz)
若 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\)，则存在子列 \(\{f_{n_k}\}_{k=1}^\infty\) 在 \(E\) 上 a.e. 收敛于 \(f\)。

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4. 非负可测函数的积分

Theorem (Levi 单调收敛定理)
设 \(E\) 可测，\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\) 为非负可测函数列，且 \(\forall x \in E\)，\(f_n(x) \le f_{n+1}(x)\)，令 \(f = \lim_{n \to \infty} f_n\)，则

\[\lim_{n \to \infty} \int_E f_n \, dx = \int_E f \, dx. \]

Theorem (逐项积分定理)
设 \(\{f_n\}\) 为非负可测函数列，则

\[\int_E \left( \sum_{n=1}^\infty f_n(x) \right) dx = \sum_{n=1}^\infty \int_E f_n(x) \, dx. \]

Theorem (Fatou 引理)
设 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上非负可测，则

\[\int_E \left( \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \right) dx \le \liminf_{n \to \infty} \int_E f_n(x) \, dx. \]

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5. 一般可测函数的积分

Proposition 1
若 \(f\) 在 \(E\) 上可积，则

\[\left| \int_E f(x) \, dx \right| \le \int_E |f(x)| \, dx. \]

Theorem (积分的绝对连续性)
若 \(f\) 可积，则 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，只要 \(m(A) < \delta\)，就有

\[\left|\int_A f(x) dx\right| \leq \int_A |f(x)| dx < \varepsilon. \]

Theorem (控制收敛定理)
设 \(E\) 可测，\(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上 a.e. 收敛于 \(f\)，且 \(\forall n\)，\(|f_n| \leq F\)，其中 \(F\) 为非负可积函数，则

\[\lim_{n \to \infty} \int_E f_n dx = \int_E f dx. \]

Remark. 该定理在 \(\{f_n\}\) 依测度收敛于 \(f\) 时也成立。

Theorem
设 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上可积，且

\[\int_E \sum_{n=1}^{\infty} |f_n(x)| dx < \infty, \]

则 \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\) 在 \(E\) 上 a.e. 收敛，且

\[\int_E \left( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \right) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_E f_n(x) dx. \]

Theorem
设 \(E\) 可测，\(f(x,t): E \times (a,b) \to \mathbb{R}\)。若 \(\forall t \in (a,b)\)，\(f(x,t)\) 作为 \(x\) 的函数在 \(E\) 上可积；\(\forall\) a.e. \(x \in E\)，\(f(x,t)\) 作为 \(t\) 的函数在 \((a,b)\) 上可导，且

\[\left|\frac{\partial}{\partial t} f(x,t)\right| \leq F(x), \]

其中 \(F\) 是可积函数，则 \(\int_E f(x,t) dx\) 作为 \(t\) 的函数在 \((a,b)\) 上可导，且

\[\frac{d}{dt} \left( \int_E f(x,t) dx \right) = \int_E \frac{\partial}{\partial t} f(x,t) dx. \]

Proof.
固定 \(t \in (a,b)\)，取 \(h_n > 0\) 且 \(h_n \to 0\)，定义

\[g_n(x) = \frac{f(x,t+h_n) - f(x,t)}{h_n}. \]

则 \(\lim_{n \to \infty} g_n(x) = \frac{\partial}{\partial t} f(x,t)\)，且

\[|g_n(x)| = \left| \frac{\partial}{\partial t} f(x,t+\theta h_n) \right| \leq F(x). \]

由控制收敛定理，

\[\frac{d}{dt} \int_E f(x,t) dx = \int_E \frac{\partial}{\partial t} f(x,t) dx. \]

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6. 重积分

Theorem (Fubini)

① 设 \(f(P) = f(x,y)\) 在 \(A \times B \subset \mathbb{R}^n\) 上非负可测，则 \(\forall\) a.e. \(x \in A\)，\(f(x,y)\) 作为 \(y\) 的函数在 \(B\) 上可测，且

\[\int_{A \times B} f(P) dP = \int_A dx \int_B f(x,y) dy. \]

② 设 \(f(P)\) 在 \(A \times B\) 上可积，则 \(\forall\) a.e. \(x \in A\)，\(f(x,y)\) 作为 \(y\) 的函数可积，且 \(\int_B f(x,y) dy\) 作为 \(x\) 的函数在 \(A\) 上可积，且成立

\[\int_{A \times B} f(P) dP = \int_A dx \int_B f(x,y) dy.\]